受迫振動非線性特性的教學(xué)拓展

1、受迫振動非線性特性的教學(xué)拓展摘要:受迫振動在大學(xué)物理和大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中均是重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容,為了使學(xué)生更加深入理解受迫振動的非線性特性,本 文基于波耳共振儀所涉及的非線性因素和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對受迫振動方程進(jìn)行非線性修正，利用數(shù)值分析探討其非線性特性.通過 引入硬彈簧型杜芬方程，探討系統(tǒng)由周期性運(yùn)動進(jìn)入混沌狀態(tài)的演化，將受迫振動中相對穩(wěn)定的平衡點(diǎn)與奇異吸引子進(jìn)行類 比,拓展非線性振動教學(xué)內(nèi)容.關(guān)鍵詞:受迫振動;杜芬方程;數(shù)值分析;混沌；光電門A光電門A； 2.長凹槽;3.短凹槽;4銅制擺輪;5.搖桿；6-蝸卷彈簧;7.機(jī)架;8.阻尼線圈;9.連桿;10.搖桿調(diào)節(jié)螺絲;光電門B； 12.角度盤;13.有機(jī)玻

2、璃轉(zhuǎn)盤;14.底座；15.彈簧夾)螺絲;16閃光燈圖1波耳共振儀的結(jié)構(gòu)示意圖$)振動是一種普遍存在于客觀世界的物質(zhì)運(yùn)動形 式,系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下的振動即為受 迫振動1.波耳共振儀是高校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中研究 受迫振動運(yùn)動規(guī)律較為普遍的儀器，也是學(xué)者探討 較多的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目實(shí)驗(yàn)測量中，儀器的軸承摩擦 和彈簧非線性效應(yīng)的影響是造成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏離預(yù)期 的主要因素.如果在受迫振動的分析中考慮這兩種 因素的影響，則非常有助于學(xué)生理解實(shí)驗(yàn)原理和結(jié) 果偏差.本文基于受迫振動常規(guī)實(shí)驗(yàn),延伸探討其非 線性特性，通過Matlab數(shù)值分析的方法來研究杜芬 方程的混沌特性,以此提高學(xué)生對受迫振動的認(rèn)知， 并加深對其非

3、線性特性的理解.1受迫振動1.1受迫振動方程波耳共振儀(如圖1所示)的擺輪可在彈性 力矩作用下自由擺動，若同時(shí)加上阻尼力矩和驅(qū)動 力矩,擺輪可做受迫振動.當(dāng)擺輪受到周期性驅(qū)動外力矩# = #%cos %的 作用，并在有空氣阻尼和電磁阻尼的介質(zhì)中運(yùn)動時(shí) (設(shè)阻尼力矩為-#3$，其中#為阻尼力矩系數(shù))，其 動力學(xué)方程為d$2$J =_?$_# M0cos %( 1)d%d%式中，/為擺輪的轉(zhuǎn)動慣量，-?$為彈性力矩,？ 為彈簧的勁度系數(shù),#0為驅(qū)動力矩的幅值,為驅(qū) 動力的角頻率.c ?#0令0=了,2%-J,8=，式(1)變?yōu)閐2$d$+2% 0$ - 8cos %d%$d% 0當(dāng)8COS % =

4、 0時(shí)，即在無周期性外力矩作用時(shí), 式(2)為阻尼振動方程；當(dāng)阻尼系數(shù)為零，即無阻尼時(shí)，式(2)為簡諧振動方程，釧即為振動系統(tǒng)的固有 頻率.方程(2)的通解為$ = $!ecos(%+a) +$2cos(%+)( 3)通解含有兩個(gè)部分:$!ecos(%+a)表示阻尼 振動，隨著時(shí)間的演化,振動會逐漸衰減，;至忽略 不計(jì);$cos(%+)表示簡諧振動，驅(qū)動力矩持續(xù)對 擺輪做功，振動系統(tǒng)接收驅(qū)動力所傳送的能量，使振 動系統(tǒng)最終達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài).振幅為定值，4)系統(tǒng)相位差為2%2% T4)系統(tǒng)相位差為= arctan $ = arctan!( 2 -2o)由式(4)和式(5)可看出，穩(wěn)定振動時(shí)，驅(qū)

