四川省成都市2022屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期二診模擬考試試題二模理

1、屆二診模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題第卷（選擇題）一、選擇題（每小題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，選對(duì)得5分，共60分）1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】解：，故選：D2. 若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得復(fù)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：C3. 2021年4月8日，教育部辦公廳“關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知”中指出，各地要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生體質(zhì)健康重要性的宣傳，中小學(xué)校要通過體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競賽、班團(tuán)隊(duì)活動(dòng)、家校

2、協(xié)同聯(lián)動(dòng)等多種形式加強(qiáng)教育引導(dǎo)，讓家長和中小學(xué)生科學(xué)認(rèn)識(shí)體質(zhì)健康的影響因素.了解運(yùn)動(dòng)在增強(qiáng)體質(zhì)、促進(jìn)健康、預(yù)防肥胖與近視、錘煉意志、健全人格等方面的重要作用，提高學(xué)生體育與健康素養(yǎng).增強(qiáng)體質(zhì)健康管理的意識(shí)和能力.某高中學(xué)校共有2000名男生，為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100 名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)此圖，下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）A. 樣本的眾數(shù)約為B. 樣本的中位數(shù)約為C. 樣本的平均值約為66D. 為確保學(xué)生體質(zhì)健康，學(xué)校將對(duì)體重超過的學(xué)生進(jìn)行健康監(jiān)測，該校男生中需要監(jiān)測的學(xué)生頻數(shù)約為200人【答案】C【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)、中

3、位數(shù)、平均值的概念等求值即可判斷.【詳解】對(duì)于A，樣本的眾數(shù)為，A對(duì)；對(duì)于B，設(shè)樣本的中位數(shù)為，解得，B對(duì)；對(duì)于C，由直方圖估計(jì)樣本平均值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，2000名男生中體重大于的人數(shù)大約為，D對(duì).故選：C.4. 函數(shù)的圖像大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可根據(jù)得出函數(shù)是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤，然后通過得出A錯(cuò)誤，最后通過判斷出C錯(cuò)誤，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋x域?yàn)?，又，所以函?shù)是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤， 令，則，A錯(cuò)誤，令，則，C錯(cuò)誤，故選：B.5. 在等比數(shù)列an中，“a2a1”是“an為遞增數(shù)列”的（ ）A 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件

4、D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分發(fā)條件的定義判斷【詳解】是遞增數(shù)列，則必有，必要性滿足，若，滿足，但，數(shù)列不是遞增數(shù)列，充分性不滿足應(yīng)是必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，掌握充分必要條件的定義是解題關(guān)鍵6. 圓C：上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線的距離為1，則R的一個(gè)取值可能為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】先求得符合題意條件的R的取值范圍，即可做出判斷.【詳解】圓C：的圓心，半徑R點(diǎn)C到直線的距離為圓C上恰好存在2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則故選：B7. 在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】C

5、【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理得到的通項(xiàng)，結(jié)合確定項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】針對(duì)部分，通項(xiàng)為，中項(xiàng)為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，根據(jù)指定項(xiàng)確定值，進(jìn)而求系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.8. 我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“ ”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本題主要考查利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計(jì)算是住店問題，該重卦恰有3個(gè)陽爻是相同元素的排列問題，利用直接

6、法即可計(jì)算【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個(gè)陽爻情況有，所以該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率為=，故選A【點(diǎn)睛】對(duì)利用排列組合計(jì)算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計(jì)算是“住店”問題，滿足條件事件的計(jì)算是相同元素的排列問題即為組合問題9. 已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且又點(diǎn)都在球的球面上，且點(diǎn)到平面的距離為，則球的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)三角形ABC的外接圓的圓心為O,根據(jù)球的截面性質(zhì)可知OO平面ABC,利用正弦定理求得AO,計(jì)算球的半徑，進(jìn)而求得

