《控制工程基礎(chǔ)》第七章 控制系統(tǒng)的性能分析與校正

1、 第七章 控制系統(tǒng)的性能分析與校正7.1 系統(tǒng)的性能指標7.2 系統(tǒng)的校正概述7.3 串聯(lián)校正7.4 反饋校正7.5 用頻域法對控制系統(tǒng)進行設(shè)計與校正7.6 典型機電反饋控制系統(tǒng)綜合校正舉例7.7 確定PID參數(shù)的其它方法 第七章 控制系統(tǒng)的性能分析與校正一、時域性能指標 評價控制系統(tǒng)優(yōu)劣的性能指標，一般是根據(jù)系統(tǒng)在典型輸入下輸出響應(yīng)的某些特點統(tǒng)一規(guī)定的。 常用的時域（階躍響應(yīng)、斜坡響應(yīng)）指標有： 最大超調(diào)量或最大百分比超調(diào)量 ； 調(diào)整時間 ； 峰值時間 ； 上升時間 ； 二、開環(huán)頻域指標 開環(huán)剪切頻率（rads）； 相位裕量； 幅值裕量； 靜態(tài)位置誤差系數(shù)； 靜態(tài)速度誤差系數(shù)； 靜態(tài)加速度誤

2、差系數(shù)。 三、閉環(huán)頻域指標： 諧振角頻率； 相對諧振峰值， ，當A（0）=1時， 與 在數(shù)值上相同； 復現(xiàn)頻率，當頻率超過，輸出就不能“復現(xiàn)”輸入，所以，0 表示復現(xiàn)低頻正弦輸入信號的帶寬，稱為復現(xiàn)帶寬，或稱為工作帶寬； 閉環(huán)截止頻率，頻率由0 的范圍稱為系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬。 閉環(huán)頻域指標 綜合性能指標（誤差準則） 1誤差積分性能指標 對于一個理想的系統(tǒng)，若給予其階躍輸入，則其輸出也應(yīng)是階躍函數(shù)。實際上，這是不可能的，在輸入、輸出之間總存在誤差，我們只能是使誤差e（t）盡可能小。下圖（a）所示為系統(tǒng)在單位階躍輸入下無超調(diào)的過渡過程，其誤差示于下圖（b）。在無超調(diào)的情況下，誤差e（t）總是單調(diào)的，因

3、此，系統(tǒng)的綜合性能指標可取為式中，誤差 因 所以 例 設(shè)單位反饋的一階慣性系統(tǒng)，其方框圖如下圖所示，其中開環(huán)增益K是待定參數(shù)。試確定能使I值最小的K值。 解: 當 時，誤差的拉氏變換為 有 可見，K越大，I越小。所以從使I減小的角度看，K值選得越大越好。 2誤差平方積分性能指標 兩種主要校正方式 見光盤課件第七章第三節(jié) 反饋校正 反饋校正可理解為現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)反饋，在控制系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，常見的有被控量的速度反饋、加速度反饋、電流反饋、以及復雜系統(tǒng)的中間變量反饋等。 在隨動系統(tǒng)和調(diào)速系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速、加速度、電樞電流等，都是常用的反饋變量，而具體的反饋元件實際上就是一些測量傳感器，如測

4、速發(fā)電機、加速度計、電流互感器等。 從控制的觀點來看，反饋校正比串聯(lián)校正有其突出的特點，它能有效地改變被包圍環(huán)節(jié)的動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)；另外，在一定條件下，反饋校正甚至能完全取代被包圍環(huán)節(jié)，從而可以大大減弱這部分環(huán)節(jié)由于特性參數(shù)變化及各種干擾給系統(tǒng)帶來的不利影響。 位置的微分反饋是將位置控制系統(tǒng)中被包圍的環(huán)節(jié)的速度信號反饋至輸入端，故常稱速度反饋（如果反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是 ，則稱為加速度反饋）。 速度反饋在隨動系統(tǒng)中使用得極為廣泛，而且在改善快速性的同時，還具有良好的平穩(wěn)性。當然實際上理想的微分環(huán)節(jié)是難以得到的，如測速發(fā)電機還具有電磁時間常數(shù)，故速度反饋的傳遞函數(shù)可取為 則對應(yīng)串聯(lián)校正 可見，測速機

