初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答第23講圓與圓

1、第二十三講圓與圓圓與圓的地址關(guān)系有外離、外切、訂交、內(nèi)切、內(nèi)含五種狀況，判斷兩圓的地址關(guān)系有以下三種方法：1經(jīng)過兩圓交點的個數(shù)確定；2經(jīng)過兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定；3經(jīng)過兩圓的公切線的條數(shù)確定為了溝通兩圓，常常增加與兩圓都有聯(lián)系的一些線段，如公共弦、共切線、連心線，以及兩圓公共部分相關(guān)的角和線段，這是解圓與圓地址關(guān)系問題的常用輔助線熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】如圖，Ol與半徑為4的O2內(nèi)切于點A，Ol經(jīng)過圓心O2，作O2的直徑BC交Ol于點D，EF為過點A的公切線，若O2D=22，那么BAF=度思路點撥直徑、公切線、O2的特別地址等，隱含豐富的信息，而連O2Ol必過

2、A點，先求出DO2A的度數(shù)注：(1)兩圓相切或訂交時，公切線或公共弦是重要的近似于“橋梁”的輔助線，它能夠使弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以溝通同時，又是生成圓冪定理的重要因素涉及兩圓地址關(guān)系的計算題，常作半徑、連心線，結(jié)合切線性質(zhì)等構(gòu)造直角三角形，將分其他條件集中，經(jīng)過解直角三角形求解【例2】如圖，Ol與O2外切于點A，兩圓的一條外公切線與O1相切于點B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則Ol與O2的半徑之比為()A2：5B1：2C1：3D2：3思路點撥增加輔助線，要研究兩半徑之間的關(guān)系，必定求出COlO2(或DO2Ol)的度數(shù)，為此需追求CO1B、CO1A、BO1A的關(guān)系1【

3、例3】如圖，已知Ol與O2訂交于A、B兩點，P是Ol上一點，PB的延長線交O2于點C，PA交O2于點D，CD的延長線交Ol于點N過點A作AECN交Oll于點E，求證：PA=PE；連接PN，若PB=4，BC=2，求PN的長思路點撥(1)連AB，充分運用與圓相關(guān)的角，證明PAE=PEA；(2)PBPC=PDPA，探望PN、PD、PA對應(yīng)三角形的聯(lián)系【例4】如圖，兩個同心圓的圓心是O，AB是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切于點D，連接OD并延長交大圓于點E，連接BE交AC于點F，已知AC=42，大、小兩圓半徑差為2求大圓半徑長；求線段BF的長；求證：EC與過B、F、C三點的圓相切思路點撥(1)設(shè)大圓半

4、徑為R，則小圓半徑為R-2，建立R的方程；(2)證明EBCECF；過B、F、C三點的圓的圓心O，必在BF上，連OC，證明OCE=90注：本例以同心圓為背景，綜合了垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、切線的判斷、勾股定理、相似三角形等豐富的知識作出圓中基本輔助線、運用與圓相關(guān)的角是解本例的要點2【例5】如圖，AOB是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓O1的圓心O1在OA上，并與弧AB內(nèi)切于點A，半圓O2的圓心O2在OB上，并與弧AB內(nèi)切于點B，半圓O1與半圓O2相切，設(shè)兩半圓的半徑之和為x，面積之和為y(1)試建立以x為自變量的函數(shù)y的分析式；求函數(shù)y的最小值思路點撥設(shè)兩圓半徑分別為R、r，關(guān)于(1

5、)，y1(R2r2)，經(jīng)過變形把R+r22用“x=R+r”2的代數(shù)式表示，作出基本輔助線；關(guān)于(2)，因x=R+r，故是在拘束條件下求y的最小值，解題的要點是求出R+r的取值范圍注：如圖，半徑分別為r、R的Ol、O2外切于C，AB，CM分別為兩圓的公切線，OlO2與AB交于P點，則：(1)AB=2Rr；ACB=OlMO2=90；(3)PC2=PAPB；(4)sinP=Rr；Rr(5)設(shè)C到AB的距離為d，則112rRd學(xué)力訓(xùn)練1已知：Ol和O2交于A、B兩點，且Ol經(jīng)過點O2，若AOlB=90，則AO2B的度數(shù)是2矩形ABCD中，AB=5，BC=12，若是分別以A、C為圓心的兩圓相切，點D在圓