5、動力 的幅值#%、阻尼系數(shù)、驅(qū)動力的頻率(或驅(qū)動力 周期T)和系統(tǒng)固有頻率%(或固有周期T%) 4個(gè)參 量共同決定系統(tǒng)振幅和相位差的大小，與振動的起 始狀態(tài)無關(guān).受迫振動的振幅與驅(qū)動力頻率有關(guān)，由極大值 條件牛=0可知，當(dāng)驅(qū)動力角頻率為=J%* 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，振幅有極大值,82%!2-%26)可以看出，阻尼系數(shù)越小,驅(qū)動力的角頻率越接 近系統(tǒng)的固有角頻率，振動幅值也越大6)1.2阻尼系數(shù)、固有周期、固有頻率的測量實(shí)驗(yàn)中通常選擇阻尼開關(guān)位置為2,將波耳共 振儀有機(jī)玻璃盤上零度標(biāo)志線對準(zhǔn)0，用手將擺輪 轉(zhuǎn)動至140150。之間，放手后控制箱會自動連續(xù) 記錄擺輪完成阻尼振動10次的振幅$% $數(shù)

6、據(jù)如 表1所示.表1阻尼系數(shù)測量數(shù)據(jù)次數(shù)振幅/ (。)次數(shù)振幅/ (。)ln( $/$&+5)$0129$5650.685$1113$6580.667$299$7500.683$386$8440.670$475$9390.653由表1可知,ln( $&/$&+()的平均值為0.672，阻尼 系數(shù)為% = ln ( $,/$,+5)/nT5，其中T為阻尼振動的 周期，實(shí)驗(yàn)中測得的平均周期為T =1.667 s,因此可 得 =in (仇/$,+() /reT0r727=0-081.5X1.66/選擇“自由振蕩”進(jìn)行測量,將有機(jī)玻璃盤上零 度標(biāo)志線保持在0。,用手將擺輪轉(zhuǎn)動至140。- 150。 之

7、間,放手后記錄每次振動振幅值及其相應(yīng)周期,并 計(jì)算相應(yīng)頻率值.數(shù)據(jù)如表2所示.表2振幅、周期、頻率關(guān)系數(shù)據(jù)振幅 $/( 。)周期T/s頻率振幅 $/( 。)周期T/s頻率0 /rad)s-11271.6573.7921141.6583.7901071.6593.7871021.6633.778971.6653.774901.6663.771811.6683.767691.6713.760551.6763.749441.6793.742由表2可知，系統(tǒng)平均固有周期為To = 1.666 s,2受迫振動方程非線性修正2.1彈簧非線性效應(yīng)一般情況下，可以認(rèn)為彈簧的勁度系數(shù)？為常 數(shù),但是在上述彈簧自

8、由振動的實(shí)驗(yàn)中，通常隨著振 幅的減小，振動系統(tǒng)固有周期會逐漸增大，這意味著 振動系統(tǒng)的彈性回復(fù)力隨著振幅的減小而減弱m2n. 因此不妨假設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為振幅的函數(shù)？= ?($)，則回復(fù)力矩為 TOC o 1-5 h z F? = ?($) $( 7)將F? = ?($) $進(jìn)行泰勒展開至一階項(xiàng)，F(xiàn) = ?($)$ =他+W|$( 8)=?($) $ = I 0C + 1C $( 8)令? = a,得到:=廷；$ = 2$+-$2( 9)2.2軸承摩擦效應(yīng)軸承摩擦效應(yīng)普遍存在于定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動中， 當(dāng)軸承轉(zhuǎn)動速度較小時(shí)軸承靜摩擦力較大，而當(dāng)轉(zhuǎn) 速達(dá)到一定臨界值后，軸承摩擦力將保持穩(wěn)定回.實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)

