天津北辰區(qū)大張莊中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

1、天津北辰區(qū)大張莊中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 已知（ ）A B C D參考答案：D略2. 若為非零實(shí)數(shù)，且，則 A. 0 B. 1 C. 2D. 3參考答案：D3. 若cos（）=，則sin2=（）ABCD參考答案：D【分析】法1：利用誘導(dǎo)公式化sin2=cos（2），再利用二倍角的余弦可得答案法：利用余弦二倍角公式將左邊展開，可以得sin+cos的值，再平方，即得sin2的值【解答】解：法1：cos（）=，sin2=cos（2）=cos2（）=2cos2（）1=2

2、1=，法2：cos（）=（sin+cos）=，（1+sin2）=，sin2=21=，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式化與二倍角的余弦是關(guān)鍵，屬于中檔題4. 在中，則角的最大值為（ ）A B C D參考答案：D略5. 在同一平面內(nèi)，已知A為動(dòng)點(diǎn)，B，C為定點(diǎn)，且BAC=，BC=1，P為BC中點(diǎn)過點(diǎn)P作PQBC交AC所在直線于Q，則在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D. 參考答案：C【分析】先建系，由三點(diǎn)共圓得點(diǎn)A的軌跡方程為，則，則，再由在方向上投影的幾何意義可得解【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B（-，0），C（，0），P（0，0），由可

3、知，ABC三點(diǎn)在一個(gè)定圓上，且弦BC所對(duì)的圓周角為，所以圓心角為.圓心在BC的中垂線即軸上，且圓心到直線BC的距離為，即圓心為，半徑為.所以點(diǎn)A的軌跡方程為：，則 ，則 ，由在方向上投影的幾何意義可得：在方向上投影為|DP|=|x|，則在方向上投影的最大值是，故選：C6. 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若f（x）滿足條件：存在a，b?D（ab），使f（x）在a，b上的值域也是a，b，則稱為“優(yōu)美函數(shù)”，若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”，則t的取值范圍是（）AB（0，1）CD參考答案：D【考點(diǎn)】34：函數(shù)的值域【分析】由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍【解答】解：為

4、增函數(shù)，存在a，b?D（ab），使f（x）在a，b上的值域也是a，b，則，即a，b是方程為4x2x+t=0的兩個(gè)不等的根，設(shè)2x=m，m2m+t=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0，解得0t，故選：D7. 下列命題錯(cuò)誤的是 （ ）A. 命題“若則”的逆否命題為“若則”B. 若為假命題，則均為假命題C. 命題存在使得，則任意都有D. “x2”是“”的充分不必要條件參考答案：B8. 若一個(gè)圓柱的正視圖與其側(cè)面展開圖相似，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積與全面積之比為A BCD參考答案：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則，則，則側(cè)，全，故圓柱的側(cè)面積與全面積之比為，故選9. 函數(shù)的反函數(shù)為 A B C D參考答案：B1

5、0. 是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)= ( )A BCD .Com參考答案：A二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 函數(shù)的定義域?yàn)閰⒖即鸢福郝?2. 若復(fù)數(shù)，且與均為實(shí)數(shù)，則- 參考答案：答案： 13. 若關(guān)于x的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .參考答案： 14. 依此類推，第個(gè)等式為.參考答案：2n13(2n-1)=(n+1)(2n-1)2n15. 若函數(shù)對(duì)定義域的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”給出以下命題：是“依賴函數(shù)”；是“依賴函數(shù)”；是“依賴函數(shù)”；是“依賴函數(shù)”；，都是“依賴函數(shù)”，且定義域相同，則是“依賴函數(shù)”其中所有真命題的

6、序號(hào)是_參考答案：略16. 已知向量共線，則等于 。參考答案：17. 已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7=a7，則b6b8= 參考答案：16【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足，可得22a7=0，解得a7利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得b6b8=【解答】解：各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足，22a7=0，解得a7=4數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7=a7=4則b6b8=16故答案為：16【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題三、 解答題：本大題共5小

7、題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c。已知sinBsinC2sinA，且3b4a。(l)求cosB的值；(2)若，求f(B)的值。參考答案：19. 如圖，在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn) E在線段 PC上，PC平面 BDE（1）求證：BD平面 PAC；（2）若 PA=1，AD=2，求二面角 BPCA的大小參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定【分析】（1）證明PABDPCBD然后證明BD平面PAC （2）解法一：設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作OFPC于點(diǎn)F，連BF

