一元二次方程知識點及其應用

1、一相知點理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為 1未知數(shù)的最高次數(shù)為 ，整式方程，可化為一般形式； 正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)（明確只有當二次項系數(shù) 0 時,整式方程ax 0才是一元二次方程.（2）各項的確(括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù).（3）熟練整理方程的過一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解列出實際問題的一元二次方程二解法 確一元二次方程是以降次為目，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段從而 把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；根據(jù)方程系數(shù)的特熟練地選用配方法、開平方法公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 體會不同解法的相互的聯(lián)系；值得注意的幾個問

2、題：(1)開平方:對于形如x2n或 )2n( 的一元二次方程一二次方的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負,可用開平方法求解。形如x的方程的解法：當 時，x ；當n 0時， x 0 1 ；n 0當時，方程無實數(shù).（2）配方法：通過配方的方法把一元次方程轉(zhuǎn)化為 x m)2n的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊； “系數(shù)化 據(jù)式的性質(zhì)把二次的系數(shù)化為 1；配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為 x m 2 n的形式求解：若 0時，方程的解為x n，若 0時，方程無實數(shù)（3）公式法：一

3、元二次方程2bx 的 x b 2 ac當 2 0時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根不相等；當b 2 時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根相等，寫為x x 1 b2;第 頁 共 頁 時 當時，方程無實數(shù)公式法的一般步驟一元二方程化為一般式確定a, , c的值;代入b 中計算其值判斷方程是否有實數(shù)根；若 代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（因為這樣可以減少計算量另外求根公式對于任何一一元二次方程都適用中也包括不完全的一元 二次方程）（4）因式分解:因式分解法解一元二次方程的依據(jù) 如果兩個因式的積等于 ，那么這兩個因式至少有一個為 0,即：若ab 0 則 a 或b ;因式分解法的一般步驟：若

4、方程的右邊不是零,先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到 兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當方法解一元二次方程對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法 較別的方法可能要便的多 只不過應注意二次根 式的化簡問題.方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻.(6)解含有字母系數(shù)的方程（1)含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不 要忘記對字母的取值進行討論。三根判式了解一元

5、二次方程根的判別式概,能用判別式判定根的情況，并會用別式求一元二次方程中符合題 意的參數(shù)取值范.（1= （2根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程 0 方有實數(shù)根；當 時 0（ 0) 0 （當 方有兩個不相等的實數(shù)根；當 0時 方有兩個相等的實數(shù)根當 0時方程無實數(shù)根；從左到右為根的判別式定從右到左為根的判別式逆定理。常見的問題類型（1)利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況 ）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍 ）應用判別式，證明一元二次方程根的情況先計算出判別式（關(guān)鍵步驟第 頁 共 頁用配方法將判別式恒等變形；判斷判別式的符號;總結(jié)出結(jié)論.（

6、4）分類討論思想的應用：如果方程出的時未指明是二次方后面也未指明兩個根，那一定對方程 進行分類討論如果二次系數(shù)為 ，方程有可能是一元一次程；如果二次項系數(shù)不為 0一元二次方程可 能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合角形、四邊形、不等(組）等知識綜合命題，解答要在全面分 析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7)判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題四一二方的用。數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位,偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形。幾何問題這類問題要結(jié)合幾何圖形性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對結(jié)果要 結(jié)合幾何

7、知識檢.。增長率問題（下降率類問題中，一般有變化前的基數(shù)（a ）增長率（ 變的次數(shù)（ )，變化后的基數(shù)（ b 四之間的關(guān)系可以用公a (1 )b表示。其實問題（都要注意檢驗解的實際意義，若不符合實際意義，則舍。五實應（1）有 米的籬笆材料想成一矩形倉,要求面積不小于 平米，在場地的北面有一堵 米 的舊墻有人用這個籬笆圍成一個長 米寬 10 米的倉庫,但面積只有 平米,不合要,問應如何設計 矩形的長與寬才能符合要求呢？（2）讀詩詞解題（列出方程，并估算周瑜去世時的年)：大江東去浪淘盡古風流數(shù)人立之年督東,英年早逝兩位數(shù)位小個位三位平方與壽符， 哪位學子算得準，多少年華屬周瑜 ）(3)已 知 ：