5、反饋校正相當于串聯(lián)校正中的PD校正（即超前校正）。 對于位置控制系統(tǒng)加速度計反饋校正，如下圖則對應(yīng)串聯(lián)校正 可見，加速度計反饋校正相當于串聯(lián)校正中的PID校正（即超前-滯后校正）。 系統(tǒng)最優(yōu)模型 見光盤課件第七章第五節(jié) 高階最優(yōu)模型 下圖所示典型三階系統(tǒng)，也叫典型型系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 相角裕量為正，系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。 這個模型既保證了 附近的斜率為-20dBdec.，又保證低頻段有高增益，既保證了穩(wěn)定性又保證了準確性。 為便于分析，再引入一個變量h, h稱為中頻寬。在一般情況下， 是調(diào)節(jié)對象的固有參數(shù)，不便改動，只有 和K可以變動。 改變，就相當于改變了h。當h不變，只改動K時，即相當于改變

6、了 值。因此對典型型系統(tǒng)的動態(tài)設(shè)計，便歸結(jié)為h和 這兩個參量的選擇問題, h越大系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越好； 越大則系統(tǒng)快速性越好 。由上圖可知，如果知道了K值及h值，可得到 故 顯然，知道了h和 、 的值，伯德圖就可以完全確定了。當 是系統(tǒng)固有時間常數(shù)時，如果給定了中頻寬h后, 則 隨K的增大而增大。從附錄B可知，當選擇 或 時，閉環(huán)的諧振峰最小，階躍作用時的超調(diào)量也最小。 希望對數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能指標的關(guān)系 例：已知某閉環(huán)系統(tǒng)給定性能指標為 ，相角裕量為45，試設(shè)計系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性中頻段的參數(shù)。解： 如果是I型系統(tǒng)，則在中頻段高階最優(yōu)模型的基礎(chǔ)上增加轉(zhuǎn)角頻率 。 該系統(tǒng)比典型形式相角裕量增加

7、 ，系統(tǒng)閉環(huán)后相對穩(wěn)定性更好。一般 按照上式選取 ，可保證所要求的靜態(tài)放大倍數(shù)，進而保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 設(shè)在復現(xiàn)頻率處，系統(tǒng)的允許誤差為，則根據(jù)頻率特性定義，在該頻率下系統(tǒng)的開環(huán)增益應(yīng)滿足下式 如果在的頻段 內(nèi)，逐個頻率區(qū)域給出了誤差的要求，即可按上述原則求出各個頻率下最低的開環(huán)增益 這樣，就可以畫出工作頻段的增益禁區(qū)，即幅頻特性應(yīng)高于這個區(qū)域，才能保證復現(xiàn)頻帶及工作頻段內(nèi)的誤差。 由于控制系統(tǒng)各個部件通常存在一些小時間常數(shù)環(huán)節(jié)，致使高頻段呈現(xiàn)出-60dBdec.甚至更陡的形狀，見下圖。其開環(huán)傳遞函數(shù)為 所謂高頻區(qū)，是指角頻率大于 的區(qū)域。高頻區(qū)伯德圖呈很陡的斜率下降有利于降低噪聲，也就是控

8、制系統(tǒng)應(yīng)是一個低通濾波器。高頻段有多個小慣性環(huán)節(jié)，將對典型高階模型的系統(tǒng)的相位裕度產(chǎn)生不利的影響，使原來的相角裕度降低。 可見，該系統(tǒng)比型典型形式相角裕量減少 ，系統(tǒng)閉環(huán)后相對穩(wěn)定性變差。當高頻段有好幾個小時間常數(shù)，且滿足 時，如下圖，可認為 這時， 綜合系統(tǒng)時，為了仍然采用高階最優(yōu)模型的各項公式，需修正設(shè)計，加長 到 ，以保證具有足夠的穩(wěn)定裕量。一般 則 當高頻段有好幾個小時間常數(shù)時，則有 例：某角度隨動系統(tǒng)性能指標要求為：在輸入信號為 時速度誤差小于7.2角分，超調(diào)量小于25%，過渡過程時間小于0.2s。已知該系統(tǒng)在高頻處有一個小時間常數(shù)0.005s，試設(shè)計滿足上述性能指標的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅

