物理增強(qiáng)的流場(chǎng)深度學(xué)習(xí)建模與模擬方法

1、物理增強(qiáng)的流場(chǎng)深度學(xué)習(xí)建模與模擬方法摘要 流體運(yùn)動(dòng)理論上可用Navier-Stokes方程描述，但由于對(duì)流項(xiàng)帶來的非線性,僅在少數(shù)情況可求得方程解 析解.對(duì)于復(fù)雜工程流動(dòng)問題，數(shù)值模擬難以高效精準(zhǔn)計(jì)算高雷諾數(shù)流場(chǎng)，實(shí)驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量難以獲得流場(chǎng)豐富 細(xì)節(jié).近年來，人工智能技術(shù)快速發(fā)展，深度學(xué)習(xí)等數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)可利用靈活網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，借助高效優(yōu)化算法，獲 得對(duì)高維、非線性問題的強(qiáng)大逼近能力，為研究流體力學(xué)計(jì)算方法帶來新機(jī)遇.有別于傳統(tǒng)圖像識(shí)別、自然語 言處理等典型人工智能任務(wù)，深度學(xué)習(xí)模型預(yù)測(cè)的流場(chǎng)需滿足流體物理規(guī)律，如Navier-Stokes方程、典型能譜 等.近期，物理增強(qiáng)的流場(chǎng)深度學(xué)習(xí)建模與模擬方

2、法快速發(fā)展,正逐漸成為流體力學(xué)全新研究范式:根據(jù)流體物 理規(guī)律選取網(wǎng)絡(luò)輸入特征或設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的方法稱為物理啟發(fā)的深度學(xué)習(xí)方法,直接將流體物理規(guī)律顯式融 入網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的方法稱為物理融合的深度學(xué)習(xí)方法.研究內(nèi)容涵蓋流體力學(xué)降階模型、流動(dòng)控 制方程求解領(lǐng)域.關(guān)鍵詞 物理增強(qiáng)的深度學(xué)習(xí)，降階模型，方程求解，湍流PHYSICS-ENHANCED DEEP LEARNING METHODS FOR MODELLING ANDSIMULATING FLOW FIELDS1)Abstract Fluid flows can be theoretically described by the Nav

3、ier-Stokes equations. However, due to the nonlinear convection term, analytical solutions of the equations can only be obtained for a few cases. For complex engineering flow problems at high Reynolds numbers, it is difficult to calculate the flow field efficiently and accurately by numerical simulat

4、ion, and it is difficult to obtain rich details by experiment or field measurement. With the rapid development of artificial intelligence technology, data-driven technologies such as deep learning can make use of flexible network structures and efficient optimization algorithms to obtain strong appr

5、oximating ability for high-dimensional and nonlinear problems, bringing opportunities for the development of computational methods for fluid mechanics. Different from traditional data-driven deep learning modeling methods for image classification and natural language processing, the flow fields pred

6、icted by deep learning models should obey physical laws of fluids, such as the Navier-Stokes equations and typical energy spectrum. Recently, physics-enhanced deep learning methods have developed rapidly and are gradually becoming a new research paradigm of fluid mechanics: the method of selecting n

7、etwork input features or designing network architecture according to the laws of fluid physics is called the physics-inspired deep learning method, and the method of explicitly integrating the laws of fluid physics into the network loss function or network architecture is called the physics-informed

8、 deep learning method. The research content covers the fields of reduced order modelling of fluid mechanics and solution of flow governing equations.Key words physics-enhanced deep learning, reduced order modelling, solution of equations, turbulent flows引言流體運(yùn)動(dòng)廣泛存在于工程應(yīng)用中，例如航空航 天工程、海洋工程、土木工程等領(lǐng)域.理論上，流體

9、 運(yùn)動(dòng)可用納維-斯托克斯(Navier-Stokes, N-S)方程 描述.但對(duì)流項(xiàng)的存在使得該方程具有高度非線 性、多尺度特性，給方程求解帶來巨大困難，方程僅 在少數(shù)情況可求得解析解或近似解.復(fù)雜流動(dòng)問題 的研究通常借助計(jì)算流體力學(xué)與實(shí)驗(yàn)流體力學(xué).當(dāng) 采用數(shù)值方法模擬流場(chǎng)時(shí)，由于多尺度特性帶來的 巨大計(jì)算量使得高精度的直接數(shù)值模擬(direct numerical simulation, DNS)技術(shù)難以實(shí)現(xiàn);雷諾平均 (Reynolds averaged N-S simulation, RANS)方法與大 渦模擬(large eddy simulation, LES)方法仍是求解工 程流動(dòng)

10、問題的主要手段.但是由于依賴經(jīng)驗(yàn)，傳統(tǒng)雷 諾應(yīng)力或亞格子應(yīng)力閉合模型無法精準(zhǔn)模擬復(fù)雜流 動(dòng).由于實(shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)設(shè)備限制，實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)獲 得流場(chǎng)豐富時(shí)空細(xì)節(jié)依然存在困難.近年來，機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)技術(shù)飛速發(fā)展.依 賴于靈活的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)、強(qiáng)大的非線性逼近能力與高 效的優(yōu)化算法，深度學(xué)習(xí)在以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)解決圖像 識(shí)別1,自然語言處理2,無人駕駛3等問題時(shí)獲得 了巨大成功.在過去的幾十年里，高性能計(jì)算機(jī)和先 進(jìn)流體實(shí)驗(yàn)設(shè)備的應(yīng)用使得湍流等流動(dòng)研究領(lǐng)域積 累了大量數(shù)據(jù).深度學(xué)習(xí)可高效挖掘這些大規(guī)模高 維數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的豐富流動(dòng)物理特征，為研究流體力 學(xué)建模方法與高效模擬方法帶來新機(jī)遇4-5,并且已 經(jīng)在湍流閉合

