矩陣可對角化的條件

1、第二節(jié)矩陣可對角化的條件定義1如果矩陣工能與對角矩陣相似，則稱可對角化。從而工可對角化。定理1H階矩陣工可對角化的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量。證明：必要性如果工可對角化，則存在可逆矩陣，使得將正按列分塊得尸=苞，蒞冗，從而有因此有期口=12曰），所以是工的屬于特征值的特征向量，又由F可逆，知苞，耳，氏線性無關(guān)，故有抬個線性無關(guān)的特征向量。充分性設(shè)馬工，,凡是工的理個線性無關(guān)的特征向量，它們對應(yīng)的特征值依次為A,則有一個可逆矩陣且有：次為A,則有一個可逆矩陣且有：。令，則F是因此有對角化。PAP注若塊得產(chǎn)=苞,蒞，,冗，于是有因此有對角化。PAP注若塊得產(chǎn)=苞,蒞，,冗，于是有也就是矩

2、陣工可，對正按列分必在口叫,卜中3區(qū)4犯從而必在口叫,卜中3區(qū)4犯從而a=12爐）。可見，對角矩陣的元素就是矩陣工的特征值，可逆矩陣就是由的線性無關(guān)的特征向量所構(gòu)成的，并且特征向量的順序依賴于對角矩陣。定理2矩陣工的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。證明：設(shè)友4丁兒是工的嵇個互不相同的特征值，是的屬于特征值的特征向量，現(xiàn)對嵇作數(shù)學(xué)歸納法證明以線性無關(guān)。當(dāng)陋=1時，由于特征向量不為零，因此定理成立。假設(shè)工的微7（酬0個互不相同的特征值對應(yīng)的個特征向量是線性無關(guān)的。設(shè)九4,口兒是工的臉個互不相同的特征值，是的屬于特征值的特征向量。又設(shè)月蒼十月凡十+噎4一卬戈=0的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)不超過特征

3、值4的重數(shù)。證明：用反證法。由于無是的屬于特征值4的特征向量當(dāng)且僅當(dāng)是齊次線性方程組（44一出戈二0的非零解，因此對應(yīng)于的特征向量線性無關(guān)的最大個數(shù)與齊次線性方程組（44一用戈二的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)相等。設(shè)為，笈1獷1藥是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,且假設(shè)c必，則有兒二4藥G=12。現(xiàn)將擴充為一個內(nèi)維線性無關(guān)向量組爸名,苞冗洪中未必是工的特征向量，但有%（酬=+L是一個融維向量，從而可由向量組西，在,男，牙，耳線性表示，即：乩%一a1融為十的第、十十%w匕+叫+加支產(chǎn)式加T+1J-，用）因而有：*左卜,為氏十,瑞=其中4有七個。令F寸4上，并將（2）式右端矩陣分塊表示，則1PW4p1ap=

4、有得得,由相似矩陣有相同的特征多項式，得工的特征多項式為:戶為=4-kAF=一竽4八=口-4閡眼廠匐=&4）%上k工其中其0=一闋是義的抬t次多項式。從而4至少是工的（上）重特征值，與是七重特征值矛盾。所以。定理5抬階矩陣工可對角化的充分必要條件是：的每個特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)的最大個數(shù)等于該特征值的重數(shù)（即工的每個特征值上對應(yīng)的齊次線性方程組=的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于該特征值的重數(shù),也即工的每個特征子空間匕的維數(shù)等于該特征值人的重數(shù)）。證明：設(shè)H,，其中兒&r兩兩不同，且有充分性由于對應(yīng)于書的特征向量有G個線性無關(guān)，又?jǐn)y個特征值互異，因此工有抬個線性無關(guān)的特征向量，故工可對角化。4工

5、的重數(shù),似。例角化？-14工的重數(shù),似。例角化？-1112-10,求工的特征值和特征向量，并判斷是否可對必要性（反證法）設(shè)有一個特征值z所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)則工的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)小于我，故不能與對角矩陣相工十1解：由解：由重特征值）。m5得工的特征值為4=T4=A=1（二，即:得基礎(chǔ)解系為哲=叵-0丁，從而出的屬于特征值兒二一1的特征向量為（為任意非零常數(shù)）。當(dāng)當(dāng)=4=1時，由，即：0-2x1得基礎(chǔ)解系為耳二口,0口，從而工的屬于特征值為=i的特征向量為（電為任意非零常數(shù)）。由于工的特征值對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)小于特征值的重數(shù)，故工不可對角化。d=1巳

6、知3d=1巳知330（二重特征值）。6”,判斷工能否對角化？若能對角化，求可逆矩陣F，使得F-i力F為對角陣。（二重特征值）。當(dāng)兒三一2時，由，即:-0得基礎(chǔ)解系為為=【3工殲為任意非零常數(shù)）。從而出的屬于特征值4=-2的特征向量為（-0得基礎(chǔ)解系為為=【3工殲為任意非零常數(shù)）。從而出的屬于特征值4=-2的特征向量為（當(dāng)當(dāng)=4=1時，由，即:得基礎(chǔ)解系為也=【一2，印及，從而工的屬于特征值=&=1的特征向量為網(wǎng)及十七凡（為任意不全為零的常數(shù)）。由于工的每個特征值對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于特征-5-2-5-2，則例4設(shè)工是階矩陣,乂C），則例4設(shè)工是階矩陣,乂C），判斷是否可

7、對角化。解：設(shè)工的特征方程眼*卜口的兩個根為友4，則，故有尸=而兀&卜值的重數(shù)，故且可對角化。令兩個不同的特征值，從而工可對角化。例5設(shè)實對稱矩陣1-1-例5設(shè)實對稱矩陣1-1-1-11-1-1-1-11-1-1-1-11A=，問工是否可對角化？若可對角化，求矩陣F,使得Ei力F為對角陣，并求3為正整數(shù)）。解：由得工的特征值為解：由（三重特征值）。當(dāng)4=一2時，由，即:得基礎(chǔ)解系為WHLLLif,從而工的屬于特征值4=-2的特征向量為（為任意非零常數(shù)）。當(dāng)=2時，由，即:得基礎(chǔ)解系為工=LLQf,從而工的屬于特征值為=4=4=2的特征向量為（為任意不全為零的常數(shù)）。由于工的每個特征值對應(yīng)的齊次

8、線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于特征值的重數(shù)，故工可對角化。令,iiii11-100,iiii11-10010-10100-111f1-10010-10100-1例設(shè)內(nèi)階矩陣工滿足（稱為冪等矩陣），證明：的特征值只能為?；?,并且可對角化。證明：設(shè)無是的屬于特征值金的特征向量，則工廠必三用出加工,由x=o,得，所以冪等矩陣的特征值只能為。或1。設(shè)秩（司=T，當(dāng)秩時，卅=。，故工可對角化且；當(dāng)秩（聞=制時,工可逆，由H=工得工=4,故可對角化且；現(xiàn)設(shè)oo是。當(dāng)特征值辦=1時，其特征矩陣的秩為片一尸。這是因為由*一=5（4T）=J所以尸（男）十乜一用甩；又尸十7）2/十出-司）=尸出）=用，因而，從而有再由可得對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)為設(shè)工的屬于