2023年中國數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO)試題(含答案word)

1、 年中國數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO)試題第一天如圖1，在圓內(nèi)接中，為最大角，不含點(diǎn)的弧上兩點(diǎn)、分別為弧、的中點(diǎn)。記過點(diǎn)、且與相切的圓為，過點(diǎn)、且與相切的圓為，與交于點(diǎn)、。證明：平分。給定質(zhì)數(shù)。設(shè)是一個(gè)的矩陣，滿足。允許對(duì)一個(gè)矩陣作如下操作：選取一行或一列，將該行或該列的每個(gè)數(shù)同時(shí)加上1或同時(shí)減去1.假設(shè)可以通過有限屢次上述操作將中元素全變?yōu)?，那么稱是一個(gè)“好矩陣。求好矩陣的個(gè)數(shù)。3.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總存在滿足以下條件的嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列：對(duì)每個(gè)正整數(shù)，有；當(dāng)且僅當(dāng)整數(shù)時(shí)，存在正整數(shù)以及使得.第二天4.設(shè)是給定的正實(shí)數(shù)為給定的正整數(shù)。對(duì)滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)，求的最大值。5.設(shè)為無平方因子的正偶數(shù)，為

2、整數(shù)，為質(zhì)數(shù)，滿足.證明：可以表示為，其中，為互不相同的正整數(shù)。6.求滿足下面條件的最小正整數(shù)：對(duì)集合的任意一個(gè)元子集，都存在中的三個(gè)互不相同的元素、，使得、均在集合中。參考答案第一天如圖2，聯(lián)結(jié)、。分別記、為、，、分別為延長線、延長線上的任意一點(diǎn)。由條件易得。結(jié)合、五點(diǎn)共圓得，。由、分別切、于點(diǎn)得，及故在與中，分別運(yùn)用正弦定理并結(jié)合，得，故，又因?yàn)椤⒕鶠殁g角，所以，、均為銳角，于是，故。由加減法的交換律和結(jié)合律可以將針對(duì)同一行或同一列的操作合并進(jìn)行，并且無需考慮各操作間的次序。假設(shè)所有操作的最終結(jié)果是對(duì)第行每個(gè)數(shù)減去，對(duì)第列每個(gè)數(shù)減去，其中可以是任意整數(shù)。由題設(shè)知對(duì)所有的成立。由于表中各數(shù)互

3、不相同，那么互不相同，互不相同。不妨設(shè)，這是因?yàn)榻粨Q與的值相當(dāng)于交換第行和第行，既不改變題設(shè)也不改變結(jié)論。同樣，不妨設(shè)。于是，假設(shè)數(shù)表的每一行從左到右是遞增的，每一列從上到下也是遞增的。由上面的討論知或，不妨設(shè)。否那么，將整個(gè)數(shù)表關(guān)于主對(duì)角線作對(duì)稱，不改變題設(shè)也不改變結(jié)論。下面用反證法證明：全在第一行中。假設(shè)在第一行中，不在第一行中。于，。將連續(xù)的個(gè)整數(shù)稱為一個(gè)“塊，只需證明：表格的第一行恰由假設(shè)干個(gè)塊構(gòu)成，即前個(gè)數(shù)為一個(gè)塊，之后的個(gè)數(shù)又是一個(gè)塊，等等。如假設(shè)不然，設(shè)前組個(gè)數(shù)均為塊，但之后的個(gè)數(shù)不成為塊或之后缺乏個(gè)數(shù)，由此知對(duì)構(gòu)成塊。從而，表格的前列共可分成個(gè)的子表格，每個(gè)子表格中的個(gè)數(shù)構(gòu)成塊

