新高考版數(shù)學(xué)高中總復(fù)習(xí)專(zhuān)題3.2函數(shù)的基本性質(zhì)(講解練)教學(xué)講練

1、3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性及最值1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.區(qū)間DI,如果對(duì)于任意x1,x2D,且x1x2都有f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的考點(diǎn)清單知識(shí)拓展(a)單調(diào)函數(shù)的定義有以下兩種等價(jià)形式:x1,x2a,b,且x1x2,(i)0f(x)在a,b上是增函數(shù);0f(x)在a,b上是增函數(shù);(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同,若k0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=的

2、單調(diào)性相反.(iv)函數(shù)y=f(x)(f(x)0)在公共定義域內(nèi)與y=的單調(diào)性相同.(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.注意單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,當(dāng)一個(gè)函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個(gè)時(shí),不能用“”連接,而應(yīng)該用“和”或“,”連接.例如:y=的單調(diào)減區(qū)間為(-,0)和(0,+),但不能寫(xiě)成(-,0)(0,+).2.函數(shù)的最值前提一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足條件(1)對(duì)于任意的xI,都有f(x)M(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)對(duì)于任意的x

3、I,都有f(x)M(2)存在x0I,使得f(x0)=M結(jié)論M是f(x)的最大值M是f(x)的最小值考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性1.函數(shù)的奇偶性2.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相反.奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(2)在公共定義域內(nèi),(i)兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù),兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù);(ii)兩個(gè)偶函數(shù)

4、的和、積都是偶函數(shù);(iii)一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).考點(diǎn)三函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)的概念對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做f(x)的周期.如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.2.關(guān)于函數(shù)周期性的幾個(gè)常用結(jié)論(1)若f(x+a)=f(x+b)(ab),則f(x)的周期是T=|a-b|.(2)若f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期是T=2|a|.(3)若f(x+a)=或f(x+a)=-,其中f(x)0,則f(x)的周期是T=2

5、|a|.(4)設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a(a0)對(duì)稱(chēng),則f(x)是周期函數(shù),2|a|是它的一個(gè)周期.(5)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a(a0)對(duì)稱(chēng),則f(x)是周期函數(shù),4|a|是它的一個(gè)周期.考法一判斷函數(shù)單調(diào)性的方法知能拓展例1已知f(x)=ex+e-x.證明: f(x)在(0,+)上為增函數(shù).解題導(dǎo)引證法一:任取x1,x2(0,+),且令x1x2,然后作差f(x1)-f(x2),變形、定號(hào)、判斷.證法二:先求導(dǎo)數(shù)f (x),然后判斷f (x)與零的大小關(guān)系,最后作出判斷.證明證法一:任取x1,x2(0,+),且令x1x2,則f(x1)-f(x2)=+

6、-=(-).0 x10,e1,x1+x20,1,-10,f(x1)-f(x2)0,f(x1)0,e2x-10,f (x)0,f(x)在(0,+)上為增函數(shù).方法總結(jié)(1)用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為求定義域取值作差變形定號(hào)單調(diào)性.(2)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為求定義域求導(dǎo)解不等式f (x)0(或f (x)0,-3x1.f(x)的定義域?yàn)閤|-3xcbB.bcaC.bacD.abc解題導(dǎo)引由f(-x)=f(x)得f(x)為偶函數(shù),然后得出f(x)在(0,+)上的單調(diào)性,從而比較大小.解析易知f(x)為偶函數(shù),因?yàn)閍=f(lo3)=f(-log23)=f(log23),且log23,02-

7、1.22-1.20.又f(x)在區(qū)間(-,0)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(x)為偶函數(shù),所以f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(lo3)fca.故選B.答案B方法總結(jié)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.例5已知函數(shù)f(x)對(duì)任意a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且當(dāng)x0時(shí), f(x)1.(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.解題導(dǎo)引(1)任取x1,x2R,且令x10時(shí),f(x)1比較f(x1), f(x2)的大小.(2)由已知得f(2)=3,將不等式化為f(3m2-m-2)f(2

8、),利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為3m2-m-22求解.解析(1)證法一:任取x1,x2R,且令x10,f(x2-x1)1,f(x2)=f(x1+(x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1)-1f(x1),f(x)是R上的增函數(shù).證法二:f(0+0)=f(0)+f(0)-1,f(0)=1.f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1,f(-x)=2-f(x).任取x1,x2R,且令x10,f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)+2-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+11,f(x2)-f(x1)0,f(x2)f(x1),f(x)是R上的增函數(shù).(2)f(4)=f(2)+f(2

9、)-1=5,f(2)=3,f(3m2-m-2)3=f(2),由(1)知f(x)是R上的增函數(shù),3m2-m-22,-1m.不等式的解集為.方法總結(jié)解此類(lèi)不等式主要是利用函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)符號(hào).可按下列步驟進(jìn)行.(1)先將不等式化為f(x1)f(x2)的形式.(2)若函數(shù)在(a,b)內(nèi)遞增,則由ax1b,ax2b,x1x2聯(lián)立解不等式組;若函數(shù)在(a,b)內(nèi)遞減,則由ax1b,ax2x2聯(lián)立解不等式組.(3)寫(xiě)出不等式的解集.例6(1)若函數(shù)y=lo(x2-ax+3a)在區(qū)間(2,+)上是減函數(shù),則a的取值范圍為()A.(-,-4)2,+)B.(-4,4C.-4,4)D.-4,4(2)若函數(shù)f(