6、C內(nèi)，點B在圓C外，那么圓A的半徑r的取值范圍(2003年上海市中考題)3如圖；Ol、O2訂交于點A、B，現(xiàn)給出4個命題：(1)若AC是O2的切線且交Ol于點C，AD是Ol的切線且交O2于點D，則AB2=BCBD；(2)連接AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，則OlO2=25cm；(3)若CA是Ol的直徑，DA是O2的一條非直徑的弦，且點D、B不重合，則C、B、三點不在同一條直線上，3若過點A作Ol的切線交O2于點D，直線DB交Ol于點C，直線CA交O2于點E，連接DE，則DE2=DBDC，則正確命題的序號是(寫出全部正確命題的序號)4如圖，半圓O的直徑AB=

7、4，與半圓O內(nèi)切的動圓Ol與AB切于點M，設(shè)Ol的半徑為y，AM的長為x，則y與x的函數(shù)關(guān)系是，自變量x的取值范圍是5如圖，施工工地的水平川面上，有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起，則其最高點到地面的距離是()A2B12C13D132226如圖，已知Ol、O2訂交于A、B兩點，且點Ol在O2上，過A作Oll的切線AC交BOl的延長線于點P，交O2于點C，BP交Ol于點D，若PD=1，PA=5，則AC的長為()A5B25C25D357如圖，Ol和O2外切于A，PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點PB=AB；PBA=PAB；PABOlAB；PBPC=OlAO2A上述結(jié)論，正確結(jié)論的

8、個數(shù)是()A1B2C3D48兩圓的半徑分別是和r(Rr)，圓心距為d，若關(guān)于x的方程x22rx(Rd)20有兩個相等的實數(shù)根，則兩圓的地址關(guān)系是()A必定內(nèi)切B必定外切C訂交D內(nèi)切或外切49如圖，Ol和O2內(nèi)切于點P，過點P的直線交Ol于點D，交O2于點E，DA與O2相切，切點為C1）求證：PC均分APD；求證：PDPA=PC2+ACDC；若PE=3，PA=6，求PC的長10如圖，已知Ol和O2外切于A，BC是Ol和O2的公切線，切點為B、C，連接BA并延長交Ol于D，過D點作CB的平行線交O2于E、F，求證：(1)CD是Ol的直徑；(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論1

9、1如圖，已知A是O、O2的一個交點，點M是OO2的中點，過點A的直線BC垂ll直于MA，分別交Ol、O2于B、C(1)求證：AB=AC；(2)若OlA切O2于點A，弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2，求證：dl+d2=O1O2；(3)在(2)的條件下，若l2=1，設(shè)Ol、O2的半徑分別為R、r，求證：R2+r2=R2r2dd12已知半徑分別為1和2的兩個圓外切于點P，則點P到兩圓外公切線的距離為13如圖，7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r，則捆扎這7根筷子一周的繩子的長度為14如圖，Ol和O2內(nèi)切于點P，O2的弦AB經(jīng)過Ol的圓心Ol，交Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，則Ol與O2

10、的直徑之比為()A2：7B2：5C2：3D1：315如圖，Ol與O2訂交，P是Ol上的一點，過P點作兩圓的切線，則切線的條數(shù)可能是()A1，2B1，3C1，2，3D1，2，3，4516如圖，相等兩圓交于A、B兩點，過B任作素來線交兩圓于M、N，過M、N各引所在圓的切線訂交于C，則四邊形AMCN有下面關(guān)系建立()A有內(nèi)切圓無外接圓B有外接圓無內(nèi)切圓C既有內(nèi)切圓，也有外接圓D以上狀況都不對17已知：如圖，O與訂交于A，B兩點，點P在O上，O的弦AC切P于點A，CP及其延長線交PP于點D，E，過點E作EFCE交CB的延長線于F1）求證：BC是P的切線；若CD=2，CB=22，求EF的長；若k=PE：

