【概率論課件】4.4中心極限定理

1、 長(zhǎng)期觀察表明，如果一個(gè)量是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響造成的，而每一個(gè)個(gè)別因素在總影響中所起的作用都很微小，則這種量通常都服從或近似服從正態(tài)分布。這個(gè)結(jié)論的理論依據(jù)就是中心極限定理。 概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。中心極限定理的研究背景：4.4 中心極限定理 討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布, 并指出極限分布為正態(tài)分布.4.4.1 獨(dú)立隨機(jī)變量和設(shè) Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其和為4.4.2 獨(dú)立同分布下的中心極限定理定理4.4.1 林德貝格勒維中心極限定理設(shè) Xn 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為, 方差為 20，則當(dāng) n 充分大時(shí)

2、，有定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ，不管 服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)分布應(yīng)用之例: 正態(tài)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生； 誤差分析例 在某次數(shù)值計(jì)算的加法運(yùn)算中，要求把每個(gè)加數(shù)取為最接近于它的整數(shù)來(lái)計(jì)算。設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都在區(qū)間-0.5，0.5上服從均勻分布，求300個(gè)數(shù)相加時(shí)誤差總和絕對(duì)值小于10的概率。解 設(shè)第i個(gè)加數(shù)的取整誤差為Xi（i=1,2,300)，則Xi服從-0.5，0.5上的均勻分布，且由勒維定理（定理4.4.1）：近似服從即由勒維定理可得例 一部件包括100部分，每部分的長(zhǎng)度是一

3、個(gè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是1mm，均方差是0.1mm，規(guī)定總長(zhǎng)度為1001mm時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。解 設(shè)部件的總長(zhǎng)度為X，每部分的長(zhǎng)度為 Xi（i=1,2,100)，則由定理4.4.1可知：X近似地服從正態(tài)分布 即 續(xù)解 則產(chǎn)品合格的概率為 4.4.3 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似定理4.4.2 棣莫弗拉普拉斯中心極限定理設(shè)n 為服從二項(xiàng)分布 b(n, p) 的隨機(jī)變量，則當(dāng) n 充分大時(shí)，有是林德貝格勒維中心極限定理的特例.二項(xiàng)分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以用正態(tài)分布作為二項(xiàng)分布的近似時(shí)，可作如下修正：注 意 點(diǎn) (1)棣莫弗拉普拉斯中心極限定理應(yīng)用有三

4、大類： 注 意 點(diǎn) (2) ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .i) 已知 n 和 y，求概率； 一、給定 n 和 y，求概率例4.4.5 100個(gè)獨(dú)立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個(gè)系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個(gè)部件工作的概率.解：記 表示100個(gè)部件中正常工作的部件數(shù)，則由此得：二、給定 n 和概率，求 y例4.4.7 有200臺(tái)獨(dú)立工作(工作的概率為0.7)的機(jī)床， 每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)需15kw電力. 問(wèn)共需多少電力, 才可 有95%的可能性保證正常生產(chǎn)?解：設(shè)設(shè)供電量為y, 則由題意，有表示200臺(tái)機(jī)床同時(shí)工作的機(jī)床數(shù).則因?yàn)?應(yīng)該是一整數(shù)，故 例

5、4.4.7 有200臺(tái)獨(dú)立工作(工作的概率為0.7)的機(jī)床， 每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)需15kw電力. 問(wèn)共需多少電力, 才可 有95%的可能性保證正常生產(chǎn)?續(xù)解：查表得：解得：即三、給定 y 和概率，求 n例4.4.8 用調(diào)查對(duì)象中的收看比例 作為某電視節(jié) 目的收視率 p 的估計(jì)。 要有 90 的把握，使 與p 的差異小于0.05，問(wèn)至少要調(diào)查多少對(duì)象？解：用根據(jù)題意Yn表示n 個(gè)調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則從中解得Yn 服從 b(n, p) 分布， 又由可解得n = 271 獨(dú)立重復(fù)地對(duì)某物體的長(zhǎng)度a進(jìn)行n次測(cè)量，設(shè)各次測(cè)量結(jié)果 服從正態(tài)分布 ，記 為n次測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值，為保證有95%的把握

6、使平均值與實(shí)際值a的差異小于0.1，問(wèn)至少需要測(cè)量多少次？例 每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為 100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克. 一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解:設(shè)箱中第 i 袋味精的凈重為 Xi, 則Xi 獨(dú)立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心極限定理得，所求概率為：= 0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002. (很小)例 設(shè) X 為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解: 設(shè) Xi 為第 i 次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi 獨(dú)立同分布，且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故= 0.99979例 設(shè)每顆炮彈命中目標(biāo)的概率為0.01， 求500發(fā)炮彈中命中 5 發(fā)的概率.解: 設(shè) X 表示命中的炮彈數(shù), 則X b(500, 0.01)0.17635(2