10、x)=(a0且a1)在R上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析(1)令t=x2-ax+3a,則y=lot,易知t=x2-ax+3a在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.y=lo(x2-ax+3a)在區(qū)間(2,+)上是減函數(shù),t=x2-ax+3a在(2,+)上是增函數(shù),且在(2,+)上t0,2,且4-2a+3a0,a-4,4.故選D.(2)f(x)在R上單調(diào)遞減,a1.a的取值范圍為.答案(1)D(2) 方法總結(jié)利用單調(diào)性求參數(shù).視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).需注意:若函數(shù)在區(qū)間a,b上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的;對(duì)于分段函

11、數(shù)的單調(diào)性,除注意各段的單調(diào)性外,還要注意銜接點(diǎn)的取值.考法三函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用例7判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=(x-1);(2)f(x)=;(3)f(x)=(4)f(x)=+;(5)f(x)=x2-|x-a|+2.解析(1)由0,得定義域?yàn)?1,1),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故f(x)為非奇非偶函數(shù).(2)由得定義域?yàn)?-1,0)(0,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),這時(shí)f(x)=-.f(-x)=-=-f(x),f(x)為奇函數(shù).(3)當(dāng)x0,則f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);當(dāng)x0時(shí),-x0時(shí)的圖象,并寫(xiě)出函數(shù)f(x)(xR)的解析式;若函數(shù)g(x)=f(x)-2ax+2(

12、x1,2),當(dāng)a1時(shí),求函數(shù)g(x)的最小值.解析(1)易知f(x)的定義域?yàn)镽, f(x)=2+,設(shè)g(x)=,則g(-x)=-g(x)(xR),g(x)為奇函數(shù),g(x)max+g(x)min=0.M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4,故選C.(2)f(x)在x0時(shí)的圖象如圖所示.若x0,則-x0),f(x)=由知g(x)=x2-2x-2ax+2,其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=a+1,當(dāng)a1時(shí),a+12,g(x)=x2-2x-2ax+2在1,2上單調(diào)遞減,則g(x)在1,2上的最小值為g(2)=2-4a

13、.答案(1)C方法總結(jié)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式.抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分類(lèi)區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性作出關(guān)于f(x)的方程,從而可得f(x)的解析式.(2)已知帶有字母系數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性,求參數(shù).常常采用待定系數(shù)法,利用f(x)f(-x)=0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性可得出字母的值.(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域,函數(shù)的增減區(qū)間都是其定義域的子集;其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.常用方法有:根據(jù)定義,利用圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)等.(4)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).因此在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間

14、上,奇函數(shù)的單調(diào)性相同;偶函數(shù)的單調(diào)性相反.考法四函數(shù)周期性的確定及應(yīng)用例9(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則()A. f(-25)f(11)f(80) B. f(80)f(11)f(-25)C. f(11)f(80)f(-25) D. f(-25)f(80)f(11)(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=f(1-x),且當(dāng)x0,1時(shí), f(x)=2x-m,則m=, f(2 019)=.解題導(dǎo)引(1)由單調(diào)性比較函數(shù)值的大小時(shí),若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),要利用函數(shù)的性質(zhì),轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較.(2)利

15、用函數(shù)性質(zhì)求值的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性以及函數(shù)的周期性將自變量轉(zhuǎn)化到指定區(qū)間內(nèi),然后代入函數(shù)解析式求值.解析(1)f(x)滿(mǎn)足f(x-4)=-f(x),f(x-8)=f(x),f(x)的周期為8,f(-25)=f(-1), f(80)=f(0), f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1),又奇函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),f(x)在區(qū)間-2,2上是增函數(shù),f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)0,即x1時(shí),y=log3x+-12-1=1,當(dāng)且僅當(dāng)log3x=1,即x=3時(shí)取“=”.當(dāng)log3x0,即x1時(shí),y-2-1=-3.當(dāng)且僅當(dāng)log3x=-

16、1,即x=時(shí)取“=”.綜上所述,原函數(shù)的值域?yàn)?-,-31,+).例11(1)用mina,b,c表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值.設(shè)f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),則f(x)的最大值為()A.4B.5C.6D.7(2)(2019陜西西安高新第一中學(xué)模擬,6)已知函數(shù)f(x)=5-log3x,x(3,27,則f(x)的值域是()A.(2,4B.2,4)C.-4,4)D.(6,9解題導(dǎo)引(1)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象得最大值.(2)函數(shù)f(x)=5-log3x為減函數(shù),利用單調(diào)性求值域.解析(1)作出f(x)的圖象(如圖實(shí)線(xiàn)部分),可知A(4,6)為函數(shù)f(x)圖象的最高點(diǎn).(2)因?yàn)閥=log3x為增函數(shù),所以f(