馬爾可夫鏈模型講解

1、馬爾可夫鏈模型(MarkovChainModel)目錄隱藏1馬爾可夫鏈模型概述2馬爾可夫鏈模型的性質(zhì)3離散狀態(tài)空間中的馬爾可夫鏈模型4馬爾可夫鏈模型的應(yīng)用4.1科學(xué)中的應(yīng)用4.2人力資源中的應(yīng)用5馬爾可夫模型案例分析15.1馬爾可夫模型的建立5.2馬爾可夫模型的應(yīng)用6參考文獻(xiàn)編輯馬爾可夫鏈模型概述馬爾可夫鏈因安德烈馬爾可夫(AndreyMarkov,18561922)得名，是數(shù)學(xué)中具有馬爾可夫性質(zhì)的離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程。該過(guò)程中，在給定當(dāng)前知識(shí)或信息的情況下，過(guò)去(即當(dāng)期以前的歷史狀態(tài))對(duì)于預(yù)測(cè)將來(lái)(即當(dāng)期以后的未來(lái)狀態(tài))是無(wú)關(guān)的。時(shí)間和狀態(tài)都是離散的馬爾可夫過(guò)程稱為馬爾可夫鏈，簡(jiǎn)記為=U1,占*

2、馬爾可夫鏈?zhǔn)请S機(jī)變量如屁屮的一個(gè)數(shù)列。這些變量的范圍,即他們所有可能取值的集合，被稱為“狀態(tài)空間”，而Xn的值則是在時(shí)間n的狀態(tài)。如果Xn+1對(duì)于過(guò)去狀態(tài)的條件概率分布僅是Xn的一個(gè)函數(shù)，則P(X.”+i=斜瓦XnX、D=嚴(yán)(忑這里x為過(guò)程中的某個(gè)狀態(tài)。上面這個(gè)恒等式可以被看作是馬爾可夫性質(zhì)。馬爾可夫在1906年首先做出了這類過(guò)程。而將此一般化到可數(shù)無(wú)限狀態(tài)空間是由柯?tīng)柲宸蛟?936年給出的。馬爾可夫鏈與布朗運(yùn)動(dòng)以及遍歷假說(shuō)這兩個(gè)二十世紀(jì)初期物理學(xué)重要課題是相聯(lián)系的，但馬爾可夫?qū)で蟮乃坪醪粌H于數(shù)學(xué)動(dòng)機(jī)，名義上是對(duì)于縱屬事件大數(shù)法則的擴(kuò)張。馬爾可夫鏈?zhǔn)菨M足下面兩個(gè)假設(shè)的一種隨機(jī)過(guò)程：1、t+

3、l時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布只與t時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，與t時(shí)刻以前的狀態(tài)無(wú)關(guān)；2、從t時(shí)刻到t+l時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移與t的值無(wú)關(guān)。一個(gè)馬爾可夫鏈模型可表示為=（S,P，Q）,其中各元的含義如下:1）S是系統(tǒng)所有可能的狀態(tài)所組成的非空的狀態(tài)集，有時(shí)也稱之為系統(tǒng)的狀態(tài)空間，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可2）數(shù)集（即有限或可列）。用小寫字母i,j（或S,S）等來(lái)表示狀態(tài)。ij2）是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中P表示系統(tǒng)在時(shí)ij刻t處于狀態(tài)i，在下一時(shí)刻t+l處于狀態(tài)i的概率，N是系統(tǒng)所有可能的狀態(tài)E=I的個(gè)數(shù)。對(duì)于任意iGs，有3）陽(yáng)=理的易是系統(tǒng)的初始概率分布，q是系統(tǒng)在初始時(shí)刻處i

4、7立鼻=于狀態(tài)i的概率，滿足。馬爾可夫鏈模型的性質(zhì)馬爾可夫鏈?zhǔn)怯梢粋€(gè)條件分布來(lái)表示的P（X+1|X）n+1這被稱為是隨機(jī)過(guò)程中的“轉(zhuǎn)移概率”。這有時(shí)也被稱作是“一步轉(zhuǎn)移概率”。二、三，以及更多步的轉(zhuǎn)移概率可以導(dǎo)自一步轉(zhuǎn)移概率和馬爾可夫性質(zhì)：pgI=/Fg佟九（XJg“=/PgIgIi）PgIjXJg11同樣:邊際分布P(X)是在時(shí)間為n時(shí)的狀態(tài)的分布。初始分布為P(X)。該過(guò)n0程的變化可以用以下的一個(gè)時(shí)間步幅來(lái)描述：XnXn)P(X.n)dX71這是Frobenius-Perronequation的一個(gè)版本。這時(shí)可能存在一個(gè)或多個(gè)狀態(tài)分布n滿足:個(gè)狀態(tài)分布n滿足:其中Y只是為了便于對(duì)變量積分