8、，說明BFO為二面角 BPCA的平面角，在RtBFO中，即可求解二面角BPCA的大小解法二：分別以射線AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PBC的一個(gè)法向量，平面PAC的一個(gè)法向量利用向量的數(shù)量積求解二面角BPCA的大小【解答】證明：（1）PA平面ABCD，BD?平面ABCDPABD同理由PC平面BDE，可證得PCBD又PAPC=P，BD平面PAC 6分解：（2）解法一：設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作OFPC于點(diǎn)F，連BF，易證BFO為二面角 BPCA的平面角 9分由（1）知BOACABCD為正方形AB=2，在RtBFO中，tanBF

9、O=3，cosBFO=二面角BPCA的大小為arccos14分解法二：分別以射線AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz由（1）知BD平面PAC，又AC?平面PAC，BDAC故矩形ABCD為正方形，AB=BC=CD=AD=2A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，即，取x=1，得BD平面PAC，為平面PAC的一個(gè)法向量所以設(shè)二面角BPCA的平面角為，由圖知，則，二面角BPCA的大小為14分20. 已知函數(shù)f（x）=xlnxx2x+a（aR）（）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若函

10、數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（）求a的取值范圍；（）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，證明：x1?x2e2參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】（）對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)來判斷f（x）的圖形單調(diào)性；（）（i）函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為：方程lnxax=0在x0上有兩個(gè)不同根（ii）x1，x2分別是方程lnxax=0的兩個(gè)根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2；不妨設(shè)x1x2，作差得，ln=a（x1x2），即a=原不等式等價(jià)于【解答】解：（）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnxx函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤0，f（x）=lnx；當(dāng)x1時(shí)

11、，f（x）0；當(dāng)0 x1時(shí)，f（x）0所以，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+）上單調(diào)遞增（） （）依題意，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤0，f（x）=lnxax所以方程f（x）=0在x0上有兩個(gè)不同根，即：方程lnxax=0在x0上有兩個(gè)不同根，轉(zhuǎn)化為：函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在x0上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0ak令切點(diǎn)A（x0，lnx0），所以k=，又k=，所以，解得：x0=e，于是k=，所以，0a（）由（i）可知x1，x2分別是方程lnxax=0的兩個(gè)根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨設(shè)x1x2，作差得，ln

12、=a（x1x2），即a=原不等式等價(jià)于令，則t1，設(shè)，函數(shù)g（t）在（1，+）上單調(diào)遞增，g（t）g（1）=0，即不等式成立，故所證不等式成立【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，方程與函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想，屬中等題21. 在ABC中，已知（1）求證：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值參考答案：【考點(diǎn)】HX：解三角形；9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡已知的等式左右兩邊，然后兩邊同時(shí)除以c化簡后，再利用正弦定理變形，根據(jù)cosAcosB0，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切即可得到tanB=3tanA；（

13、2）由C為三角形的內(nèi)角，及cosC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，進(jìn)而再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式求出tan（A+B）的值，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后，將tanB=3tanA代入，得到關(guān)于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)【解答】解：（1）?=3?，cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0A+B，cosA0，cosB0，在等式兩邊同時(shí)除以cosA

14、cosB，可得tanB=3tanA；（2）cosC=，0C，sinC=，tanC=2，則tan=2，即tan（A+B）=2，=2，將tanB=3tanA代入得： =2，整理得：3tan2A2tanA1=0，即（tanA1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=，又cosA0，tanA=1，又A為三角形的內(nèi)角，則A=22. 某班主任對(duì)全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和參加社團(tuán)活動(dòng)情況進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示參加社團(tuán)活動(dòng)不參加社團(tuán)活動(dòng)合計(jì)學(xué)習(xí)積極性高17825學(xué)習(xí)積極性一般52025合計(jì)222850（）如果隨機(jī)從該班抽查一名學(xué)生，抽到參加社團(tuán)活動(dòng)的學(xué)生的概率是多少？抽到不參加社團(tuán)活動(dòng)且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少？（）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參加社團(tuán)活動(dòng)情況是否有關(guān)系？并說明理由x2= P（x2k）0.050.010.001K3.8416.63510.828參考答案：考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用 專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)分析：（）求出積極參加社團(tuán)活動(dòng)的學(xué)生有22人，總?cè)藬?shù)為50人，得到概率，不參加社團(tuán)活動(dòng)且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生為20人，得到概率（）根據(jù)條件中所給的數(shù)據(jù)，代入求這組數(shù)據(jù)的觀測值的公式，求出觀測值，把觀測值同臨界值進(jìn)行比較，得到有