初中數(shù)學(xué)華東師大九年級(jí)上冊(cè)第23章 圖形的相似三角形中位線定理

1、課題三角形中位線定理課 時(shí)1課型新課任課教師 授 課班 級(jí)初3. 班教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：1、理解并掌握三角形中位線的概念和性質(zhì)定理； 2、能夠應(yīng)用三角形中位線概念及定理進(jìn)行有關(guān)的論證和簡(jiǎn)單計(jì)算，進(jìn)一步提高學(xué)生的計(jì)算能力； 3、通過定理證明及一題多解，逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力。過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、測(cè)量等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)現(xiàn)定理，并進(jìn)一步論證。情感與態(tài)度：1、通過一題多解。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣； 2、通過運(yùn)用三角形中位線定理解決實(shí)際問題，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；3、通過小組合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)參與精神與交流合作等能力。教學(xué)重點(diǎn)掌握三角形中位線定義、三角形中位線定理的發(fā)現(xiàn)、證明與

2、應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)正確添加輔助線探索并運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決有關(guān)問題。教學(xué)方法引導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)法教 具小黑板 、交互式電子白板。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程學(xué)生活動(dòng)一、創(chuàng)設(shè)情境二、探索活動(dòng)：活動(dòng)一:剪紙拼圖-探索發(fā)現(xiàn)，活動(dòng)二：探索三角形中位線的概念、給出猜想-性質(zhì)-證明猜想，得出定理思路拓展三、新知應(yīng)用四、例題教學(xué)-定理鞏固及其應(yīng)用五、小結(jié)收獲-課堂小結(jié)創(chuàng)設(shè)情境：BCM NBCM NA學(xué)生獨(dú)立思考2分鐘，教師適時(shí)引導(dǎo)：本題實(shí)質(zhì)是探究MN與AB之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的問題。這節(jié)課我們就來(lái)探討MN與AB之間的關(guān)系。2、回憶：（教材p77頁(yè)）如上右圖，在ABC中，DE BC ADEABC;當(dāng) D、E

3、分別為AB、AC中點(diǎn)時(shí),有 AE=EC； DE:BC=1:2。反之設(shè)問：在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，如下圖，試研究線段DE與BC的關(guān)系？ 議一議： （1）小黑板中的各類三角形，分別連結(jié)它們兩邊的中點(diǎn)。觀察圖中連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，與第三邊在數(shù)量上、位置上有怎樣的關(guān)系？說出你的猜想。（2）提出問題，創(chuàng)設(shè)情境問題 （剪一剪、畫一畫） 如圖，對(duì)任意ABC,分別取AB、AC邊的中點(diǎn)D、E，沿DE剪一刀，將它分成兩部分，然后這兩部分能拼成怎樣的一個(gè)特殊四邊形？在試探和議論中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)a.要求學(xué)生邊動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、邊分組議論。b.教師巡視后，選擇一名學(xué)生口述拼圖的方法-沿DE剪下的ADE，把它

4、拼至四邊形DBCE的外側(cè)，則四邊形DBCF能成為一個(gè)平行四邊形。c.教師指出剛才剪的一刀，是連結(jié)三角形兩邊的中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線。（板書課題）d.在強(qiáng)調(diào)三角形中位線概念的基礎(chǔ)上，指出一個(gè)三角形有三條中位線以及中位線和三角形中線是兩個(gè)不同的概念。并繼續(xù)設(shè)問：分別從位置和數(shù)量上看，三角形中位線與第三邊之間有怎樣的關(guān)系？定義：連定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線。（也就是要研究三角形中位線的性質(zhì)。）教師引導(dǎo)學(xué)生分析概念：、一個(gè)三角形有幾條中位線，你能分別作出來(lái)嗎？連接3條中位線后把原圖形分割成了什么基本圖形？（猜想有平行四邊形與全等的三角形，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生證明時(shí)不可取三條中位

5、線：循環(huán)論證）、三角形的中位線和三角形的中線不同。注意： 對(duì)比：三角形有三條中位線，它們組成一個(gè)三角形；三角形有三條中線，它們相交于一點(diǎn)。 e.要求學(xué)生觀察、討論，教師引導(dǎo)，得出猜想：猜想：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。也就是說：DEBC且DE=BC。設(shè)問：那么怎么證明我們的猜想呢？（學(xué)生有可能不添輔助線用法四；引導(dǎo)學(xué)生還有其他方法嗎？用法一- 法三）已知：在已知：在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)。求證：DEBC且DE=BC分析：要證明DE=BC，可以證明2DE=BC，所以，延長(zhǎng)DE到F，使DF=2DE，證明它與BC相等，要證明DEBC，只要證明四邊形BC

6、FD是平行四邊形。證明：法一 如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF=DE，聯(lián)結(jié)FC。又AE=CE，AED=CEFAEDCEF(SAS)F=ADE,CF=ADADCF又BD=ADBD=CFCF=BD四邊形BCFD是平行四邊形DF=BC且DE=BC猜想得到證明。三角形中位線定理：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。幾何語(yǔ)言表述：在ABC中，AD=DB，AE=EC DEBC（位置關(guān)系）； DE=BC（數(shù)量關(guān)系）。強(qiáng)調(diào)：中位線定理在同一條件下有兩個(gè)結(jié)論，一是表明位置關(guān)系，一是表明數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用時(shí)要根據(jù)需要而選擇。定理證明方法的探索：法二、作CFAB，與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，ADECFE