8、, b 分 別 是 ABC 的 三 邊 長 ， 當 m 時 ， 關(guān) 于 的 一 元 二 次 方 程c ( x 2 ) ( x 2 ) max 有兩個相等的實數(shù)根，求:ABC是直角三角.第 頁 共 頁2 2 （4）已知：a, , c 分是 的邊長，求證:程b2 2 b 2 2 ) x 2沒有實數(shù)根（5）當是什么整數(shù)時于的一元二次方程mx 2 與 2 0的根都是整數(shù)？（ )已知關(guān)于的方程 2 x 2m x m其為實數(shù)當為何值時方?jīng)]有實數(shù)根？（2）當為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個實數(shù)根。答案）m （2）x (二)一元二次方程的解法 開平方法解下列方程：）5125 0（ x 1 2

9、） （2)169( 2（x 156 22, 13 13）（3）y 361 （原方程無實根）(1 2 （ 1 ）配方法解方程：）x 0（x 6） （2)y2 （x 212）公式法解下列方程：） 6 （x 3 3）(2） p（ p 2)第 頁 共 頁2因式分解法解下列方程：2（1）14x2 （ ）(2）y2 y 45 0 ( y y 1 )（3）8x2 （ x 11 , 4 )（47 221 （ x 0, )解法的靈活運用（用適當方法解下列方)：（1）2(2 x 7) 2 （x 72 2） （2）2 2 2( )2（m 2 62）含字系的程解關(guān)于 x 的程）x2 mx 2 2（ , m 1 )（2

10、）x2 4ax a （ 1 2）(三）一元二次方程的根的判別式 不解方程判別方程根的情況：）x2 7 (有兩個不等的實數(shù)) ） x2 （無實數(shù)根)為何值時，關(guān)于 x 的次方程kx （1）有兩個不等的實數(shù)根 （k k 0)（2）有兩個相等的實數(shù)根 （k ）無實數(shù)根(k )第 頁 共 頁已知關(guān)于的方程3 )1 224 x 2 x 有兩個相等的實數(shù)根求的值和這個方程的根1 2, x x （1 2或若方程x a x 2 有實數(shù)根，求：正整數(shù) 。 （a )對任意實數(shù) m求證:于 x 的程 mx 4 無實數(shù)根.為何值時方程 k x k 有實數(shù)根。設 m 為整且 4 m 程 2 2(2 m 2 有兩個相異整

11、數(shù)根 m 的值及方程的根=12 時方程的根為 16, 26 1 ;當=24 時方程的根為 38, 1 ）第 頁 共 頁某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出 件每件盈利 40 元，為了擴大銷售增加盈利，盡快減少庫存場決定采取適當降價措施調(diào)查發(fā)現(xiàn)果每件襯衫每降價 商每天可多售 出 2 件 若商場平均每天要盈利 1200 元每襯衫應降價多少元？ （20 元已知甲乙兩人分別從正方形廣場 ABCD 的點 BC 同出發(fā)，甲由 向 D 運，乙由 B 運，甲的速度為每分鐘 1 千米,的速度每分鐘 千，若正方形廣場周長為 40 千，問幾分鐘后，兩人距 千米？ 分后）某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款 萬資金，用于產(chǎn)這種產(chǎn)簽訂的合同上約定兩年到期時一次性還本付息息本金的 8該產(chǎn)品投放市場后由于產(chǎn)銷對,使司在兩年到期時除還清貸款的本金和利息,還盈余 72 萬元若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分數(shù)相,求這 個百分數(shù) （20%如圖，東西和南北向兩條街道交于 點甲沿東西道由西向東走， 速度是每秒 ，乙沿南北道