9、頻特性。解：位置系統(tǒng)要求隨動速度信號，采用型系統(tǒng)。 可見，該系統(tǒng) 對穩(wěn)定性改善的影響很小，可以忽略不計。 可見，該系統(tǒng) 對穩(wěn)定性的不利影響較大，必須予以考慮。 用希望對數(shù)頻率特性進行校正裝置的設(shè)計 所謂校正，就是附加上校正裝置，使校正后的頻率特性成為希望頻率特性，即 式中， 校正裝置傳遞函數(shù)； 系統(tǒng)固有傳遞函數(shù)； 希望開環(huán)傳遞函數(shù)。 則 例 某單位反饋的隨動系統(tǒng)其固有部分的傳遞函數(shù)為 試設(shè)計系統(tǒng)校正參數(shù)，使系統(tǒng)達下列指標： 500rad/s，超調(diào)量 , 0.2s。 解: 首先確定希望對數(shù)頻率特性 1 值可用經(jīng)驗公式初步確定 另外，看固有時間常數(shù) 因 均大于 ，令 2確定中頻寬h值 h值的大小影

10、響超調(diào)量， 影響快速性，根據(jù) ，故可選h=10。 3確定 及 值 可選擇在 4. 為了保證 ，選 ，也就是說加入滯后校正 既保證了穩(wěn)定性、快速性，又保證了靜態(tài)增益達到 系統(tǒng)的固有對數(shù)幅頻特性如上圖所示，希望對數(shù)幅頻特性如圖所示，兩者之差即為校正裝置對數(shù)幅頻特性，如圖中所示。 校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 綜上所述，可選擇滯后校正 這個校正很容易用滯后網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)。 電壓-轉(zhuǎn)角位置隨動系統(tǒng) 測速反饋環(huán)路 為了降低電機時間常數(shù)，加入較深的測速負反饋，以階躍響應(yīng)的超調(diào)量不大于20%為宜。加入測速反饋可以改善正反轉(zhuǎn)動時傳遞特性的對稱性，減少死區(qū)，改善傳遞特性的線性度，增加系統(tǒng)阻尼。因此，伺服系統(tǒng)中只要允許加

11、入測速反饋，一般都加入這種負反饋。 選 =0.6，則小閉環(huán)傳遞函數(shù)為 把調(diào)速環(huán)作為一個已知的環(huán)節(jié)，再求系統(tǒng)固有開環(huán)傳遞函數(shù)為 按高階最優(yōu)模型設(shè)計，系統(tǒng)的希望開環(huán)傳遞函數(shù)為 則串聯(lián)校正傳遞函數(shù)為 直流電機調(diào)速系統(tǒng) 系統(tǒng)的希望開環(huán)傳遞函數(shù)為 串聯(lián)校正傳遞函數(shù)為 PID調(diào)節(jié)器 在工業(yè)設(shè)備中，為了改進反饋控制系統(tǒng)的性能，人們經(jīng)常選擇最簡單最通用的是比例積分微分校正裝置，簡稱為PID校正裝置或PID控制器。這里P代表比例，I代表積分，D代表微分。 PID控制具有以下優(yōu)點：(1) 原理簡單，使用方便。(2) 適應(yīng)性強，可以廣泛應(yīng)用于機電控制系統(tǒng)，同時也可用于化工、熱工、冶金、煉油、造紙、建材等各種生產(chǎn)部門

12、。(3) 魯棒性（Robust）強，即其控制品質(zhì)對環(huán)境和模型參數(shù)的變化不太敏感。 比例控制器（P調(diào)節(jié)） 在比例控制器中，調(diào)節(jié)規(guī)律是：控制器的輸出信號與偏差成比例。其方程如下：式中 稱為比例增益。 其傳遞函數(shù)表示為從減小偏差的角度出發(fā)，我們應(yīng)該增加 ，但是另一方面， 還影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加通常 導致系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降。因此在設(shè)計時必須合理的優(yōu)化 。 下面討論在單位反饋系統(tǒng)中，應(yīng)用M圓的概念來確定開環(huán)增益，使系統(tǒng)閉環(huán)諧振峰值滿足某一期望值。如圖，如果 1，那么從原點畫一條到所期望的圓的切線，該切線與負軸的夾角為, 則由切點P作負實軸的垂線，該垂線與負實軸的交點為A，容易證明A點坐標為（-1，j0）