11、模型領(lǐng)域取得重要進(jìn)展.例如,Edeling 等6-7基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用高斯過程回歸對(duì)k-兩方 程的多個(gè)系數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn),提升了雷諾應(yīng)力預(yù)測(cè)精度; Ling等采用全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了 Pope9提出 的不變量到雷諾應(yīng)力非線性基函數(shù)系數(shù)的預(yù)測(cè)模 型,模型自動(dòng)滿足伽利略不變性，在二次流、周期丘 陵等流動(dòng)問題模擬中顯著提升了雷諾應(yīng)力預(yù)測(cè)精度; Zhu等10采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了流場(chǎng)平均量到 渦黏系數(shù)的代數(shù)模型，在機(jī)翼繞流場(chǎng)求解中與 Spallart-Allmaras模型渦黏系數(shù)偏微分方程求解方 法相比，求解精度保持不變的條件下求解效率得到 了顯著提升;Jiang等11基于殘差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了雷 諾應(yīng)力各向異

12、性張量預(yù)測(cè)模型，并通過引入新的混 合時(shí)間尺度作為輸入成功解決了多值映射問題; Xie等12采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成功建立了非線性亞格子應(yīng) 力代數(shù)模型，有效提升了 LES模擬精度.Duraisamy 等13和謝晨月等14對(duì)人工智能在湍流閉合模型領(lǐng) 域(包括雷諾應(yīng)力模型和亞格子應(yīng)力模型)的成功應(yīng) 用進(jìn)行了系統(tǒng)綜述.不同于圖像識(shí)別、自然語言處理、無人駕駛等 典型人工智能任務(wù)，深度學(xué)習(xí)模型預(yù)測(cè)的流場(chǎng)需滿 足流體物理規(guī)律，如N-S方程、典型能譜等.當(dāng)僅基 于流場(chǎng)數(shù)值模擬或?qū)嶒?yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)建立流場(chǎng)深度學(xué)習(xí) 模型時(shí)，流體物理規(guī)律并未直接嵌入模型.但在網(wǎng)絡(luò) 訓(xùn)練過程中，待學(xué)習(xí)參數(shù)的調(diào)整使得網(wǎng)絡(luò)逐漸逼近 所?；鲌?chǎng)的流體物理

13、規(guī)律；訓(xùn)練完成的網(wǎng)絡(luò)若在 測(cè)試集上具有良好的泛化能力，則認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)成功捕 捉了流場(chǎng)預(yù)測(cè)所需流體物理規(guī)律.另一方面,流體物 理規(guī)律可嵌入深度學(xué)習(xí)模型,在網(wǎng)絡(luò)輸入特征選 取、架構(gòu)設(shè)計(jì)、損失函數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)其充分考慮，提 升深度學(xué)習(xí)模型預(yù)測(cè)精度、泛化能力，此類方法稱 為物理增強(qiáng)的深度學(xué)習(xí)方法15.具體地，根據(jù)流體物 理規(guī)律選取網(wǎng)絡(luò)輸入特征或設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的方法稱 為物理啟發(fā)的深度學(xué)習(xí)方法；直接將流體物理規(guī)律 顯式融入網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的方法稱為物理 融合的深度學(xué)習(xí)方法.本文首先介紹深度學(xué)習(xí)靈活 的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)、強(qiáng)大的非線性逼近能力與高效的優(yōu)化算法，進(jìn)一步闡述基于深度學(xué)習(xí)上述優(yōu)良特性發(fā)展 的物理增強(qiáng)深度學(xué)習(xí)方

14、法在流場(chǎng)降階模型與流動(dòng)控 制方程求解領(lǐng)域的研究進(jìn)展.1深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為深度學(xué)習(xí)發(fā)展的開端,Hinton等16利用貪 婪逐層訓(xùn)練算法完成了深度置信網(wǎng)絡(luò)與全連接神經(jīng) 網(wǎng)絡(luò)17的訓(xùn)練.自此,深度學(xué)習(xí)等數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)利 用靈活網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，借助高效優(yōu)化算法，獲得了對(duì)高 維、非線性問題的強(qiáng)大逼近能力，在圖像識(shí)別、自 然語言處理等數(shù)據(jù)建模領(lǐng)域飛速發(fā)展.1.1神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型多層感知機(jī)(multi-layer perceptron, MLP)或深 度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(deep neural networks, DNN)為深度學(xué) 習(xí)最基本模型.以x e 為輸入，隱藏層層數(shù)為L的 DNN可表示為f =(fL+1。fL。f1)(x

15、)(1)式中f : Rd - 為DNN含可訓(xùn)練參數(shù)0對(duì)應(yīng)映射. fi為各隱藏層對(duì)應(yīng)映射為fl (xi-1) = a(Wixi-i + bi), l = 1 : L ) fL+1 (x) = Wl+1 x + bL+1)式中，xi-1為第l個(gè)隱藏層的輸入(xo = x ), Wi和bi 分別為可訓(xùn)練權(quán)重矩陣與偏置向量(并共同構(gòu)成可 訓(xùn)練參數(shù)e ), a()為非線性激活函數(shù).卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(convolutional neural networks, CNN)18是針對(duì)二維圖像等具有網(wǎng)格狀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù) 據(jù)開發(fā)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu),被廣泛用于圖像識(shí)別19、 圖像去噪2。、圖像修復(fù)21等領(lǐng)域.CNN主要包含 卷

16、積層、池化層和全連接層等隱藏層，典型的 CNN模塊為：特征圖通過卷積層提取特征，非線性 激活函數(shù)作用于卷積層后提升網(wǎng)絡(luò)非線性逼近能 力,進(jìn)一步通過池化層完成降采樣.Goodfellow等22 指出，由于卷積層在輸出特征圖的同一通道引入了 卷積核參數(shù)共享，可以提取輸入特征圖中對(duì)平移保 持等變的特征;池化層(尤其是用于降采樣的最大池 化層)可有效提取輸入特征圖中對(duì)少量平移保持不 變的特征.卷積層中的卷積運(yùn)算為N-1(h q) r1,如：=q 伙1,知 h + + 炫(3)k1 北2=_式中,h為卷積層輸入特征圖(LXL維度矩陣)，q為NXN維卷積核(設(shè)N為奇數(shù)),為卷積算子，式 (3)右端即為卷積

