《函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教版】

1、函數(shù)零與方程解 教學(xué)設(shè) 教學(xué)目結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，進(jìn)一步了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，體會(huì) 學(xué)的整體性結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)判斷方程是否有解 教學(xué)重點(diǎn)教重：數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用教難：數(shù)零點(diǎn)存在定理的導(dǎo)出，函數(shù)零點(diǎn)定理的充分不必要性 課前準(zhǔn) 課，計(jì)算器，GGB 件 教學(xué)過（）體知明任引語在“函數(shù)的應(yīng)用（一）”中，通過一些實(shí)例，我們初步了解了建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程習(xí)了用函數(shù)描述客觀事物變化規(guī)律的方法節(jié)先學(xué)習(xí)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方（分）結(jié)合實(shí)例更深入地理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基 本過程，學(xué)習(xí)運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)

2、和提出問題、分析和解決問題的方法設(shè)意：確本小節(jié)將要研究的內(nèi)容（）知究數(shù)點(diǎn)概問 1：們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識一元二方程，所以要判斷一元二次方程是否有實(shí)數(shù)解除了利用一元次方程根的判別式可以利用二次函數(shù)請回憶相關(guān)內(nèi) 容，說說從二次函數(shù)的觀點(diǎn)，如何判斷一元二次方程是否有實(shí)數(shù)解？師活：生回憶相關(guān)內(nèi)容作答，教師予以補(bǔ)充完善預(yù)的案從二次函數(shù)的觀點(diǎn)來看，一元二次方程axbx 實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù) y 2 的點(diǎn)，也是二次函數(shù) 2 的象與 軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)設(shè)意：導(dǎo)學(xué)生回憶二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系到一般函數(shù)零點(diǎn)的概念 作鋪墊問 2比一元二次方程的實(shí)數(shù)解和相應(yīng)的二函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系 x 這樣不能用公式求

3、解的方程，是否也能采用類似的方法，用相應(yīng)的函數(shù)研究它的解的情況 呢？師活：生通過類比，得出答案預(yù)的案類比二次函數(shù)的零點(diǎn)，也可以考慮函數(shù) ln 的點(diǎn)，通過判斷函數(shù) x x 的象與 x 軸否有公共點(diǎn)判斷方程 x 是有實(shí)數(shù)解設(shè)意：過如何判斷一個(gè)沒有求根公式的方程是否有實(shí)數(shù)解的討論利用函數(shù) 觀點(diǎn)研究方程解的必要性問 3：過上面的討論，能否將這種利用函數(shù)觀點(diǎn)研究方解的方法，推廣到研究一 般方程的解？師活：生討論交流后作答，教師予以補(bǔ)充完善預(yù)的案可以將這種方法推廣到研究一般方程的解此二函數(shù)的點(diǎn)一樣， 我們有必要給出函數(shù)零點(diǎn)的定義定：于一般函數(shù) f f 叫函數(shù) y f （zero ）這樣函 y f 程 就函

4、數(shù) y f x 軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)設(shè)意：具體到抽象順其自然地導(dǎo)出一般函零點(diǎn)的概念得到一般方程實(shí)數(shù) 解和一般函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系追 1在函零點(diǎn)的義中，蘊(yùn)含著哪些等價(jià)關(guān)系？師活：生獨(dú)立思考，個(gè)別提問回答預(yù)的案根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，可得到如下的等價(jià)關(guān)系：方程 f 數(shù) f 數(shù) f 軸有公共 點(diǎn)即對于函數(shù) y f 義就是 f 幾何意義就是函數(shù)y fx的圖象與 x 軸的公共點(diǎn)設(shè)意：別從代數(shù)意義和幾何意義，使學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)追 2：數(shù)零點(diǎn)的定義，除了能幫助我們判斷方程是否有，還能為我們求解方程的 解，尤其是為那些不能用公式求解的方程的解，提供了哪些思路？師活：生討論交流，個(gè)別提問回答，教師予以補(bǔ)充完善預(yù)的