7、體積.【詳解】設(shè)三角形ABC的外接圓的圓心為O,根據(jù)球的截面性質(zhì)可知OO平面ABC,如圖所示，,AO=,OA=球的體積為,故選：C.【點(diǎn)睛】10. 已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)，過的直線交右支于、兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為（ ）A. B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，然后由已知條件和雙曲線的定義或求得，再分別在和中，利用余弦定理列方程可求得，從而可求得離心率【詳解】解：設(shè)，則，所以，所以因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以設(shè)，則，在和中，由余弦定理得，即，解得，所以，故選：B11. 我們把叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家）.設(shè)，表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是

8、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意可得，故，利用裂項(xiàng)相消法可得，代入選項(xiàng)檢驗(yàn)即可.【詳解】，而，即，當(dāng)n=8時(shí)，左邊=，右邊=，顯然不適合；當(dāng)n=9時(shí)，左邊=，右邊=，顯然適合，故最小正整數(shù)的值9故選B【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.12. 在長方體中，P是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，如下的四個(gè)命題中，平面與平面所成角的正切值的最大值是的最小值為以A為球心，為半徑的球面與側(cè)

9、面的交線長是真命題共有幾個(gè)（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】證明出平面平面，利用面面平行性質(zhì)可判斷的正誤；求出的最小值，利用線面角的定義可判斷的正誤；將沿翻折與在同一平面，利用余弦定理可判的正誤；設(shè)是以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線上的一點(diǎn)，求出的長，判斷出點(diǎn)的軌跡，可判斷的正誤【詳解】解：對(duì)于，在長方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，同理可證平面，所以，平面平面，平面，所以，平面，故正確；對(duì)于，平面，所以，與平面所成角為，所以，當(dāng)時(shí)，與平面所成角的正切值的最大，由勾股定理可得，由等面積法可得，所以，的最大值為，故正確；對(duì)于，將沿

10、翻折與在同一平面，如下圖所示：在中，為直角，在中，由余弦定理可得，則為銳角，可得，由余弦定理可得，此時(shí)，因此，的最小值為，故正確；對(duì)于，設(shè)是以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線上的一點(diǎn)，由于平面，平面，所以交線為以為圓心，1為半徑的四分之一圓周，所以交線長是，故正確故選：D第卷（非選擇題）二、填空題（每小題5分，共20分）13. 設(shè)，向量，且，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算得，得出，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，解得，；，；，故答案?14. 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)得到，計(jì)算，得到切線方程.【詳

11、解】，則，故，故切線方程為：，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了切線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15. 若，是第三象限角，則_【答案】【解析】【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得，再把所求的式子切化弦，利用二倍角公式，求得結(jié)果【詳解】解：因?yàn)?，且是第三象限角，則，故答案為：16. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與此拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若且，則p_【答案】3【解析】【分析】設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根和之及兩根之積，求出直線，的斜率之和，可得斜率之和為0，可得直線，關(guān)于軸對(duì)稱，過作軸，準(zhǔn)線的垂線，由題意可得，可得直線的參數(shù)，再由弦長公式求出的值【詳解】解：設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)

12、立，整理可得：，可得，所以，所以可得，所以，又為銳角，解得，設(shè)，如圖作軸交于，由題意可得在拋物線的準(zhǔn)線上，作準(zhǔn)線，作，垂足為，則，所以，所以，所以，所以故答案：3三、解答題（17至21題，每題滿分12分，22或23題，每題滿10分，共70分）17. 第屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于年月日在北京開幕，本次冬季奧運(yùn)會(huì)共設(shè)個(gè)大項(xiàng)，個(gè)分項(xiàng)，個(gè)小項(xiàng).為調(diào)查學(xué)生對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某大學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為，統(tǒng)計(jì)得到以下列聯(lián)表，經(jīng)過計(jì)算可得.男生女生合計(jì)了解不了解合計(jì)（1）求的值，并判斷有多大的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)；（2）為弄清學(xué)生不了解冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的原