17、層輸出特征圖在(n,r2)位置取值; 進(jìn)一步可以引入卷積核的矩函數(shù)M(q) = (mi,j)NxN , 其中mi,j = g kk2，q k1,切k1 ,k2=- N21i, j = 0,1, -, N - 1(4)對(duì)卷積運(yùn)算在(x, y)位置泰勒級(jí)數(shù)展開，可得23(4)N-1q 伙1，k2 h (x + k1Jx, y + k2y)k1 ,k2=- Nr1N=1. . hjodxd y+ O(0 x|NT + NT)(x,y)(5)顯然，+ O(0 x|NT + NT)(x,y)(5)循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(recurrent neural networks, RNN)26是針對(duì)時(shí)程和自然語言等具有序

18、列結(jié)構(gòu)的 數(shù)據(jù)開發(fā)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu).RNN相比傳統(tǒng)DNN (式(1)在序列演化方向加入了遞歸連接h(t) = fo (h(T, x(t)式中，x(t)為序列在t時(shí)刻輸入特征,h(t)為序列在 t時(shí)刻輸出特征.RNN在自然語言處理2等任務(wù)中 得到了重要應(yīng)用.雙向RNN27可以使模型既能納入 過去時(shí)段序列模型對(duì)當(dāng)前時(shí)刻影響，又能考慮未來 時(shí)刻影響.但傳統(tǒng)RNN訓(xùn)練過程中在序列方向極易 出現(xiàn)梯度消失與爆炸，長短期記憶網(wǎng)絡(luò)(long shortterm memory networks, LSTM)28和門控循環(huán)單元網(wǎng) 絡(luò)(gated recurrent unit, GRU)2等門控 RNN 通過引 入門

19、控單元成功解決了梯度消失與爆炸問題.生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)(generative adversarial networks, GAN)-3。是一種有效的概率生成模型,GAN可有 效捕捉高維觀測(cè)數(shù)據(jù)內(nèi)部統(tǒng)計(jì)規(guī)律(即聯(lián)合概率分 布)生成概率分布模型;基于所得概率模型，在GAN 的輸入中進(jìn)行抽樣可獲得與觀測(cè)數(shù)據(jù)不同、甚至在 現(xiàn)實(shí)世界中不存在、但與高維觀測(cè)數(shù)據(jù)服從同一聯(lián) 合概率分布的數(shù)據(jù). 當(dāng)深度學(xué)習(xí)與強(qiáng)化學(xué)習(xí)結(jié)合時(shí), 拓展了強(qiáng)化學(xué)習(xí)尋找最優(yōu)行動(dòng)選擇策略能力，甚至 在圍棋等任務(wù)上達(dá)到或超越了人類水平因-32.1.2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近能力Cybenko33等提出的通用近似定理(universal approximati

20、on theory, UAT)指出：非線性激活函數(shù) 為Sigmoid形且網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)元數(shù)(網(wǎng)絡(luò)寬度)足夠大 時(shí)，單隱藏層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即具有對(duì)任意連續(xù)函數(shù)達(dá)到 任意精度的逼近能力.對(duì)于淺層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，逼近任意 連續(xù)函數(shù)時(shí)的誤差界為網(wǎng) C2/ d )昭(/ - fn,N於)W 0+ n式中,f為待逼近函數(shù)，如N為淺層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu) 函數(shù)估計(jì)(需滿足一定正則化條件),n為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)寬 度,N為訓(xùn)練樣本數(shù)，d為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入維度，系數(shù) Cf=r iiii fs idw( f為函數(shù)f的傅里葉變換).Hornik35指出，激活函數(shù)只需取非常數(shù)函數(shù)且 網(wǎng)絡(luò)足夠?qū)挄r(shí)，淺層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即具有對(duì)任意連續(xù)函 數(shù)達(dá)到任意精度的逼近能力

21、.當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)加 深時(shí)，Delalleau和Bengio36指出淺層和積網(wǎng)絡(luò)(和 積網(wǎng)絡(luò)的隱藏層單元通過前一層單元的乘積的加權(quán) 之和獲得)逼近特定函數(shù)時(shí)，精度提升過程神經(jīng)元數(shù) 需以指數(shù)增長;而提升相同精度時(shí)，深層網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)元 數(shù)僅需以線性增長，表明在逼近函數(shù)時(shí)深層網(wǎng)絡(luò)比 淺層網(wǎng)絡(luò)能節(jié)省可訓(xùn)練參數(shù).Eldan和Shamir37指 出在相同逼近精度下，淺層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要。(ed)數(shù)量 級(jí)神經(jīng)元數(shù)逼近Rd空間的簡單徑向函數(shù)，而深層網(wǎng) 絡(luò)僅需要d的多項(xiàng)式數(shù)量級(jí)寬度，同樣表明逼近函 數(shù)時(shí)若精度相同，深層網(wǎng)絡(luò)比淺層網(wǎng)絡(luò)能節(jié)省可訓(xùn) 練參數(shù).當(dāng)全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)為ReLU且 網(wǎng)絡(luò)寬度為大于輸入數(shù)據(jù)維度的

22、有限值時(shí)，增大深 度可以使其具有對(duì)任意連續(xù)函數(shù)達(dá)到任意精度的逼 近能力.綜上所述，深度學(xué)習(xí)為近似任意函數(shù)提供了一 個(gè)特定的函數(shù)空間，且該函數(shù)空間復(fù)雜非線性逼近 能力強(qiáng).而在特定任務(wù)中采用深度學(xué)習(xí)算法時(shí)，需利 用優(yōu)化算法在特定函數(shù)空間中優(yōu)化可訓(xùn)練參數(shù)，例 如優(yōu)化式(6)中的參數(shù)0.1.3基于梯度下降的優(yōu)化算法深度學(xué)習(xí)通常由梯度下降算法更新網(wǎng)絡(luò)可訓(xùn)練 參數(shù)時(shí)+1)=眇_(8) 式中，。的上角標(biāo)為訓(xùn)練步數(shù)，T為學(xué)習(xí)率，vez為損 失函數(shù)對(duì)可訓(xùn)練參數(shù)的梯度(通常由反向傳播算 法計(jì)算I26】).常用的梯度下降法包括隨機(jī)梯度下降 法38,基于動(dòng)量的隨機(jī)梯度下降法，自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算 法(如文獻(xiàn)39等).深度神