5、案求方程 f 就確函數(shù) f ，對于不能用公式求解的方程 f 題我們可把它與相應(yīng)的函數(shù) y 來，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點(diǎn)，從而得到方程的實(shí)數(shù)解設(shè)意：調(diào)不能用公式求解的方程學(xué)生明學(xué)函數(shù)以及掌握函數(shù)觀點(diǎn)的重 要性，同時(shí)也為函數(shù)零點(diǎn)存在定理的提出作鋪墊追 3這種用函數(shù)點(diǎn)研究方程解的方法，蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)思想？師活：生討論交流后得出答案，教師幫助學(xué)生總結(jié)和提煉預(yù)的案這其中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、歸與轉(zhuǎn)換、函數(shù)與方程結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 設(shè)意：學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識的整體性數(shù)點(diǎn)在理問 4：判斷方程是否有實(shí)數(shù)解，就要判斷函數(shù)是否有零，那么如何判斷函數(shù)在其定義域的某一區(qū)間上是否存在零點(diǎn)呢？為了研究這個(gè)問題，我們先從熟悉的二次

6、函數(shù)入手， 你認(rèn)為我們應(yīng)該從哪些方面研究二次函數(shù)的零點(diǎn)？師活：生討論交流，教師進(jìn)行引導(dǎo)預(yù)的案 可以考察一個(gè)存在零點(diǎn)的二次函數(shù)，察零點(diǎn)附近函數(shù)圖象的特征，分 析零點(diǎn)附近函數(shù)值的變化規(guī)律，然后抽象概括出其中的共性設(shè)意：確研究二次函數(shù)零點(diǎn)的方案追 1對于二次函數(shù) fx x 察它的圖圖），發(fā)現(xiàn)它在區(qū)，上零點(diǎn)這時(shí)，函數(shù)圖象與 軸有什圖 么關(guān)系？函數(shù) 規(guī)律？你能用 上的兩個(gè)具體的數(shù)值來 刻畫這種關(guān)系和規(guī)律嗎？師活：生觀察圖象尋找規(guī)律師進(jìn)行引導(dǎo)注意觀察在零點(diǎn)附近函數(shù)值的正負(fù) 號變化特點(diǎn)預(yù)的案在區(qū)間上的零點(diǎn)附近，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的并且“穿過 軸， 零點(diǎn)左側(cè)的圖象在 軸下方，零點(diǎn)右側(cè)的圖象在 x 軸方相應(yīng)的函

7、數(shù) f 左側(cè)小于 0，在零點(diǎn)右側(cè)大于 0因此函數(shù)在端點(diǎn) x=2 =4 的值異號，可用 f 來刻畫圖象關(guān)系和函數(shù)值規(guī)律設(shè)意：過觀察函數(shù)圖象得出規(guī)律，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合、將形轉(zhuǎn)化為數(shù)的過程， 學(xué)會(huì)用代數(shù)的語言描述圖象的方法追 2函數(shù) f x 在區(qū)間-，0上也有零點(diǎn)，這時(shí)，函數(shù)圖象與 軸什么關(guān)系？函數(shù) f(x)取值有什么規(guī)律？你能用 fx在區(qū)間-20的兩個(gè)具體的函數(shù)值來刻畫這種關(guān)系和規(guī)律嗎？師活：了追問 的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生應(yīng)該能夠獨(dú)立完成預(yù)的案與在區(qū)間4的情況類似，在區(qū)0上的零點(diǎn)附近，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的穿 軸點(diǎn)側(cè)的圖象在 軸方右側(cè)的圖象在 x 軸方應(yīng)的函數(shù) f()的取值在零點(diǎn)左側(cè)大于 0，在零點(diǎn)右側(cè)小于