11、CE，可否存在實數(shù)k，使PBD恰好是等邊三角形?若存在，求出是的值；若不存在，請說明原由18如圖，A和B是外離兩圓，A的半徑長為2，B的半徑長為1，AB=4，P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點，PC切A于點C，PD切B于點D(1)若PC=PD，求PB的長；P，使PC2+PD2=4？，若是存在，問這樣的(2)試問線段AB上可否存在一點P點有幾個?并求出PB的值；若是不存在，說明原由；(3)當點F在線段AB上運動到某處，使PCPD時，就有APCPBD請問：除上述狀況外，當點P在線段AB上運動到哪處(說明PB的長為多少，或PC、PD擁有何種關(guān)系)時，這兩個三角形仍相似；并判斷此時直線CP與OB的地址

12、關(guān)系，證明你的結(jié)論19如圖，D、E是ABC邊BC上的兩點，F(xiàn)是BA延長線上一點，DAE=CAF判斷ABD的外接圓與AEC的外接圓的地址關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若ABD的外接圓半徑是AEC的外接圓半徑的2倍，BC=6，AB=4，求BE的長620問題：要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個圓柱的兩個底面和一個圓錐的底面操作：方案一：在圖甲中，設(shè)計一個使圓錐底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求，畫表示圖)方案二；在圖乙中，設(shè)計一個使圓柱兩個底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求：畫表示圖)；，研究：(1)求方案一中圓錐底面的半徑；(2)求方案二中圓錐底面及圓柱底面的半徑；(3)設(shè)

13、方案二中半圓圓心為O，圓柱兩個底面的圓心為O1、O2，圓錐底面的圓心為O3，試判斷以O(shè)1、O2、O3、O為極點的四邊形是什么樣的特別四邊形，并加以證明7參照答案8第二十四講幾何的定值與最值幾何中的定值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或地址關(guān)系不變的一類問題，解幾何定值問題的基本方法是：分清問題的定量及變量，運用特別地址、極端地址，直接計算等方法，先研究出定值，再給出證明幾何中的最值問題是指在必定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：1特別地址與極端地址法；2幾何定理(

14、公義)法；3數(shù)形結(jié)合法等注：幾何中的定值與最值近來幾年廣泛出現(xiàn)于中考競賽中，由冷點變?yōu)闊狳c這是由于這類問題擁有很強的研究性(目標不明確)，解題時需要運用動向思想、數(shù)形結(jié)合、特別與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法【例題就解】【例1】如圖，已知AB=10，P是線段AB上任意一點，在AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作等邊APC和等邊BPD，則CD長度的最小值為思路點撥如圖，作CCAB于C，DDAB于D，DQCC，CD2=DQ2+CQ2，DQ=1AB2一常數(shù)，當CQ越小，CD越小，本例也可設(shè)AP=x，則PB=10 x，從代數(shù)角度研究CD的最小值9注：從特別地址與極端地址的研究中易獲取啟示，

15、常能找到解題打破口，特別地址與極端地址是指：中點處、垂直地址關(guān)系等；端點處、臨界地址等【例2】如圖，圓的半徑等于正三角形ABC的高，此圓在沿底邊AB轉(zhuǎn)動，切點為T，圓交AC、BC于M、N，則關(guān)于全部可能的圓的地址而言，MTN為的度數(shù)（）A從30到60變動B從60到90變動C保持30不變D保持60不變思路點撥先考慮當圓心在正三角形的極點C時，其弧的度數(shù)，再證明一般狀況，從而作出判斷注：幾何定值與最值問題，一般都是置于動向背景下，動與靜是相對的，我們能夠研究問題中的變量，考慮當變化的元素運動到特定的地址，使圖形變化為特別圖形時，研究的量獲取定值與最值【例3】如圖，已知平行四邊形ABCD，AB=a，