23、經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可訓(xùn)練參數(shù)優(yōu)化 問題非凸，但梯度下降算法用于深層網(wǎng)絡(luò)的非凸優(yōu) 化問題時(shí)仍可搜索到全局最優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于過參數(shù)化的 全連接深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),Du等40的研究指出當(dāng)訓(xùn)練 集大小為n,深層網(wǎng)絡(luò)隱藏層層數(shù)為H,每層神經(jīng)元 數(shù)為m時(shí),若m = Q poly (n) 20(H)則梯度下降算法能以線性速率搜索到訓(xùn)練誤差全局 最優(yōu)點(diǎn).式中,poly(n)為關(guān)于n的多項(xiàng)式,O和Q分 別為 Big-O 和 Big-Q由于深度學(xué)習(xí)具有上述優(yōu)良性能,近年來，研究 者開始利用其挖掘大規(guī)模高維數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的豐富流 動(dòng)物理特征，流體力學(xué)建模方法與高效模擬方法迎 來新機(jī)遇.2物理啟發(fā)的流場(chǎng)深度學(xué)習(xí)降階模型深度學(xué)習(xí)可借助靈活的神經(jīng)網(wǎng)

24、絡(luò)架構(gòu)、強(qiáng)非線 性逼近能力和優(yōu)良優(yōu)化算法高效挖掘大規(guī)模高維流 場(chǎng)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的豐富流動(dòng)物理特征.然而，當(dāng)深度學(xué) 習(xí)用于流體力學(xué)建模時(shí)仍需基于流體物理設(shè)計(jì)3部 分核心內(nèi)容:深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入特征、網(wǎng)絡(luò)架 構(gòu)、損失函數(shù).根據(jù)流體物理規(guī)律選取網(wǎng)絡(luò)輸入特 征或設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的方法稱為物理啟發(fā)的深度學(xué)習(xí) 方法，以下介紹物理啟發(fā)的流場(chǎng)深度學(xué)習(xí)降階模型. 2.1本征正交分解輔助的深度學(xué)習(xí)降階模型本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)常用于提取流場(chǎng)緊湊空間表征降低自由度41fc (t,顱 i 偵)dt=部 i (t)(9)野=J hi (t)u (x, t) dt(

25、10)式中，t為時(shí)間,X為位置坐標(biāo)，u為速度u的脈動(dòng)值, C(t, t)=孔u(yù) (x, t)u (x, tr)dx為脈動(dòng)速度在流場(chǎng)區(qū)域 Q內(nèi)的時(shí)間相關(guān)函數(shù),hi為特征向量，為為對(duì)應(yīng)于第 i階POD模態(tài)君的特征值(擊擊+i ).任意時(shí)刻速度 脈動(dòng)投影到第i階POD模態(tài)的系數(shù)為i (t)=孔 u (x, t)-野(x)dx(11)結(jié)合平均流場(chǎng)u(x, t)可得POD重構(gòu)流場(chǎng)為u (x, t) = u (x, t) + ai (t)職i (x)(12)i當(dāng)POD用于輔助深度學(xué)習(xí)建立流場(chǎng)降階模型 時(shí)，首先用POD提取流場(chǎng)緊湊空間表征，然后利用 深度學(xué)習(xí)序列建模方法建立POD模態(tài)系數(shù)時(shí)程預(yù) 測(cè)模型.2.

26、1.1基于POD與深度學(xué)習(xí)的流動(dòng)降階模型風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)是傳統(tǒng)測(cè)量流場(chǎng)的常用方法.風(fēng)洞實(shí) 驗(yàn)一般采用粒子圖像測(cè)速技術(shù)(particle image velocimetry, PIV)測(cè)量流場(chǎng)，然而由于相機(jī)分辨率和 存儲(chǔ)空間的限制，PIV測(cè)量流場(chǎng)的時(shí)間和空間分辨 率是矛盾的.基于POD的超時(shí)空分辨率方法在解決 這一問題時(shí)具有廣泛應(yīng)用42-44.當(dāng)已知流場(chǎng)中部分 測(cè)點(diǎn)高時(shí)間分辨率速度測(cè)量值與給定的POD伽遼 金模型時(shí)，Gerhard等45用動(dòng)態(tài)估計(jì)器估計(jì)了整個(gè) 高時(shí)間分辨率流場(chǎng).Druault等46基于樣條插值獲取 了 POD模態(tài)的高時(shí)間分辨率系數(shù)，從而重構(gòu)了高時(shí) 間分辨率流場(chǎng).Boree47在分析湍流相

27、關(guān)性時(shí)引入了 擴(kuò)展 POD (extended POD)方法.Hosseini 等48 將速度信號(hào)在時(shí)間維度的延遲看成一組虛擬速度探 針測(cè)量，基于此并利用擴(kuò)展POD方法估計(jì)了角錐的 尾流.Discetti等I49】隨后提出了擴(kuò)展POD方法中的 時(shí)間相關(guān)系數(shù)截?cái)鄿?zhǔn)則，從而移除了點(diǎn)測(cè)量與整場(chǎng) 測(cè)量不相關(guān)成分，并用于高時(shí)間分辨率槽道流和管 道流重構(gòu)50.近年來，充分利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的靈活網(wǎng)絡(luò)架 構(gòu)、強(qiáng)非線性逼近能力與POD的流場(chǎng)緊湊空間提 取能力，發(fā)展出了 POD輔助的深度學(xué)習(xí)流場(chǎng)降階模 型.Deng等51在風(fēng)洞試驗(yàn)中用PIV系統(tǒng)以采樣頻 率2000 Hz測(cè)量了旗幟尾流，并采用如圖1所示基 于LST

28、M的POD模型建立了流場(chǎng)離散測(cè)點(diǎn)速度時(shí) 程(5個(gè)離散測(cè)點(diǎn)時(shí)程取自PIV測(cè)量結(jié)果)到流場(chǎng) POD模態(tài)系數(shù)時(shí)程間的映射：首先將PIV及相應(yīng)離 散點(diǎn)測(cè)量結(jié)果降采樣為5 Hz,然后以離散點(diǎn)5 Hz速 度時(shí)程為輸入、以相應(yīng)時(shí)刻流場(chǎng)POD模態(tài)系數(shù)為 輸出訓(xùn)練LSTM模型,最后以離散點(diǎn)5 Hz速度時(shí)程 為輸入在2000 Hz測(cè)量結(jié)果上做預(yù)測(cè)即可獲得流場(chǎng) 2000 Hz的POD模態(tài)系數(shù),從而可利用式(12)重構(gòu) 高時(shí)間分辨率流場(chǎng)；Cai等52進(jìn)一步利用此方法成 功重構(gòu)了采樣頻率為千赫茲級(jí)的二維表面溫度場(chǎng). Wu等53基于時(shí)間卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(temporal con-vel signalPIV snapshots