13、。根據(jù)上述M圓特點，確定增益K的步驟如下： 畫出標準化開環(huán)傳遞函數(shù) 的乃奎斯特圖； 由原點作直線，使其與負實軸夾角滿足 試作一個圓心在負實軸的圓，使得它既相切于 的軌跡，又相切于直線PO； 由切點P作負實軸的垂線，交負實軸于A點； 為使試作的圓相應(yīng)于所期望的 圓，則A點坐標應(yīng)為（-1，j0）； 所希望的增益K應(yīng)使點A坐標調(diào)整到（-1，j0），因此K1/OA。例 一單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 確定增益K，使得 。 解： 畫出標準化傳遞函數(shù)的極坐標圖，如圖所示，其中 求 作直線OP，使OP與負實軸夾角為45.6，然后再試作一既與 相切又與OP相切的圓。 由切點向負實軸作垂線，交點為A（-0.63，

14、j0）。增益為 系統(tǒng)開環(huán)增益也很容易由對數(shù)幅相圖來確定，以下通過實例來說明其過程。例： 一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 改變增益使得 。解： 先在對數(shù)幅相圖上畫出K=2時系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的幅值-相位圖和尼柯爾斯曲線，如下圖所示。由軌跡和尼柯爾斯曲線的交點，便可確定閉環(huán)頻率特性， =2.5dB， 為了使 =1.3，必須減小增益K，使 的幅值相位圖向下平移，使其與 =1.3的尼柯爾斯曲線相切。設(shè)移動量為KdB，新的增益為K，則 由圖可知 ，即 此時 =1.3， 。 積分控制器（I調(diào)節(jié)） 在積分控制器中，調(diào)節(jié)規(guī)律是：偏差經(jīng)過積分控制器的積分作用得到控制器的輸出信號。其方程如下：式中 稱為積分增益。

15、其傳遞函數(shù)表示為積分控制器的顯著特點是減小穩(wěn)態(tài)誤差，對于階躍輸入能使偏差等于0。 積分控制器的相位始終是滯后的，因此滯后校正通常也認為是近似的積分校正。 微分控制器（D調(diào)節(jié)） 在微分控制器中，調(diào)節(jié)規(guī)律是：偏差經(jīng)過微分控制器的微分作用得到控制器的輸出信號，即控制器的輸出與偏差的變化速率成正比。其方程如下：式中 稱為微分增益。 其傳遞函數(shù)表示為 微分調(diào)節(jié)器對被調(diào)量的變化趨勢進行調(diào)節(jié)，及時避免出現(xiàn)大的偏差。 一般情況下，直接對檢測信號進行微分操作會引入很大的沖擊，造成某些器件工作不正常。另外，對于噪聲干擾信號，由于其突變性，直接微分將引起很大的輸出，即直接微分會造成對于線路的噪聲過于敏感。故而對于性

16、能要求較高的系統(tǒng)，往往使用檢測信號速率的裝置來避免對信號的直接微分。 由于微分控制器的相位始終是超前的，同時為了避免微分引起高頻噪聲增加而通常在分母增加一階環(huán)節(jié)，因此超前校正通常也認為是近似的微分校正。 比例-積分-微分控制器（PID調(diào)節(jié)） 比例、積分、微分控制器各有其優(yōu)缺點，對于性能要求很高的系統(tǒng)，單獨使用以上任何一種控制器達不到預(yù)想效果，可組合使用。PID調(diào)節(jié)器的方程如下： 其傳遞函數(shù)表示為 由于在PID控制器中，可供選擇的參數(shù)有 、 和 3個，因此在不同的取值情況下可以得到不同的組合控制器。比例控制器就是使 和 為0，積分控制器是使 和 為0，微分控制器是使 和 為0得到的。常用的組合控

17、制器有比例-積分（PI）控制器和比例-微分（PD）控制器。 比例積分（PI）控制器是令 為0得到的，其方程如下： 其傳遞函數(shù)表示為 比例微分（PD）則令為0得到，其方程如下： 其傳遞函數(shù)表示為 對于PI控制器，它綜合了P、I兩種控制器的優(yōu)點，利用P調(diào)節(jié)來快速抵消干擾的影響，同時利用I調(diào)節(jié)來消除殘差。對于PD控制器，由于引入了適當?shù)奈⒎謩幼骱罂梢圆捎幂^大的比例系數(shù)，因此不但減小了系統(tǒng)的殘差，而且可以減小短期的最大偏差和提高了快速性。 確定PID參數(shù)的其它方法 除了借助伯德圖的系統(tǒng)頻域綜合設(shè)計方法，下面介紹著眼于使系統(tǒng)閉環(huán)極點落在希望的位置，依靠解析的方法確定PID參數(shù),以及針對受控對象數(shù)學模型比