5、的一個(gè)名義。這樣的分布n被稱作是“平穩(wěn)分布(StationaryDistribution)或者“穩(wěn)態(tài)分布(Steady-stateDistribution)。一個(gè)平穩(wěn)分布是一個(gè)對(duì)應(yīng)于特征根為1的條件分布函數(shù)的特征方程。平穩(wěn)分布是否存在，以及如果存在是否唯一，這是由過(guò)程的特定性質(zhì)決定的?！安豢杉s”是指每一個(gè)狀態(tài)都可來(lái)自任意的其它狀態(tài)。當(dāng)存在至少一個(gè)狀態(tài)經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的時(shí)間段后連續(xù)返回，則這個(gè)過(guò)程被稱為是“周期的”。編輯離散狀態(tài)空間中的馬爾可夫鏈模型如果狀態(tài)空間是有限的，則轉(zhuǎn)移概率分布可以表示為一個(gè)具有(i,j)元素的矩陣，稱之為“轉(zhuǎn)移矩陣”：P=P(X=i|X=j)ijn+1n對(duì)于一個(gè)離散狀態(tài)空間

6、，k步轉(zhuǎn)移概率的積分即為求和，可以對(duì)轉(zhuǎn)移矩陣求k次冪來(lái)求得。就是說(shuō)，如果是一步轉(zhuǎn)移矩陣，就是k步轉(zhuǎn)移后的轉(zhuǎn)移矩陣。平穩(wěn)分布是一個(gè)滿足以下方程的向量：Ph=十在此情況下，穩(wěn)態(tài)分布n*是一個(gè)對(duì)應(yīng)于特征根為1的、該轉(zhuǎn)移矩陣的特征向量。如果轉(zhuǎn)移矩陣卜不可約，并且是非周期的，貝出收斂到一個(gè)每一列都是不同的平穩(wěn)分布n不同的平穩(wěn)分布n并且,InnPA7T=7T*h獨(dú)立于初始分布n。這是由Perron-Frobeniustheorem所指出的。正的轉(zhuǎn)移矩陣(即矩陣的每一個(gè)元素都是正的)是不可約和非周期的。矩陣被稱為是一個(gè)隨機(jī)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)這是某個(gè)馬爾可夫鏈中轉(zhuǎn)移概率的矩陣。注意：在上面的定式化中，元素(i,j

7、)是由j轉(zhuǎn)移到i的概率。有時(shí)候一個(gè)由元素(i,j)給出的等價(jià)的定式化等于由i轉(zhuǎn)移到j(luò)的概率。在此情況下，轉(zhuǎn)移矩陣僅是這里所給出的轉(zhuǎn)移矩陣的轉(zhuǎn)置。另外，一個(gè)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布是由該轉(zhuǎn)移矩陣的左特征向量給出的，而不是右特征向量。轉(zhuǎn)移概率獨(dú)立于過(guò)去的特殊況為熟知的Bernoullischeme。僅有兩個(gè)可能狀態(tài)的Bernoullischeme被熟知為貝努利過(guò)程馬爾可夫鏈模型的應(yīng)用科學(xué)中的應(yīng)用馬爾可夫鏈通常用來(lái)建模排隊(duì)理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的建模，還可作為信號(hào)模型用于熵編碼技術(shù)，如算法編碼。馬爾可夫鏈也有眾多的生物學(xué)應(yīng)用，特別是人口過(guò)程，可以幫助模擬生物人口過(guò)程的建模。隱蔽馬爾可夫模型還被用于生物信息學(xué)，用以編碼

8、區(qū)域或基因預(yù)測(cè)。馬爾可夫鏈最近的應(yīng)用是在地理統(tǒng)計(jì)學(xué)(geostatistics)中。其中，馬爾可夫鏈用在基于觀察數(shù)據(jù)的二到三維離散變量的隨機(jī)模擬。這一應(yīng)用類似于“克里金地理統(tǒng)計(jì)學(xué)(Kriginggeostatistics)，被稱為是“馬爾可夫鏈地理統(tǒng)計(jì)學(xué)”。這一馬爾可夫鏈地理統(tǒng)計(jì)學(xué)方法仍在發(fā)展過(guò)程中。編輯人力資源中的應(yīng)用馬爾可夫鏈模型主要是分析一個(gè)人在某一階段內(nèi)由一個(gè)職位調(diào)到另一個(gè)職位的可能性，即調(diào)動(dòng)的概率。該模型的一個(gè)基本假設(shè)就是，過(guò)去的內(nèi)部人事變動(dòng)的模式和概率與未來(lái)的趨勢(shì)大體相一致。實(shí)際上，這種方法是要分析企業(yè)內(nèi)部人力資源的流動(dòng)趨勢(shì)和概率，如升遷、轉(zhuǎn)職、調(diào)配或離職等方面的情況，以便為內(nèi)部的