29、POD modesasbHaMSJPIZdiscrete pointvelocity signalsmachine learningmodelPOD coefficients圖1基于LSTM的POD模型Elvel signalPIV snapshotsPOD modesasbHaMSJPIZdiscrete pointvelocity signalsmachine learningmodelPOD coefficientsFig. 1 Architecture of LSTM-based POD model51volutional neural networks, TCN)建立了圓柱繞流場(chǎng) 過

30、去時(shí)刻POD模態(tài)系數(shù)時(shí)程與未來時(shí)刻POD模態(tài) 系數(shù)時(shí)程間的映射關(guān)系，從而得到了圓柱繞流場(chǎng)降 階模型;訓(xùn)練完成的TCN模型相比傳統(tǒng)數(shù)值模擬方 法計(jì)算效率提升了數(shù)百至數(shù)千倍.然而，需要指出的是，上述基于POD與深度學(xué) 習(xí)的流動(dòng)降階模型所依賴的POD模態(tài)來自對(duì)相同 模型、相同流動(dòng)參數(shù)(如馬赫數(shù)、雷諾數(shù)、攻角 等)流場(chǎng)的POD分析.當(dāng)模型或流動(dòng)參數(shù)改變時(shí),流 場(chǎng)POD模態(tài)亦發(fā)生變化,此時(shí)上述基于POD與深 度學(xué)習(xí)的流動(dòng)降階模型并無泛化能力.近來，Zhao 等54基于POD與壓縮感知精確重構(gòu)了相同機(jī)翼模 型不同流動(dòng)參數(shù)或相同流動(dòng)參數(shù)不同機(jī)翼模型的表 面壓力分布，其提取的POD模態(tài)來自相同模型不同 流動(dòng)參

31、數(shù)或相同流動(dòng)參數(shù)不同模型的表面壓力分 布，使得POD模態(tài)適用于不同流動(dòng)狀態(tài)，有效提升 了 POD降階模型在不同流態(tài)的泛化能力.另一方面, 上述模型采用“端到端方式建立流場(chǎng)輸入特征與輸 出特征關(guān)系，模型是否能精確建立并無物理解釋. Jin等55基于泰勒凍結(jié)假設(shè)啟發(fā)引入了繞流場(chǎng)流速 時(shí)空關(guān)聯(lián)非線性函數(shù)，理論推導(dǎo)了流場(chǎng)POD系數(shù)與 繞流場(chǎng)離散測(cè)點(diǎn)速度時(shí)間歷程的關(guān)系，并利用雙向 RNN將其定量化，對(duì)POD輔助的深度學(xué)習(xí)流場(chǎng)降 階模型進(jìn)行了物理啟發(fā)的深度網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì).2.1.2物理啟發(fā)的深度網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)將N-S方程中的動(dòng)量方程投影到第，階POD 模態(tài)，并結(jié)合邊界條件可得t時(shí)刻的第i階POD模 態(tài)系數(shù)為網(wǎng)ai (

32、t) = ti (x) - g (u)-丑()dTdx+to L2L u (x, to) - Wi (x) dx(13)式中，to為積分起始時(shí)刻，G()和丑()為關(guān)于速度的 未知函數(shù)緊湊表示.在流場(chǎng)下游布置nvp個(gè)高時(shí)間分辨率速度探針，受泰勒凍結(jié)假設(shè)啟發(fā)可將式(13)進(jìn) 一步寫為網(wǎng)街 (t) =J foto Qi (x) M (w)drdx+L火(片由i(x)dx(14)式中,M(u) = QK何+妁u) -用火(嚴(yán)/) , U為 時(shí)刻所有探針?biāo)俣葴y(cè)量值矢量,d“j (x)= dx, j (X) , dy,j (X)為第j個(gè)速度探針到X位置的距離 矢量，火()為將u映射到u的未知函數(shù)，u羿/u

33、 =vorticity/s-1-160-80 0 80 1601.00.50辨率速度探針，受泰勒凍結(jié)假設(shè)啟發(fā)可將式(13)進(jìn) 一步寫為網(wǎng)街 (t) =J foto Qi (x) M (w)drdx+L火(片由i(x)dx(14)式中,M(u) = QK何+妁u) -用火(嚴(yán)/) , U為 時(shí)刻所有探針?biāo)俣葴y(cè)量值矢量,d“j (x)= dx, j (X) , dy,j (X)為第j個(gè)速度探針到X位置的距離 矢量，火()為將u映射到u的未知函數(shù)，u羿/u =vorticity/s-1-160-80 0 80 1601.00.50-0.5-1.000.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.

34、5 4.0u(x + ds,i, t + dx,i/ u)，,Ux + ds,n,p, t + dx* U). 由式(14)可知”時(shí)刻的第，階POD模態(tài)系數(shù) 與t時(shí)刻之前與之后的離散點(diǎn)速度時(shí)程均相關(guān)；因 此,設(shè)計(jì)了如圖2所示“多對(duì)一”的雙向GRU RNN將包含未知函數(shù)的式(14)定量化.上述研究理 論推導(dǎo)得到流場(chǎng)POD模態(tài)系數(shù)與繞流場(chǎng)離散測(cè)點(diǎn) 速度時(shí)間歷程之間的定性關(guān)系，圖2中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 輸入特征和架構(gòu)基于上述分析設(shè)計(jì)并將定性關(guān)系定X/D(a)實(shí)驗(yàn)測(cè)量流場(chǎng)POD重構(gòu)(a) Reconstructed by POD using experimrntal measurements(b) Recon