13、因，采用分層抽樣的方法從抽取的不理解冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再從這人中抽取人進(jìn)行面對(duì)面交流，“至少抽到一名女生”的概率；將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取人，記其中對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.附表：附：.【答案】（1），有的把握； （2）；.【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，根據(jù)的計(jì)算可得出關(guān)于的等式，即可解得正整數(shù)的值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）分析可知這人中男生的人數(shù)為，女生的人數(shù)為，利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型和對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；分析可知，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值.【小問1詳解】解：列聯(lián)表如下表所示：男生女

14、生合計(jì)了解不了解合計(jì)，可得，因此，有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)；【小問2詳解】解：采用分層抽樣的方法從抽取的不理解冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，這人中男生的人數(shù)為，女生的人數(shù)為，再從這人中抽取人進(jìn)行面對(duì)面交流，“至少抽到一名女生”的概率為；由題意可知，故.18. 已知的最小正周期為(1)求的值；(2)在中，角，所對(duì)的邊分別是為，若，求角的大小以及的取值范圍【答案】(1) ;(2) ,.【解析】【詳解】 試題分析：（1） 根據(jù)三角恒等變換的公式，得，根據(jù)周期，得，即，即可求解的值；（2）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡，可得，可得，進(jìn)而求得，即可求解的取值范

15、圍.試題解析：(1) ，由函數(shù)的最小正周期為，即，得， （2），由正弦定理可得 ， ，19. 如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，BAD60，DEAB于點(diǎn)E，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DDC，如圖2.（1）求證：A1E平面BCDE；（2）求二面角EA1BC的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明平面可得，再結(jié)合即可證明平面；（2）結(jié)合（1），以，所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】解:（1）證明:在菱形ABCD中，BAD60，DEAB于點(diǎn)E，. 又，平面，. 又，平面. （2）平面，以，所在直線分別為軸

16、，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.易知，則，易知平面的一個(gè)法向量為. 設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，.由圖得二面角為鈍二面角，二面角余弦值為. 20. 在中，的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)是的重心，軸上一點(diǎn)滿足，且（1）求的頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，若在軌跡上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件就是一些與定點(diǎn)、定直線有關(guān)的幾何量的等量關(guān)系，而該等量關(guān)系又易于表達(dá)成的等式，可利用直接法求軌跡方程；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜

17、率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)闉榈闹匦墓庶c(diǎn)坐標(biāo)為 2分由得， 即的頂點(diǎn)的軌跡的方程是 （2）設(shè)直線的兩交點(diǎn)為聯(lián)立：消去得： 且 因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危跃€段的中點(diǎn)即為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，整理得 由點(diǎn)在橢圓上，所以,整理得 將（2）代入（1）得，由（2）得或，所以的取值范圍為. 考點(diǎn)：1、求軌跡方程；2、直線與橢圓的綜合問題.21. 已知函

18、數(shù)（1）若，求的值域；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值集合【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)在時(shí)的極值，可得答案;（2）將，并由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可判斷為其最小值，由此判斷1為的極值點(diǎn)，因此可求得得或，再分別證明在或 時(shí)滿足題意，則可得答案.【小問1詳解】，時(shí)，的單調(diào)性和極值情況如下表：x012-0+190減函數(shù)極小值增函數(shù)6所以，的值域?yàn)椤拘?詳解】， ，即，設(shè)，則，在內(nèi)，且，則1為的極值點(diǎn)，即，解得或當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在內(nèi)為減函數(shù)；在內(nèi)為增函數(shù)，則，故成立當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等于0）設(shè)，則，故在內(nèi)為增函數(shù)，且所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；時(shí)，為增函數(shù)，故成立綜上所述，a的取值集合為【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求極值最值問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式成立時(shí)求參數(shù)的值的問題，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量很大；解答的關(guān)鍵是合理的變形，從而構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決問題.選做題：（在22題與23題中任選一題作答，并將所選的題目標(biāo)