9、,軸承摩擦力隨軸承角速度的變化率 較緩，因此可采用二次函數(shù)的形式來描述軸承摩擦力矩隨角速度的關(guān)系F = B) 2-C)( 10)其中，固定系數(shù)B0, C0,在此情況下，即表明摩擦 力矩隨角速度的增加而緩慢降低.2.3阻尼振動方程非線性修正綜合彈簧的非線性效應(yīng)與軸承摩擦效應(yīng)對振動 方程的修正,可以得到修正后的阻尼振動方程為+#) +F? +Ff = 0( 11)BC令2% = 了,b = 了,$ =了測式!)可寫為$ =-$2-2 0b $ 2-( 2%-c) )( 12)式(12)即為非線性項(xiàng)修正后的阻尼振動方程，是一 個(gè)待定系數(shù)的二階微分方程.在此情況下，基于Matlab軟件,用數(shù)值方法計(jì)

10、算其數(shù)值解,通過多次給定-、b、c的數(shù)值進(jìn)行模擬 計(jì)算,擬合阻尼振動實(shí)驗(yàn)所測得的數(shù)據(jù).通過變量代換，將式(12)改寫為一階微分方程，令 11=),，2=)，得到13)-l1-011-b1，令 11=),，2=)，得到13)-l1-011-b12-( 2%-c) 12利用Matlab軟件內(nèi)置的ode45函數(shù)，根據(jù)四階 龍格庫塔法，多次變步長數(shù)值積分，可以得到，當(dāng) 待定系數(shù)滿足-= 0.014,b = 0.002,c = 0.005時(shí)，數(shù)值 方法解得的阻尼振動方程與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的最為接 近,特別是在振幅為90 140時(shí),彈簧形變較大，彈 簧非線性效應(yīng)較為明顯的區(qū)域.圖2中指數(shù)曲線為阻尼振動的振幅時(shí)

11、間實(shí)測 數(shù)據(jù)的擬合曲線，周期性曲線為非線性微分方程的 數(shù)值解.圖2阻尼振動數(shù)值積分與擬合曲線2.4受迫振動方程非線性修正在修正后的阻尼振動方程(12)的右邊加上一 個(gè)周期性力矩，即為受迫振動方程，) = 8COS %-$2-0)-b )2-(2%-c) )( 14)該方程中8為未知參量,需要通過實(shí)驗(yàn)儀器進(jìn) 行數(shù)據(jù)測量加以確定.選取“阻尼2”檔位，打開電機(jī)，設(shè)定在某一轉(zhuǎn) 速，當(dāng)觀察到擺輪的受迫振動周期與電機(jī)的周期趨 于一致時(shí)，即受迫振動達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，開始測量.讀出 每次擺輪受迫振動的幅值)和驅(qū)動力矩每10次振 動周期102,利用頻閃法測量擺輪受迫振動的位移 與驅(qū)動力之間的相位差，并記錄此時(shí)電動機(jī)的

12、轉(zhuǎn) 速值，結(jié)果如表3所示.電機(jī) 轉(zhuǎn)速 刻度驅(qū)動 力10 次振 動周 期102 /s振幅 ) / ( )系統(tǒng) 固有 周期測 量值 / ( 電機(jī) 轉(zhuǎn)速 刻度驅(qū)動 力10 次振 動周 期102 /s振幅 ) / ( )系統(tǒng) 固有 周期測 量值 / ( )理 論值 / ( )2002_$_瓦(土 )25.6316.87091.6668888.40.9980.9790.9595.6816.864931.66688 .40.9970.9480.8995.7316.861951.666101105.601.0070.9890.9795.7816.8 1961.6669393. 41.001115.816.0

13、57881.6667779.450.9940.9170.8405.9017.138601.6764443.950.9780.6 50.3916.0417. 7501.6763635.790.9700.5 10. 716.1017.347451.6793333.40.9670.4690. 196. 017.5 3371.68488.400.9610.3850.1495.6017.760311.6814$. 00.9480.3 30.1045.5016.689911.666115113.111.0090.9480.8995.3816.6 8831.6681 61 3.971.0150.8650.7