8、 0因此函數(shù)在端點(diǎn) x=2 和 =0 的 取值異號，可用 f 系和函數(shù)值規(guī)律設(shè)意：比分析，便于學(xué)生抽象出兩個(gè)零點(diǎn)的共性追 3：區(qū)間24和區(qū)間-2上有零點(diǎn)過上面的分析說它們有什么共性？ 師活：生思考后回答，教師予以補(bǔ)充完善預(yù)的案當(dāng)數(shù)圖象連續(xù)不斷時(shí)包含零點(diǎn)的某一段區(qū)間內(nèi)數(shù)圖穿”x 軸零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值符號相反，此時(shí)這個(gè)區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值的乘積小于零即對于 函數(shù) f ， 設(shè)意：象得到共性，為得出函數(shù)零點(diǎn)存在定理作鋪墊問 5再任畫幾個(gè)數(shù)的圖象，觀察函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象與 軸關(guān)系，以及 f()的取值情況閱讀教書 143 頁函數(shù)零點(diǎn)存在定理”相關(guān)內(nèi)容，你能總結(jié)出函數(shù) 零點(diǎn)存在定理的判定條件嗎？師活：

9、生自行完成畫函數(shù)圖象并觀察，在閱讀完科書后，個(gè)別提問回答，教師 予以總結(jié)完善預(yù)的案得出函數(shù)零點(diǎn)存在定理，提煉定理中的判定條件函零存定：果函數(shù) y f 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有 f f b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在 c， )，使得 f c 也是方程 f 定理有兩個(gè)判定條件：（1在給定區(qū)ab的圖象連續(xù)不斷；（2 ff二者缺一不可設(shè)意：過對二次函數(shù) x 的究，學(xué)生再自行研究幾個(gè)函數(shù)后，直接給出函數(shù)零點(diǎn)存在定理就比較自然從特殊到一般的抽象概括過程學(xué)接受理本身的敘述比較長通過提煉中的兩個(gè)判定條件助學(xué)生加深理解定理并便于記 憶追 1你能舉幾個(gè)例子說明零點(diǎn)存在定的兩個(gè)判定條件么一不可嗎？師活：生舉例

10、說明，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：如果只滿足一個(gè)條件會(huì)出現(xiàn)的反例 預(yù)的案可以舉例并結(jié)合函數(shù)圖象行說明，可以舉的例子如下：（1） f 然數(shù)在區(qū)0，上圖象連續(xù)不斷，但是由于 f ，1上有點(diǎn)而函數(shù)在區(qū)間 01也確實(shí)沒零點(diǎn)（2） f 1雖 f 1的圖象不是連續(xù)不斷的，所以不能夠得到 f ，1上有零點(diǎn)而數(shù)在區(qū)間 11也確實(shí)沒零點(diǎn)設(shè)意過子來說明定理的兩個(gè)判定條件為什么缺一不可定理的理解外，由于學(xué)生研究函數(shù)的工具所限（主要是沒有極限工具），所以無法嚴(yán)格的給出函數(shù)“連續(xù)性”的定義因此在這里對函數(shù)的“連續(xù)性”避而不談，只是直觀的給出“函數(shù)圖象是一 條連續(xù)不斷的曲線”，使學(xué)生先有一個(gè)定性的認(rèn)識追 2：充分條件與必要條件的角

11、度分析，函數(shù)零點(diǎn)存在理的條件與結(jié)論之間，應(yīng) 該是什么關(guān)系？你能否給出一些具體的例子來說明？師活：生先討論交流，然后舉例說明，教師予以總結(jié)完善預(yù)的案函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件：函數(shù) fx在區(qū)間，b的圖象連續(xù)不斷，且 ff 結(jié)論是：函數(shù) f )至少有一個(gè)零點(diǎn)因此其逆命題是果函數(shù) f 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)函數(shù) y 在區(qū)間，的圖象連續(xù)不斷，且 f 考慮函數(shù) f x ，函數(shù)在區(qū)間(-，內(nèi)明顯有零點(diǎn) x，但是因?yàn)樵?=0 處數(shù)無定義，所以在區(qū)，2的圖象不是連續(xù)不斷的考慮函數(shù) 該函數(shù)在區(qū)間-24)內(nèi)明顯有零點(diǎn)且有兩個(gè)零點(diǎn) =1 和 x=3但是因?yàn)?f 所以其逆命題為假，即由函數(shù)零點(diǎn)存在定理的結(jié)論 q 不推出其條件