9、人力資源的調(diào)配提供依據(jù)。它的基本思想是：通過(guò)發(fā)現(xiàn)過(guò)去組織人事變動(dòng)的規(guī)律，以推測(cè)組織在未來(lái)人員的供給情況。馬爾可夫鏈模型通常是分幾個(gè)時(shí)期收集數(shù)據(jù)，然后再得出平均值，用這些數(shù)據(jù)代表每一種職位中人員變動(dòng)的頻率，就可以推測(cè)出人員變動(dòng)情況。具體做法是：將計(jì)劃初期每一種工作的人數(shù)量與每一種工作的人員變動(dòng)概率相乘，然后縱向相加，即得到組織內(nèi)部未來(lái)勞動(dòng)力的凈供給量。其基本表達(dá)式為：丨皿歸N（t）：t時(shí)間內(nèi)I類人員數(shù)量；iP:人員從j類向I類轉(zhuǎn)移的轉(zhuǎn)移率；jiV（t）：在時(shí)間（t-1,t）I類所補(bǔ)充的人員數(shù)。i企業(yè)人員的變動(dòng)有調(diào)出、調(diào)入、平調(diào)、晉升與降級(jí)五種。表3假設(shè)一家零售公司在1999至2000年間各類人員

10、的變動(dòng)情況。年初商店經(jīng)理有12人，在當(dāng)年期間平均90%的商店經(jīng)理仍在商店內(nèi)，10%的商店經(jīng)理離職，期初36位經(jīng)理助理有11%晉升到經(jīng)理，83%留在原來(lái)的職務(wù)，6%離職；如果人員的變動(dòng)頻率是相對(duì)穩(wěn)定的，那么在2000年留在經(jīng)理職位上有11人（12X90%），另外,經(jīng)理助理中有4人（36X83%）晉升到經(jīng)理職位，最后經(jīng)理的總數(shù)是15人（11+4）。可以根據(jù)這一矩陣得到其他人員的供給情況，也可以計(jì)算出其后各個(gè)時(shí)期的預(yù)測(cè)結(jié)果。假設(shè)的零售公司的馬爾可夫分析，見(jiàn)下表：1999200商店經(jīng)理區(qū)域部門銷售離0經(jīng)理助理經(jīng)理經(jīng)理員職商店經(jīng)理90%10%(n=12)111經(jīng)理助理11%83%6%(n=36)4302

11、區(qū)域經(jīng)理11%66%8%15%(n=96)1163814部門經(jīng)理10%72%2%16%(=288)29207646銷售員6%74%25%(=1440)861066228供給預(yù)測(cè)1541923011072351編輯馬爾可夫模型案例分析1案例：在信用卡賬戶行為變化預(yù)測(cè)中的應(yīng)用信用卡業(yè)務(wù)是商業(yè)銀行的零售業(yè)務(wù)，信用卡的消費(fèi)金額是銀行的應(yīng)收賬款.在此，我們可以借鑒零售行業(yè)應(yīng)收賬款狀態(tài)變化的預(yù)測(cè)方法對(duì)信用卡賬戶的行為變化進(jìn)行描述和預(yù)測(cè)。對(duì)信用卡賬戶的馬爾可夫過(guò)程進(jìn)行研究，主要解決新增貸款發(fā)生周期性變化的情況下利用馬爾可夫過(guò)程預(yù)測(cè)不同時(shí)刻的信用卡賬戶各狀態(tài)下的金額、已償付態(tài)和壞帳態(tài)的金額、全部應(yīng)收款的現(xiàn)值及

12、它們的方差計(jì)算等內(nèi)容，以為商業(yè)銀行信用卡賬戶的行為風(fēng)險(xiǎn)管理提供方法依據(jù)。編輯馬爾可夫模型的建立馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型是在滿足“馬氏性”和“平穩(wěn)性”的基礎(chǔ)上建立的假定銀行的信用卡賬戶中每期處于不同期限的逾期貸款數(shù)量只與上期逾期貸款的數(shù)量與結(jié)構(gòu)有關(guān)，而與前期的狀態(tài)無(wú)關(guān)，這就滿足了“馬氏性”。同時(shí)，在外部經(jīng)濟(jì)環(huán)境穩(wěn)定、人口特征比較穩(wěn)定、銀行的信用卡管理技術(shù)和方法沒(méi)有發(fā)生重大變化的情況下,可以認(rèn)為逾期貸款由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一種狀態(tài)的概率在各期是保持不變的，即每年的轉(zhuǎn)移概率矩陣基本保持穩(wěn)定,滿足了馬氏鏈的“平穩(wěn)性”要求.這樣，銀行就可以通過(guò)往年的數(shù)據(jù)資料模擬出比較精確的轉(zhuǎn)移概率矩陣，對(duì)信用卡賬戶的行為狀態(tài)