14、485.3016.561801.6681301 7. 11.0160.8330.6945.116.443711.671140137. 11.0 $0.7390.5475.0016.33611.670148146.11.0330.6350.404表3幅頻特性與相頻特性測量數(shù)據(jù)%!0-%20.081,可得驅(qū)動力系數(shù)8 = 1.02，此時(shí)驅(qū)動頻率= 3 . 774 ra2 S-1 .至此獲得了在一定情況下，受迫振動動力學(xué)方 程的全部參量：0 = 3.775 rad s-1 , % = 0. 081,8 = 1.02，- = 0.014,b = -0.002 ,c = 0.005.通過變量代換，把式(

15、14)轉(zhuǎn)化為一階微分方程 組.令 1 = ),12 = ),13 =cos %,14 = -sin %,則IT f21$= 1.02y3-0.014i!-3.7752d%0.00212-( 2x0.081-0.005) 12( 15)d13IT=14把上述一階微分方程組輸入程序，利用數(shù)值積 分求解其動力學(xué)特性，結(jié)果如圖3所示.時(shí)間/s振幅/()圖3系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)與相平面曲線圖3中左側(cè)為受迫振動系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線， 右側(cè)為系統(tǒng)的相平面曲線.受迫振動系統(tǒng)的時(shí)間響 應(yīng)曲線表示了振動振幅隨時(shí)間變化的特性，可以看 出,隨著振動時(shí)間的增加，振動頻率逐漸穩(wěn)定，振幅 逐漸增加直到最大值并且保持穩(wěn)定.受迫振動系統(tǒng)

16、的相平面曲線圖表示了速度隨振 幅變化的關(guān)系.可以看出隨著時(shí)間的增加，速度與振 幅也會趨近一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài).如果改變其中的一個(gè)參量，例如將與彈簧非線 性效應(yīng)相關(guān)的參數(shù)-從0.014調(diào)整為10,采用同樣 的方法對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值分析，得到的結(jié)果如圖4所 示.原本穩(wěn)定的受迫振動系統(tǒng)在振動后期開始出現(xiàn) 一定的隨機(jī)運(yùn)動，即混沌現(xiàn)象.圖4 系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)與相平面曲線基于波耳共振儀的受迫振動，由于其振動方程 中涉及的非線性項(xiàng)偏多，不利于定性和定量分析受 迫振動系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象，因此可以選擇典型的非 線性受迫振動方程杜芬方程進(jìn)行探討.3受迫振動方程的混沌3.1杜芬方程振動問題中的很多數(shù)學(xué)模型都可以通過轉(zhuǎn)化為 杜芬方程來

17、進(jìn)行研究和分析，杜芬方程是研究和分 析某些非線性動力學(xué)系統(tǒng)的基礎(chǔ).杜芬方程m7n的標(biāo)準(zhǔn)形式為F+g( F)=f( F，%)( 16)其中，(0，g ( f)是含F(xiàn)3項(xiàng)的函數(shù),f( F，%)是周期性 函數(shù).標(biāo)準(zhǔn)化后的杜芬方程稱之為杜芬系統(tǒng).杜芬系 統(tǒng)是一類從簡單受迫振動的物理模型中歸納出的非 線性振動系統(tǒng)模型，形式簡潔，具有代表性，其應(yīng)用 范圍十分廣泛.許多動力學(xué)過程都與杜芬系統(tǒng)的模 型極其相似，比如化學(xué)鍵的斷裂、建筑結(jié)構(gòu)的震顫和 輪船的橫搖運(yùn)動、電路周期振蕩、電路信號檢測、電 路系統(tǒng)模擬分析和電路的故障檢測等等.3.2%彈簧型杜芬方程杜芬方程一般可以分成四種基本類型，可以選 取其中的硬彈簧型杜