35、structed by RNN-POD量化，因此稱為物理啟發(fā)的深度學(xué)習(xí)方法.金，()US+ T - 1U +(c)擴(kuò)展POD方法重構(gòu)(c) Reconstructed by extended POD圖3 Re = 2.4 x 104時(shí)的瞬時(shí)尾流場(chǎng)佝Fig. 3 Instantaneous wake-flow field55 for Re = 2:4 x 104圖2流場(chǎng)重構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)：多對(duì)一雙向循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)I55】Fig. 2 Architecture of many-to-one bidirectional RNN to reconstructthe flow field55化，以上流場(chǎng)建模

36、方法將不再適用.2.2基于深度學(xué)習(xí)的流場(chǎng)直接預(yù)測(cè)模型當(dāng)基于深度學(xué)習(xí)直接建立端到端預(yù)測(cè)模型時(shí), 可有效避免POD模態(tài)對(duì)雷諾數(shù)的依賴.例如，惠心 雨等56基于GAN建立了非定常二維圓柱繞流場(chǎng)的 預(yù)測(cè)模型，與傳統(tǒng)CFD方法相比，計(jì)算效率得到明 顯提升.Sekar等57基于深度學(xué)習(xí)建立了不同氣動(dòng) 外形下的二維機(jī)翼繞流場(chǎng)快速預(yù)測(cè)模型：該模型以 CNN提取的機(jī)翼形狀壓縮表征、攻角、雷諾數(shù)以 及流場(chǎng)位置坐標(biāo)為DNN的輸入，壓力場(chǎng)和速度場(chǎng) 為DNN的輸出.Fukami等58借鑒U-Ned59】中的多 尺度特征融合思想設(shè)計(jì)了混合降采樣和跳躍連接的 多尺度深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,以低分辨流場(chǎng)為輸入、 高分辨流場(chǎng)為輸出成

37、功完成了二維圓柱繞流、二維各向同性湍流等流場(chǎng)超分辨；Deng等6。則引入對(duì) 抗損失函數(shù)，采用超分辨率GANS】和增強(qiáng)的超分 辨率GAN?！客瓿闪肆鲌?chǎng)的超分辨率重構(gòu),相比 Fukami等網(wǎng)的結(jié)果，精度得到明顯提升.Jin等QI受鈍體尾流中的雷諾應(yīng)力、旋渦形成 長度、基底壓力強(qiáng)相關(guān)的流體流體物理基本理論SI 啟發(fā)，采用深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了鈍體繞流問題 表面壓力Cp與流場(chǎng)流速間的關(guān)系模型，可在僅測(cè) 量鈍體表面壓力的情況下快速預(yù)測(cè)尾流場(chǎng)u = f (C(15)Jin等QI建立了如圖4所示以圓柱表面壓力為 輸入，由含有池化層路徑和不含池化層路徑共同構(gòu) 成的融合卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了壓力-速度場(chǎng)模型，卷 積

38、層可提取輸入特征圖中對(duì)平移保持等變的特征, 池化層可有效提取輸入特征圖中對(duì)少量平移保持不變的特征.Jin等I62】建立的訓(xùn)練集雷諾數(shù)范圍為70 - 900, 測(cè)試數(shù)據(jù)集雷諾數(shù)范圍為601100.圖5給出了 4個(gè)具有代表性雷諾數(shù)上的流場(chǎng)預(yù)測(cè)結(jié)果.由圖可 知，在研究所考慮的亞臨界雷諾數(shù)范圍內(nèi)精確預(yù)測(cè) 了圓柱繞流速度場(chǎng);該壓力-速度場(chǎng)模型不僅可以精 確預(yù)測(cè)包含在訓(xùn)練集雷諾數(shù)范圍內(nèi)的圓柱繞流速度 場(chǎng)，而且能預(yù)測(cè)訓(xùn)練集雷諾數(shù)范圍外的部分工況.同 時(shí)，該壓力-速度場(chǎng)模型對(duì)旋渦形成長度、速度幅值 等的雷諾數(shù)效應(yīng)以及流場(chǎng)時(shí)空演化特性做出了精確 預(yù)測(cè)；以上結(jié)果表明，Jin等62建立的壓力-速度場(chǎng) 模型成功捕捉了

39、圓柱繞流的內(nèi)在流動(dòng)本質(zhì)，并具有1.51.00.50 -0.5 -1.0 -1.5-400 -140 140 400-101234X/DX/D(a)1.5號(hào)尋于了： ：陽峭子出三只；：一-0.5-1.0_ 1 5：i： ：-101234X/D1.51.00.50-0.5-1.0T5-1 01234X/D(b)1 51 0 0 50 -0.5 -1.0 -1.5(c)1 51 0 0 50 -0.5 -1.0 -1.5(d)-101234X/D1.51.00.50-0.5-1.0T5-101234(e)-101234X/D1.51.00.50-0.5-1.0-1.5(f)-101234X/DX/D

40、(g)(h)圖4用于建立壓力-速度場(chǎng)模型的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu).“conv”表示卷積層,“ReLU”是非線性激活函數(shù),“pooling”表示最大池化層,“FC”表示全連接層,“concat”表示不同路徑融合ElFig. 4 The architecture of the fusion CNN to establish thepressure-velocity model. “conv”denotes convolutional layer; “ReLU”denotes nonlinear rectified linear unit; “pooling” denotes max poolinglay

41、er; “FC” denotes fully-connected layer; “concat” denotes theconcatenating of different paths62圖5不同雷諾數(shù)下模型預(yù)測(cè)流場(chǎng)與CFD計(jì)算結(jié)果對(duì)比問.CFD計(jì)算結(jié)果：(a) Re = 65, (c) Re = 170, (e) Re = 500, (g) Re = 1000;模型預(yù)測(cè)結(jié)果：(b) Re = 65, (d) Re = 170, (f) Re = 500, (h) Re = 1000Fig. 5 Comparisons of instantaneous flow fields between

42、the modelpredictions and CFD results for various Reynolds numbers62. CFDresults for (a) Re = 65, (c) Re = 170, (e) Re = 500, and (g) Re = 1000;model predictions for (b) Re = 65, (d) Re = 170,(f) Re = 500, and (h) Re = 1000J0)蔓,wIu - u|u - ub2initial conditionsboundary conditionseVPi = dtJ0)蔓,wIu - u