7、AD=CF（以下同例）。FEDCBA法FEDCBA根據(jù)對(duì)角線互相平分四邊形ADCF是平行四邊形AD=CF（以下同上）。法四、*利用三角形相似的判定及性質(zhì)（不添輔助線）（見教材第 頁(yè)）。點(diǎn)明：當(dāng)一個(gè)命題有幾種證法時(shí)，選取較簡(jiǎn)捷的方法。解決問題：1、你能說說引例的道理嗎？BCMBCMMA2、你能說出被三條中位線分割出的四個(gè)小三角形的關(guān)系嗎？3、你發(fā)現(xiàn)三角形DEF的周長(zhǎng)、面積與原三角形的周長(zhǎng)與面積間的關(guān)系了嗎？4、（1）如圖，在ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),DE=3cm,C70,那么BC= cm, AED 。（2）若在ABC中， D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn), AB、AC、BC的

8、長(zhǎng)分別為6cm、8cm和10cm. 則DEF的周長(zhǎng)是 cm。定理的應(yīng)用：例1：（教材78頁(yè)例1）求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分。 已知，如圖，在ABC中，AD=DB，BF =FC，AE=EC求證：AF、DE互相平分。證明：連結(jié)DF、EF ，AD=DB，BF=FCDFAC，同理FEAB四邊形ADFE是平行四邊形AF、DE互相平分設(shè)問：你還有其他的證明方法嗎？ 例2：求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形（由根據(jù)命題，說出已知、求證）已知：如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。 【79頁(yè)練

9、習(xí)2】學(xué)生議論后口述證明，教師板書證題過程（估計(jì)學(xué)生可能添兩條對(duì)角線或一條對(duì)角線來(lái)進(jìn)行證明）。要求學(xué)生動(dòng)手畫圖，猜測(cè)結(jié)論，再在小組內(nèi)相互討論。對(duì)上述猜測(cè)結(jié)論，逐一加以證明，并對(duì)學(xué)生證法在全班進(jìn)行交流和磋商。（學(xué)生口述，教師板書 ）【思考題-探索：把例題中的四邊形 ABCD 稱為原四邊形，順次連結(jié)四邊中點(diǎn)所得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形，可知，如果原四邊形是凸四邊形，其中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。探索一：若原四邊形是矩形、菱形、等腰梯形，那么中點(diǎn)四邊形是什么圖形？探索二：若原四邊形的對(duì)角線垂直、或相等、或垂直且相等，那么中點(diǎn)四邊形是什么圖形？（兩條對(duì)角線相等時(shí)，結(jié)論是菱形；兩條對(duì)角線互相垂直時(shí)，結(jié)論是矩

10、形。）探索三：若原四邊形改變形狀，中點(diǎn)四邊形有什么變化？探究四：順次聯(lián)結(jié)什么樣的四邊形各邊中點(diǎn)的線段所圍成的四邊形是平行四邊形、矩形、菱形、正方形？】課堂小結(jié) 本節(jié)課你通過怎樣的學(xué)習(xí)收獲到了什么？1、證明三角形中位線定理的關(guān)鍵在于什么？2、定理有幾個(gè)結(jié)論，如何應(yīng)用？（中位線定理在同一條件下有兩個(gè)結(jié)論，一是表明位置關(guān)系，一是表明數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用時(shí)要根據(jù)需要而選擇）3、到目前為止，在我們學(xué)過的定理中，結(jié)論存在一條線段等于另一條線段一半的有哪些？ 直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半。 三角形中位線定理。4、在應(yīng)用中位線解四邊形問題時(shí)，關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造含有中線、中位線的三角形。（添加輔助線要根據(jù)

11、圖形具體分析，可以過三角形的一邊中點(diǎn)作底邊的平行線；若有兩個(gè)或兩個(gè)以上中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)邊的端點(diǎn)構(gòu)造成三角形的中位線的形式。）（口訣：見中點(diǎn)作中線、中位線或平行線、反向延長(zhǎng)線。）存疑思考教師引導(dǎo)學(xué)生感受定義?；仡櫯f知，對(duì)比新知觀看黑板思考、討論得到猜想完成猜想的證明，得到定理培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖能力與嚴(yán)格的推理能力。證明思路的拓展和提高教師準(zhǔn)備其他證法，并適時(shí)點(diǎn)撥小結(jié)：充分運(yùn)用四邊形的知識(shí)證明線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；體驗(yàn)定理的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用、解決問題。學(xué)習(xí)收獲，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)參與精神與交流合作等能力。六、作業(yè) 體現(xiàn)“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”作業(yè)布置 A組：教材P79-80頁(yè) 習(xí)題：1、2、4。B組 ：1、已知三角形三邊之比為3:4:5，且周長(zhǎng)為60cm，求連結(jié)三邊中點(diǎn)所得三角形各邊長(zhǎng)是 。2、如左下圖，ABC中，D、E、F 分別為AB、BC、CA的中點(diǎn)，DEF = BAC 嗎？3、如右下圖，ABC中，AG 是 BC邊的高，(1)D、F是AB、AC的中點(diǎn)，DGF = BAC 嗎？（2）若E是BC的中點(diǎn)，且 EG=0.5AC, 求證：C=2B .4、 已知：如圖3，正方形ABCD中，AC、BD交于O點(diǎn)，的平分線交AC于E，交DC于F。 求證： (提示：過點(diǎn)O作OG結(jié)、，容易證明：中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.（1）如果改變?cè)倪呅蔚男螤睿敲粗悬c(diǎn)四邊形的