18、較復雜，借助于實驗的方法確定PID參數(shù) 。 PID校正傳遞函數(shù)應(yīng)為 這里有三個待定系數(shù)。 設(shè)系統(tǒng)固有開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 或 通過對三個系數(shù)的不同賦值，可改變閉環(huán)系統(tǒng)的全部或部分極點的位置，從而改變系統(tǒng)的動態(tài)性能。 任意極點配置法 由于PID調(diào)節(jié)器只有三個任意賦值的系數(shù)，因此只能對固有傳遞函數(shù)是一階和二階的系統(tǒng)進行極點位置的任意配置。對于一階系統(tǒng)，只需采用局部的PI或PD校正即可實現(xiàn)任意極點配置。設(shè)一階系統(tǒng)開環(huán)固有傳遞函數(shù)和校正環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)分別為 和 則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 為了使該系統(tǒng)校正后的阻尼比為 ，無阻尼自振角頻率為 ，選擇 即可。 對于二階系統(tǒng)，必須采用完整的PID校正

19、才能實現(xiàn)任意極點配置。設(shè)二階系統(tǒng)開環(huán)固有傳遞函數(shù)和校正環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)分別為 和 則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 假設(shè)得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)三階特征多項式可分解為 令對應(yīng)項系數(shù)相等，有 二、高階系統(tǒng)累試法 對于固有傳遞函數(shù)是高于二階的高階系統(tǒng)，PID校正不可能作到全部閉環(huán)極點的任意配置。但可以控制部分極點，以達到系統(tǒng)預(yù)期的性能指標。根據(jù)相位裕量的定義，有 則有 則 由式可獨立地解出比例增益 ，而后一式包含兩個未知參數(shù) 和 ，不是唯一解。通常由穩(wěn)態(tài)誤差要求，通過開環(huán)放大倍數(shù)，先確定積分增益 ，然后計算出微分增益 。同時通過數(shù)字仿真，反復試探，最后確定 、 和 三個參數(shù)。 例 設(shè)單位反饋的受控對象的傳遞函數(shù)為 試設(shè)

20、計PID控制器，實現(xiàn)系統(tǒng)剪切頻率 ，相角裕量 。解：由式,得 由式,得 輸入引起的系統(tǒng)誤差象函數(shù)表達式為 令單位加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差 ，利用上式，可得 試探法 采用試探法，首先僅選擇比例校正，使系統(tǒng)閉環(huán)后滿足穩(wěn)定性指標。然后，在此基礎(chǔ)上根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求加入適當參數(shù)的積分校正。積分校正的加入往往使系統(tǒng)穩(wěn)定裕量和快速性下降，此時再加入適當參數(shù)的微分校正，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。以上過程通常需要循環(huán)試探幾次，方能使系統(tǒng)閉環(huán)后達到理想的性能指標。 齊格勒尼柯爾斯法 （Ziegler and Nichols ） 對于受控對象比較復雜、數(shù)學模型難以建立的情況，在系統(tǒng)的設(shè)計和調(diào)試過程中，可以考慮借助實驗方法，采用齊格勒尼柯爾斯法對PID調(diào)節(jié)器進行設(shè)計。用該方法系統(tǒng)實現(xiàn)所謂“四分之一衰減”響應(yīng)（”quarter-decay”），即設(shè)計的調(diào)節(jié)器使系統(tǒng)閉環(huán)階躍響應(yīng)相臨后一個周期的超調(diào)衰減為前一個周期的25%左右。 當開環(huán)受控對象階躍響應(yīng)沒有超調(diào)，其響應(yīng)曲線有如下圖的S形狀時，采用齊格勒尼柯爾斯第一法設(shè)定PID參數(shù)。對單位階躍響應(yīng)曲線上斜率最大的拐點作切線，得參數(shù)L和T，則齊格勒尼柯爾斯法參數(shù)設(shè)定如下： (a) 比例控制器： (b) 比例積分控制器： ， (c) 比例積分微分控制器： ， 對于低增益時穩(wěn)定而高增益時不穩(wěn)定會產(chǎn)