43、|u - ub2initial conditionsboundary conditionseVPi = dtu + udxu + vdyU + wdzu + dp - Re- (dju + 勇脫 + du)eVp2 = dtv + udxv + vdy-v + wdzv + dp - Rel+ dyv + d；v)+ udxw + vdyw + wdzw + djp - Rel (dw + dw)= dxu + 那 + 3zwresiduals of governing equations(a) VP 形(a) VP forminitial conditionsr(Ir礦r|c jlbTuuu

44、uuboundary conditionsIevv = dSx+ dy(vsx usy) -dz (wSz WSX)+ Re-dy(dx凹dySx) dz-dxSz)ie = My+dz(wSyVSz)dx(vSx uSy)+ Redz ( dzSy)dx-dySx)1eVK3= Wz +(u)z- WSX)- dy(wSyVSZ)+ Redxx dy QSy):pvv4 = d.Xxu + d；u + dZu + dySz-如：15 =況V +赤V +說V + 如x-名ziiI、evV6 =弟W + 勇W + d；zW + dxSy-軟x-1-2residuals of governing

45、equations|f u + s x u + Re-V x 口) | ds(b) VV 形(b) VV form圖6 NSFnets網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)網(wǎng)Fig. 6 A schematic of NSFnets66一定的雷諾數(shù)外延預(yù)測(cè)能力.為改善此類數(shù)據(jù)模型 在不同流動(dòng)參數(shù)條件下的泛化能力,Zhu等64在建 立湍流黏性系數(shù)深度學(xué)習(xí)模型時(shí)，利用驗(yàn)證集進(jìn)行 輸入特征選取，從備選輸入特征中剔除在流動(dòng)狀態(tài) 上外插過大的特征，大幅提升了模型在機(jī)翼繞流場(chǎng) 雷諾數(shù)、馬赫數(shù)、攻角等流動(dòng)參數(shù)上的夕卜延預(yù)測(cè)能力.3物理融合的流動(dòng)控制方程深度學(xué)習(xí)求解以上物理啟發(fā)的流場(chǎng)深度學(xué)習(xí)降階模型雖在網(wǎng) 絡(luò)架構(gòu)設(shè)計(jì)、網(wǎng)絡(luò)輸入特征與輸出量

46、選取時(shí)充分考 慮了流體物理機(jī)理，但一方面以上模型仍依賴于完 整流場(chǎng)數(shù)據(jù)，然而在PIV獲取流場(chǎng)時(shí)由于壁面反光 和遮擋等,近壁面流場(chǎng)無法解析，難以獲得完整流場(chǎng) 數(shù)據(jù)；另一方面,流體物理機(jī)理并未顯式嵌入深度學(xué) 習(xí)模型.3.1基于通用近似定理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接求解方法不同與傳統(tǒng)人工智能任務(wù)，深度學(xué)習(xí)模型輸出 或預(yù)測(cè)的流場(chǎng)需滿足流動(dòng)控制方程.因此，可將網(wǎng)絡(luò) 輸出流場(chǎng)需滿足的流動(dòng)控制方程以殘差項(xiàng)的均方誤 差形式嵌入網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù).特別地，基于UAT可用 以時(shí)空坐標(biāo)為輸入以流場(chǎng)為輸出的DNN逼近流場(chǎng) 時(shí)空演化函數(shù)，此DNN稱為物理融合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (physics-informed neural networks,

47、 PINNs)物理融合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)Jin等66基于PINNs引入了求解不可壓縮N-S 方程的NSFnets (N-S flow nets)求解速度-壓力 (velocity-pressure, VP)形和渦量-速度(vorticityvelocity, VV)形控制方程，如圖6所示.NSFnets的 損失函數(shù)包含在初始條件對(duì)應(yīng)時(shí)空域采N,個(gè)點(diǎn)計(jì) 算的均方損失函數(shù)C、在邊界條件對(duì)應(yīng)時(shí)空域采 N個(gè)點(diǎn)計(jì)算的均方損失函數(shù)b和在計(jì)算域采N個(gè) 點(diǎn)計(jì)算的方程殘差對(duì)應(yīng)的均方損失函數(shù)e(圖6中 Sypt和ew),總損失函數(shù)匚為Z = Ze + ab + i(16)式中，a和為平衡損失函數(shù)下降過

48、程中不同項(xiàng)梯 度以加速收斂的權(quán)重系數(shù).方程殘差中的偏導(dǎo)借助 自動(dòng)微分技術(shù)67計(jì)算.當(dāng)損失函數(shù)收斂到較小值時(shí) 即獲得中所包含控制方程的解.采用梯度下降算法訓(xùn)練NSFnets時(shí)，參數(shù)更新 過程可表示為時(shí)+1)=眇一第山- 江b -郵i (17) 式中，。為可訓(xùn)練參數(shù),上角標(biāo)k為訓(xùn)練步數(shù)，T為學(xué) 習(xí)率.a和可看作超參數(shù)人工調(diào)整或用動(dòng)態(tài)權(quán)重 (dynamic weights, DW)策略調(diào)整66,68.在計(jì)算域采點(diǎn) 時(shí)可采用隨機(jī)策略或與自適應(yīng)網(wǎng)格方法類似的自適 應(yīng)殘差點(diǎn)細(xì)化(residual-based adaptive refinement,RAR)方法I69】.對(duì)NSFnets模擬結(jié)果定義如下L相

49、 對(duì)誤差可=11 v- VI12/ II VI12(18)式中，V表示參考速度分量u, v, w或壓力p, V表示 由NSFnets計(jì)算的速度或壓力值.采用PINNs中的方程殘差均方損失函數(shù)求解流 動(dòng)控制方程時(shí)獲得的解為方程的經(jīng)典解.E等7。利 用殘差網(wǎng)絡(luò),Zang等71利用生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)搜索了變 分形式下控制方程殘差最小值點(diǎn),獲得了方程的弱解. 3.1.2正問題求解Jin等66在采用NSFnets求解Kovasznay流動(dòng) 時(shí)發(fā)現(xiàn),RAR方法能增加較少的殘差點(diǎn)獲得較大的 精度提升，如表1所示.表中VP-NSFnet在采用隨機(jī) 采樣測(cè)量時(shí)采用了 635個(gè)殘差點(diǎn)，采用RAR時(shí)增加 了 10個(gè)殘差點(diǎn)