18、芬方程囪進(jìn)行探討，F(xiàn) +CF +-F+%F3 =/COS( %)將式(17)轉(zhuǎn)化成一階微分方程組:dF23=/cos( %) -CF2-F1-%F1 d%17)18)其中、f、-、B、c17)18)給定不同的初始條件，利用數(shù)值計(jì)算的方法來 分析硬彈簧型杜芬系統(tǒng)的受迫振動.方程組(18)中可變參量較多，本文將重點(diǎn)探討 強(qiáng)迫力系數(shù)/的改變帶來的系統(tǒng)狀態(tài)演化，可以假 設(shè)-=1，% = 1，C = 0.01， = 1保持不變，且初值為F = 0，F(xiàn) =0也保持不變，取/ =0.001，然后進(jìn)行一定幅 度增加，直到出現(xiàn)混沌狀態(tài)，然后利用數(shù)值積分求解 受迫振動方程.當(dāng)振動時(shí)間為300 S時(shí)，結(jié)果如圖5所示

19、，從上 至下依次是不同/取值下的系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)圖、系統(tǒng) 相平面軌跡圖、系統(tǒng)功率密度譜.由圖5可以看出，隨著系統(tǒng)參量/的變化，系統(tǒng) 逐漸由周期性運(yùn)動進(jìn)入混沌狀態(tài).3.3杜芬方程的混沌從圖5的相平面軌跡圖可以看出，系統(tǒng)從只有圖5系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)、相平面軌跡、功率密度譜隨/值的演化一個(gè)相對穩(wěn)定的平衡位置（原點(diǎn)），逐漸變?yōu)榫哂袃?個(gè)相對平衡的位置（焦點(diǎn)），這體現(xiàn)了無序混沌狀態(tài) 中存在一定程度上的有序特性.相平面軌跡圖中相 對平衡位置發(fā)生改變的同時(shí)，相軌跡也從圓形逐漸 轉(zhuǎn)化為類似于莫比烏斯環(huán)的橢圓形狀.進(jìn)一步推測， 系統(tǒng)會擁有兩個(gè)相對平衡的焦點(diǎn)，相軌跡圍繞這兩 個(gè)焦點(diǎn)運(yùn)動，而且可將這兩個(gè)焦點(diǎn)類比為三維非線 性

20、系統(tǒng)中奇異吸引子氣如圖6所示.圖6奇異吸引子奇異吸引子是混沌系統(tǒng)中獨(dú)有的一種吸引子, 也被稱之為混沌吸引子，它代表著混沌狀態(tài)中的一 種定態(tài).具體表現(xiàn)在系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)開始，最終 都會被奇異吸引子吸引到相空間中的某一特定區(qū) 域.奇異吸引子與一般吸引子有所區(qū)別，當(dāng)混沌狀態(tài) 的軌跡線進(jìn)入奇異吸引子之后，軌跡線并不會像一 般吸引子一樣，吸引軌跡線繼續(xù)圍繞其運(yùn)動,最終形 成一個(gè)相對封閉的圖形，而是會讓兩條接近的軌跡 線發(fā)生指數(shù)分離.從系統(tǒng)外部看，奇異吸引子是在聚 集軌跡線;從系統(tǒng)內(nèi)部看，是軌跡線發(fā)散的過程.奇 異吸引子常常成對出現(xiàn)，兩個(gè)奇異吸引子同時(shí)對軌 跡線的作用，共同構(gòu)筑了混沌系統(tǒng)一定程度上的有 序性.由于杜芬方程是在一維空間的受迫振動，無法 描繪出其在三維相空間的軌跡線，因此選用時(shí)間、 速度F、振幅F ,作為相空間的三個(gè)維度，觀察其軌跡 線的特性，數(shù)值計(jì)算所繪軌跡如圖7所示.圖7從左至右分別為/ = l，f =8，f =5時(shí)的相空間軌跡線從圖7可以看出，杜芬方程中的兩個(gè)焦點(diǎn)在含 有時(shí)間項(xiàng)的坐標(biāo)下，展