12、所以函數(shù)零點(diǎn) 存在定理的判定條件是充分但不必要條件設(shè)意：過具體實(shí)例，幫助學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件是充分但不必要的， 并且回顧了充分條件、必要條件、逆命題等相關(guān)內(nèi)容追 3：函數(shù)零點(diǎn)存在定理的結(jié)論是數(shù) y f )至少有一個(gè)零點(diǎn)是否說明，如果滿足判定條件，那么函數(shù) f 內(nèi)就只有一個(gè)零點(diǎn)？請說明 理由，或舉例說明師活：生思考后回答，教師予以補(bǔ)充完善預(yù)的案函數(shù)零存在定理只能確定零點(diǎn)存在不確定只存在一個(gè)零點(diǎn)不 能確定零點(diǎn)的具體個(gè)數(shù)例如三次函數(shù) f 連續(xù)不斷，且 內(nèi)三個(gè)零點(diǎn) x=1，x 和 x零點(diǎn)的具體個(gè)數(shù)，還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)對函數(shù)做進(jìn)一步研究*選）例如三次函數(shù) f ，在區(qū)間03的圖象連續(xù)不斷

13、，且f 兩個(gè)零點(diǎn) x=1 和 x并在零點(diǎn) x 附近，函數(shù)圖象不是“穿過 軸”，而是“與 軸切”設(shè)意：學(xué)生理解函零點(diǎn)存在定理是一個(gè)定存在性的定性定理不是一個(gè)確定零點(diǎn)數(shù)量的定量定理于生現(xiàn)階段對三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)還不是很熟悉以 以借助 GGB 等信息技術(shù)直接展示三次函數(shù) f 助學(xué)生理解因?yàn)楹瘮?shù)的描述方有三種所以也可以不給出某個(gè)具體的函數(shù)解析式是直接畫出一個(gè)函數(shù)圖象其滿足函數(shù)零點(diǎn)存在定理的判定條件是給定區(qū)間內(nèi)有不止 一個(gè)零點(diǎn)對于選學(xué)的例子 fxx x ，重根對應(yīng)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是一個(gè)還是多個(gè)，在中學(xué)階段一直有爭議但是，根據(jù)教科書習(xí)題 第 題和教師教學(xué)用書上給出的答案，并結(jié)合教科書上的函數(shù)零點(diǎn)的定義根應(yīng)的零

14、點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)該是一個(gè)以認(rèn)為該例的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是兩個(gè)為了防止給學(xué)生造成困擾，該例可視具體情況，決定是否講解在該例的教學(xué)中， 可以再次跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)零的定義是 f 叫函數(shù) f 函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)是一個(gè)實(shí)數(shù)而方程的根沒有關(guān)系只說函數(shù)的零點(diǎn)和方程的實(shí)數(shù)根 有關(guān)聯(lián)，但不是完全等價(jià)的*（選）問 4：數(shù)零點(diǎn)存在定理在數(shù)學(xué)分析上是“閉區(qū)間上連續(xù)數(shù)的介值定理”的特例，是捷克數(shù)學(xué)家波爾察諾在 年首先證明的但由于當(dāng)時(shí)缺乏實(shí)數(shù)理論，證明嚴(yán)格后由德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特斯將這個(gè)證明嚴(yán)密化利互聯(lián)網(wǎng)或查閱數(shù)學(xué)分析相關(guān) 的大學(xué)教材，了解介值定理的證明思路師活：生課后自行完成設(shè)意：于學(xué)生研究函數(shù)的工具所（主要是沒有限工具，所以無法嚴(yán)格的給出函數(shù)零點(diǎn)