50、;VV-NSFnet在采用隨機(jī)采樣測(cè)量時(shí) 采用了 629個(gè)殘差點(diǎn)，采用RAR時(shí)僅增加了 4個(gè)殘 差點(diǎn).采用RAR后，兩種形式NSFnets求解精度均 有約50%提升.表1采用RAR增加殘差點(diǎn)時(shí)NSFnets求解的速度和壓力L相對(duì)誤差閩Table 1 Relative L： errors of velocity and pressure solutions for NSFnets with residual points added via RAR66SamplingVP-NSFnetVV-NSFnet勺/%勺/%p /%勺/%勺/%Random0.009 5 土 0.002 60.082 3

51、土 0.016 70.040 1 土 0.006 10.025 4 土 0.005 80.070 4 土 0.016 0RAR0.005 60.036 90.031 50.008 30.028 0圖7給出了 NSFnets求解雷諾數(shù)為100的圓柱 繞流時(shí)速度u, v和壓力p誤差隨時(shí)間演化曲線，此 時(shí)VV-NSFnet和VV-NSFnet的隱藏層層數(shù)均為10, 每層節(jié)點(diǎn)數(shù)均為100.由圖可知，兩種形式的神經(jīng)網(wǎng) 絡(luò)都達(dá)到了較高的求解精度，VV-NSFnet比VP- NSFnet 具有更高的求解精度;而且動(dòng)態(tài)權(quán)重系數(shù)策 略有效提升了 NSFnets的求解精度.此外,Jin等66 首次采用物理融合的神

52、經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬了槽道湍流，并 發(fā)現(xiàn)隨著求解區(qū)域和求解時(shí)間間隔的增大，結(jié)果并 未發(fā)散.Mao等72通過在高速流動(dòng)解空間梯度劇烈變 化區(qū)域增加殘差點(diǎn)采用PINNs有效求解了高速可壓 流動(dòng).Mao等72進(jìn)一步將存在激波等梯度劇烈變化 的解空間中分割為若干子區(qū)域，各子區(qū)域采用不同 深度網(wǎng)絡(luò)求解，流場(chǎng)求解精度得到地顯著提升.基于 此,Jagtap等I73】發(fā)展了將求解域劃分為不同子區(qū)域 求解的守恒PINNs:每個(gè)子區(qū)域采用不同深度網(wǎng)絡(luò), PINNs的總損失函數(shù)加入表征子區(qū)域界面通量連續(xù) 的損失函數(shù)和區(qū)域界面解的平均值一致的損失函 數(shù)，求解了可壓縮歐拉方程、方腔流等.為了加快N-S方程求解過程,Wei等74提

53、出了 基于深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)(deep reinforcement learning, DRL)的流體力學(xué)微分方程統(tǒng)一求解框架(見圖8), 求解了流體力學(xué)中的Burgers方程，穩(wěn)態(tài)N-S方程 等.在求解Burgers方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)該方法比傳統(tǒng)的有 限元方法更能有效地捕捉激波；在方程求解過程中(b)橫向速度(b) Crossflow velocity(c)壓力(c) Pressure0.5(a)流向速度(a) Streamwise velocity0 n (a|S) hpolicy 也 2 jsampled solution分廣 ()IfS Si = 0.5(a)流向速度(a) Streamwise

54、velocity0 n (a|S) hpolicy 也 2 jsampled solution分廣 ()IfS Si = (Xi，t), i = 1, 2, , N state (sampled computational domain Q)criticugoverning equation- N(U,以2Lboundary conditoninitial conditionr =:-(u - u )2|t - toJ = nX n (Uisi)r(siui)i = 11 N VFig. 7 Flow past a circular cylinder66: relative L2 errors

55、 of NSFnetssimulations for (a) the streamwise velocity, (b) the crossflowvelocity and (c) pressure發(fā)現(xiàn)，隨著求解步數(shù)的增大，求解速度提升，具有遷 移學(xué)習(xí)的特性;研究了從求解低雷諾數(shù)遷移到高雷 諾數(shù)時(shí)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的訓(xùn)練策略15,提高了計(jì)算效率.此 外,Meng等75提出了時(shí)域上并行的PINNs:首先將 較長的時(shí)域分成N段子時(shí)域,用一個(gè)粗尺度網(wǎng)絡(luò)對(duì) 應(yīng)完整時(shí)域和N個(gè)細(xì)尺度網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)N段子時(shí)域;交 替訓(xùn)練兩類網(wǎng)絡(luò)最終獲得方程的解；該方法提升了 PINNs求解時(shí)域較長問題的計(jì)算效率.圖8基于深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)的微分方

56、程求解框架網(wǎng)Fig. 8 DRL framework for equation solution網(wǎng)3.1.3反問題求解Jin等66采用NSFnets求解了邊界條件(狄利克 雷邊界條件)不完備或邊界條件含噪聲的Kovasz- nay流動(dòng)，發(fā)現(xiàn)NSFnets在此時(shí)仍可獲得較高精度的 解，且其計(jì)算代價(jià)與求解正問題相當(dāng)，表明NSFnets 處理含噪聲數(shù)據(jù)同化問題時(shí)具有廣闊前景.Raissi 等I76】采用PINNs求解了雷諾數(shù)為100的圓柱渦激 振動(dòng)數(shù)據(jù)同化問題：首先當(dāng)已測(cè)得含噪聲的圓柱位 移和部分測(cè)點(diǎn)速度時(shí)，反演了求解域內(nèi)完整的流場(chǎng), 計(jì)算了氣動(dòng)力；其次當(dāng)在流場(chǎng)中布置了被動(dòng)輸運(yùn)顆 粒并已知顆粒擴(kuò)散方程時(shí)，同樣反演了求解域內(nèi)完 整的流場(chǎng),計(jì)算了氣動(dòng)力時(shí)程.Raissi等77進(jìn)一步僅 基于被動(dòng)輸運(yùn)顆粒流動(dòng)顯示數(shù)據(jù)，采用PINNs成功 求解了圓柱繞流、動(dòng)脈瘤等問題，獲得了高精度的 流場(chǎng)和壓力場(chǎng)數(shù)據(jù).根據(jù)圓柱流場(chǎng)先驗(yàn)信