16、BC=b(ab)，P為AB邊上的一動點，直線DP交CB的延長線于Q，求AP+BQ的最小值思路點撥設(shè)AP=x，把AP、BQ分別用x的代數(shù)式表示，運用不等式a2b22ab(當且僅當ab時取等號)來求最小值【例4】如圖，已知等邊ABC內(nèi)接于圓，在劣弧AB上取異于A、B的點M，設(shè)直線AC與BM訂交于K，直線CB與AM訂交于點N，證明：線段AK和BN的乘積與M點的選擇沒關(guān)思路點撥即要證AKBN是一個定值，在圖形中ABC的邊長是一個定值，說明AKBN與AB相關(guān)，從圖知AB為ABM與ANB的公共邊，作一個英勇的猜想，AKBN=AB2，10從而我們的證明目標更加明確注：只要研究出定值，那么解題目注明確，定值問

17、題就轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕膸缀巫C明問題【例5】已知XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形(Z=90)，它的三個極點分別在等腰RtABC(C=90)的三邊上，求ABC直角邊長的最大可能值思路點撥極點Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上，當極點Z在斜邊AB上時，取xy的中點，經(jīng)過幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大值，當極點Z在(AC或CB)上時，設(shè)CX=x，CZ=y，建立x，y的關(guān)系式，運用代數(shù)的方法求直角邊的最大值注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問題，即合適地采用變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關(guān)系，再運用相應(yīng)的代數(shù)知識方法求解常有的解題路子是：利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運用鑒識式求幾何最值；構(gòu)造二次函

18、數(shù)求幾何最值學(xué)力訓(xùn)練1如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上任意一點（可與B點或C點重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B、C、D，則BB+CC+DD的最大值為，最小值為2如圖，AOB=45，角內(nèi)有一點P，PO=10，在角的兩邊上有兩點Q，R(均不一樣樣于點O)，則PQR的周長的最小值為3如圖，兩點A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運動，則PAPB的最大值等于4如圖，A點是半圓上一個三均分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點，11O的半徑為1，則AP+BP的最小值為()A1B2C2D3125如圖，

19、圓柱的軸截面面搬動到BC的中點ABCD是邊長為S的最短距離是(4的正方形，動點)P從A點出發(fā)，沿看圓柱的側(cè)A212B2142C412D2426如圖、已知矩形ABCD，R，P戶分別是DC、BC上的點，E，F(xiàn)分別是AP、RP的中點，當P在BC上從B向C搬動而R不動時，那么以下結(jié)論建立的是()A線段EF的長逐漸增大B線段EF的長逐漸減小C線段EF的長不改變D線段EF的長不能夠確定7如圖，點C是線段AB上的任意一點(C點不與A、B點重合)，分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形訂BCE，AE與CD訂交于點M，BD與CE交于點N(1)求證：MNAB；(2)若AB的長為l0cm

20、，當點C在線段AB上搬動時，可否存在這樣的一點C，使線段MN的長度最長?若存在，請確定C點的地址并求出MN的長；若不存在，請說明原由(2002年云南省中考題)8如圖，定長的弦的垂足，求證：無論ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動，ST滑到什么地址，SPM是必定角M是ST的中點，P是S對AB作垂線9已知ABC是O的內(nèi)接三角形，BT為O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P作BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F當點P在線段AB上時(如圖)，求證：PAPB=PEPF；當點P為線段BA延長線上一點時，第(1)題的結(jié)論還建立嗎?若是建立，請證明，若是不能夠立，請說明原由10如圖，已知；邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一點P，使矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM的面積最大值是()A8B12C25D14211如圖，AB是半圓的直徑，線段CA上AB于點A，線段DB上AB于點B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圓上的一個動點，則封閉圖形ACPDB的最大面積是()A22B12C32D3212如圖，