4、。現(xiàn)假設(shè)，故。從而必定在前列中。這樣含在某個(gè)前面所說的的塊中，但、都不在該塊中，矛盾。于是，第一行恰由假設(shè)干個(gè)塊構(gòu)成。特別地，有。但，而是質(zhì)數(shù)，這導(dǎo)致矛盾。于是，數(shù)表的第一行恰為，而第行必定為因此，好矩陣在交換行，交換列，以及關(guān)于主對(duì)角線作對(duì)稱下總可轉(zhuǎn)化為唯一的形式。所以，好矩陣的個(gè)數(shù)等于遞推地構(gòu)造正整數(shù)序列如下：取整數(shù)，以及。對(duì)，取整數(shù)。下面證明這一序列滿足條件。由定義知對(duì)均成立，且對(duì)任意正整數(shù)有。于是，這一序列是嚴(yán)格遞增的正整數(shù)序列且滿足條件1。對(duì)任意正整數(shù)有及。最后只需說明：0不能表示成的形式，其中，。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。這樣便驗(yàn)證了所構(gòu)造的序列滿足所有條件。第二天解法1 由，那么當(dāng)時(shí)，上式

5、等號(hào)成立，故的最大值為。解法2 對(duì)歸納證明下述理一般的命題。命題 對(duì)滿足 的非負(fù)實(shí)數(shù)是任意固定的非負(fù)實(shí)數(shù)，的最大值在時(shí)取到。事實(shí)上，由的對(duì)稱性，不妨設(shè)。注意到，在非負(fù)實(shí)數(shù)集上是單調(diào)遞增的。那么當(dāng)時(shí)，等號(hào)在時(shí)成立。假設(shè)結(jié)論在時(shí)成立，考慮的情形。對(duì)用歸納假設(shè)有其中為關(guān)于的二次函數(shù)，其二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為。因此，對(duì)稱軸為顯然，上式不等號(hào)左邊右邊，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值。因此，取得最大值時(shí)，。由數(shù)學(xué)歸納法，命題得證。由于是偶數(shù)，故。又，故。不妨假設(shè)取，那么由條件知是整數(shù)，、是不同的正整數(shù)。下面只需證明：，并且、由均值不等式有，故由此知假設(shè)，那么，即由于是偶數(shù)，故為偶數(shù)，這樣被4整除，這與無平方因

6、子矛盾。假設(shè)，那么由于是偶數(shù)，故為奇數(shù)，這同樣導(dǎo)致被4整除，矛盾。綜上，選取的、滿足條件。命題獲證。設(shè)，令那么，且為偶數(shù).反之，假設(shè)存在、滿足性質(zhì)，那么取有、，且于是，題述條件等價(jià)于對(duì)任意的元子集，均有、，滿足性質(zhì)。假設(shè)，那么，且集合中不含有滿足性質(zhì)的三個(gè)元素。因此下面證明：任意一個(gè)1008元子集均含有三個(gè)元素滿足性質(zhì)。接下來證明一個(gè)更一般的結(jié)論：對(duì)任意整數(shù)，集合的任意一個(gè)元子集均含有三個(gè)元素滿足性質(zhì)。對(duì)進(jìn)行歸納。當(dāng)時(shí)，設(shè)集合是的一個(gè)六元子集，那么至少有4個(gè)元素。假設(shè)中含有三個(gè)偶數(shù)，那么4、6、8且滿足性質(zhì)；假設(shè)中恰含有兩個(gè)偶數(shù)，那么它還應(yīng)含有至少兩個(gè)奇數(shù)，取這兩個(gè)奇數(shù)，那么4、6、8中至少有兩個(gè)偶數(shù)與這兩個(gè)奇數(shù)可以形成一個(gè)滿足性質(zhì)的三元數(shù)組，由于至少有兩個(gè)偶數(shù)，故存在三個(gè)數(shù)滿足性質(zhì)；假設(shè)中恰含有一個(gè)偶數(shù)，那么它含有全部三個(gè)奇數(shù)，此偶數(shù)與5、7即構(gòu)成滿足性質(zhì)的三元數(shù)組。因此，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，考慮的情形。設(shè)集合是的一個(gè)元子集，假設(shè)，那么由歸納假設(shè)知結(jié)論成立。于是，只需考