15、存在定理的證明所教科書只能用由具體到抽象的方法推導(dǎo)出該定理學(xué)生通過了解介值定理的證明思路以深入的理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理解背后的理論依 據(jù)同時(shí)，可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)人文素養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性步用深理例 1 求程 ln x x 的數(shù)解的個(gè)數(shù)師活：生獨(dú)立完成，然后展示交流教師可以利用 GGB 等作圖工具畫出函數(shù) y ln 的圖象，或利用計(jì)算器列出 x， 的對應(yīng)值表，幫助學(xué)生觀察、判斷零點(diǎn)所在區(qū)間除了教科書給出的解法之外，有的學(xué)生可能會(huì)提出計(jì)函數(shù)取值尋函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間如果沒有學(xué)生提出用這種方法，教師也可以啟發(fā)學(xué)生考慮這種思路 預(yù)的案解設(shè)函數(shù) f ，利用計(jì)算工具，列出函數(shù) y ， 并畫出圖象如圖 2

16、表 xy-4 -1 9 1 63 35 47 89 9079 197 圖 2一方面由 圖 2 可知， f ，+)連續(xù)由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù) f 區(qū)間2內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)另一方面，對于函數(shù) f ，x，可以先將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù) 與 h 由 于 它 們 在 ， + 都 單 調(diào) 遞 ， 以 函 數(shù)f+)內(nèi)是增函數(shù)兩方面結(jié)合，可以判定它只有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)方程l 只一實(shí)數(shù)解對于尋找函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，也可以直接考慮函數(shù) f 的值，因?yàn)閒 ， f 以在區(qū)間 2，3上有 同樣由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù) f 在間，3)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)意：會(huì)將函數(shù)零點(diǎn)存在定理與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合，確定方程實(shí)數(shù)解的個(gè)

17、數(shù) 追：察函數(shù) f 的圖象，借助計(jì)算器，你能進(jìn)一步縮小函數(shù)零點(diǎn)所在的范圍嗎？師活：生討論交流后發(fā)言學(xué)生可能有多種路將函數(shù)零點(diǎn)縮小范圍要合理 可行，教師都可以鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行大膽嘗試預(yù)的案沒有固定的答案，充分發(fā)學(xué)生的探索精神和學(xué)習(xí)積極性即可設(shè)意：下節(jié)內(nèi)容“用二分法求方程的近似解”作鋪墊（）納結(jié)布作問 6回顧節(jié)課，說運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)，需要注意些什么？師活：由學(xué)生回答，然后由學(xué)生相互補(bǔ)充，教師進(jìn)行引導(dǎo)預(yù)的案運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)需要注意：（ 函數(shù)零點(diǎn)存在定理的兩個(gè)判定條件：在給定間 ，上的圖象連續(xù)不斷；ff可（2函數(shù)零點(diǎn)存在定理的判定條件，是充分但不必要的也就是說，它的逆命題和否 命題，都不一定成立，所以不能用它的逆命題和否命題，做出任何判斷和結(jié)論（3函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能判定在某一段區(qū)間內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)存在，但是零點(diǎn)的個(gè)數(shù)無法確定要確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，還需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，對函數(shù)進(jìn)一步研究 設(shè)意：次強(qiáng)調(diào)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的細(xì)節(jié)，引起學(xué)生的重視作布：科書習(xí)題（）標(biāo)測計(jì)圖 的）23）分別為函數(shù) y f 圍的圖象能否僅根據(jù)其中一個(gè)圖象，得出函數(shù) fx在某個(gè)區(qū)間只有一個(gè)零點(diǎn)的判斷？為什么？圖 設(shè)計(jì)意圖鞏固學(xué)生對函數(shù)零點(diǎn)認(rèn)識學(xué)生體會(huì)到僅據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的零 點(diǎn)