微積分課件：D11-2續(xù)格林公式1

1、第二節(jié)一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價條件格林公式及其應(yīng)用 第十一章 三、二元函數(shù)的全微分求積四、全微分方程平面曲線積分與二重積分之間的關(guān)系一、 格林(Green)公式1、單、復(fù)連通區(qū)域及正向邊界單連通區(qū)域：設(shè)D是一區(qū)域,若D內(nèi)任何閉曲線可不越過D的邊界而連續(xù)地縮為一點,或D內(nèi)任一條閉曲線所包含復(fù)連通區(qū)域：的 區(qū)域?qū)儆贒,則稱D為單連通區(qū)域（無洞區(qū)域）單連通區(qū)域挖去若干個洞后所得的區(qū)域（有洞區(qū)域）域D邊界的 正向：平面閉曲線L圍成區(qū)域D,若觀察者沿L行進時,D的內(nèi)部靠左(總保持在左邊),則稱行進的方向為L的正向,反向為負向,記為-L或復(fù)連通區(qū)域外邊界L1的正向就是逆時針方向單

2、連通區(qū)域L的正向就是逆時針方向復(fù)連通區(qū)域內(nèi)邊界L2的正向就是順時針方向分段光滑且自身不相交的閉曲線稱為簡單曲線定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有( 格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或2、格林公式證明:1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且則即同理可證、兩式相加得:2) 若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區(qū)域 , 如圖3)若D是復(fù)連通區(qū)域,則將D劃分為單連通區(qū)域推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積格林公式例如, 橢圓所圍面積例1. 設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明證: 令則利用格林公式 ,

3、 得說明：若L不是閉曲線,可適當(dāng)添加輔助線使L補為閉曲線，所加曲線為平行于坐標(biāo)軸的 直線例2. 計算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點的三角形閉域 . 解: 令, 則利用格林公式 , 有例3. 計算其中L 為上半從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段它與L 所圍原式圓周區(qū)域為D , 則例4. 計算其中L是拋物線上從點A(-1,1)到點B(1,1)的一段練習(xí)：求其中L是拋物線上點O(0,0)到點(/2,1)的一段例5 設(shè)L是平面區(qū)域D的正向邊界曲線,DOxyz證明：如圖例6. 計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑

4、正向閉曲線.解: 令設(shè) L 所圍區(qū)域為D,由格林公式知在D 內(nèi)作圓周取逆時針方向, 對區(qū)域應(yīng)用格記 L 和 l 所圍的區(qū)域為林公式 , 得練習(xí)：求其中L為橢圓形區(qū)域:二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件1、第二型曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān)設(shè)D是XOY平面上的區(qū)域,P,Q是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù),若對D內(nèi)任兩條共起點與終點的分段光滑曲線都有則稱在D內(nèi)與路徑無關(guān)定理. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)(4) 在 D 內(nèi)每一點都有與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān). 函數(shù)則以下四個條件等價:在 D 內(nèi)是

5、某一函數(shù)的全微分,即 2、等價條件說明: 積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為 證明 (1) (2)設(shè)為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1)證明 (2) (3)在D內(nèi)取定點因曲線積分則同理可證因此有和任一點B( x, y ),與路徑無關(guān),有函數(shù) 證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得則P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點都有證明 (4) (1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖) ,利用格林公式 , 得所圍區(qū)域為證畢說明:根據(jù)定理 , 若在某區(qū)域內(nèi)則2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求d u = P

6、 dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):及動點或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;4)若函數(shù)P或Q在L內(nèi)部某點不連續(xù)或 D為 復(fù)連通區(qū)域 ,則上述結(jié)果不適用,但有下列結(jié)論定理 設(shè)除點外,P,Q處處有 連續(xù)的 一階偏導(dǎo)數(shù),且對任何包圍點的正向簡單閉曲線L,積分取同一值(與環(huán)路徑無關(guān)).ABLC例7. 在上半平面(不含X軸)內(nèi)與路徑無關(guān),求a與由題意有即由此推出：取L為從點(1,1)經(jīng)點(0,2)的折線三、二元函數(shù)的全微分求積全微分求積公式定理 設(shè)D是平面單連通區(qū)域,P,Q在D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且在D內(nèi)有若有函數(shù)說明：在單連通

7、區(qū)域D內(nèi)有才可用此公式并不是總有類似原函數(shù),有也不一定易求例8. 驗證是某個函數(shù)的全微分, 并求出這個函數(shù). 證: 設(shè)則由定理 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使。例9. 驗證在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它. 證: 令則由定理 可知存在原函數(shù)或例10. 設(shè)質(zhì)點在力場作用下沿曲線 L :由移動到求力場所作的功W解:令則有可見, 在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).思考: 積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意, 本題只在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān) !求1）曲線積分法2）不定積分法3）湊微分法原函數(shù)的求法：四、全微分方程一階微分方程若 （*）右端為全微分,即存在則稱(*)為全微分方程，其通解為若P,Q在平面單連通區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則(*)是全微分方程此時通解為或例 求以下方程的解若(*)本身不是全微分方程,但能找到非零因子,使得稱為積分因子例 求以下方程的解內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式2. 等價條件在 D 內(nèi)與路徑無關(guān).在 D 內(nèi)有對 D 內(nèi)任意閉曲線 L 有在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有思考與練習(xí)1. 設(shè)且都取正向, 問下列計算是否正確 ?提示:2. 設(shè)提示:設(shè) C 為沿從點依逆時針的半圓, 計算解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .原式 =到點2. 質(zhì)點M 沿