13、做出預(yù)測(cè)和評(píng)估,下面給出具體分析。假設(shè)某一銀行在時(shí)間i有一定的信用卡應(yīng)收賬款,當(dāng)前或者隨后的時(shí)間內(nèi)這些余額都可以劃分為n個(gè)時(shí)間段（即狀態(tài)。對(duì)于這批在時(shí)間i的應(yīng)收賬款而言，有:B二逾期為0期的應(yīng)收賬款余額（也就是當(dāng)前期）；0B=逾期為1期的應(yīng)收賬款余額；1B=逾期為j期的應(yīng)收賬款余額；jB=逾期為n-1期的應(yīng)收賬款余額；n1B=逾期為n期的應(yīng)收賬款余額。n實(shí)踐中，時(shí)間段的數(shù)目將視情況而定，最后一個(gè)時(shí)間段主要依賴于銀行應(yīng)收賬款的“沖銷”原則,美國(guó)的信用卡貸款一般拖欠180天以上即成為呆賬予以“沖銷”.雖然拖欠賬款最終也可能得到償還，但是將超過(guò)規(guī)定還款期限的應(yīng)收賬款歸入壞帳種類中是很自然的會(huì)計(jì)程序一

14、般而言，我們可以讓Bjk表示從i時(shí)刻處于j狀態(tài)轉(zhuǎn)移到i+1時(shí)刻處于k狀態(tài)的賬戶的金額.用這種方法，我們可以對(duì)處于i時(shí)刻的所有應(yīng)收賬款做出在i+1時(shí)刻的一步轉(zhuǎn)移賬戶需要注意的是，還應(yīng)該有一個(gè)“時(shí)間”狀態(tài)應(yīng)該加入到先前所描述的分類中，這一狀態(tài)就是已付款狀態(tài)，用U表示在i時(shí)刻任何一種分類狀態(tài)從0到n的賬戶在i+1時(shí)刻都可以轉(zhuǎn)移到狀態(tài)這樣，i時(shí)刻的應(yīng)收賬款賬戶可以用一個(gè)n+2維矩陣來(lái)表示，矩陣中的每一項(xiàng)Bjk表示i時(shí)刻j狀態(tài)轉(zhuǎn)移為i+1時(shí)刻k狀態(tài)的金額，如下所示：B=%*對(duì)信用卡賬戶而言，需要注意的是,當(dāng)狀態(tài)B中的ji時(shí)，應(yīng)理解為i時(shí)jk刻處于狀態(tài)j的賬戶，在隨后的i+1時(shí)刻（一般為30天后）償還了部

15、分的利息，使得應(yīng)收賬款（貸款）又轉(zhuǎn)變?yōu)閗狀態(tài)。從n+2維應(yīng)收賬款矩陣B可以導(dǎo)出n+2維轉(zhuǎn)移概率矩陣P.轉(zhuǎn)移概率矩陣P中的每一項(xiàng)目表示在特定時(shí)間內(nèi)某一賬戶由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一狀態(tài)的可能性這樣的話，一個(gè)隱含假設(shè)是，轉(zhuǎn)移概率矩陣的考察周期和應(yīng)收賬款分類的考察周期是相同的一般情況下，轉(zhuǎn)移概率P表示的是i時(shí)刻j狀態(tài)的賬款轉(zhuǎn)移到j(luò)ki+1時(shí)刻k狀態(tài)賬款的可能性.根據(jù)應(yīng)收賬款矩陣B及B,轉(zhuǎn)移概率P可被定義jkjk為:在應(yīng)用轉(zhuǎn)移概率矩陣時(shí)需要注意兩點(diǎn)。一是口狀態(tài)的賬款不可能轉(zhuǎn)移到為:在應(yīng)用轉(zhuǎn)移概率矩陣時(shí)需要注意兩點(diǎn)。一是口狀態(tài)的賬款不可能轉(zhuǎn)移到其它的狀態(tài)，它只能停留在已付款狀態(tài)，訂狀態(tài)賬戶的轉(zhuǎn)移概率依次為:際

16、=匸叫琳=q,阪=q，區(qū)三g,際=0為:際=的狀態(tài)，雖然有時(shí)候壞呆賬類賬款仍能收回現(xiàn)金，但在我們的模型里邊假設(shè)呆賬類賬款只能停留在呆賬類的狀態(tài),即:應(yīng)三q0,類賬款只能停留在呆賬類的狀態(tài),即:應(yīng)三q0,P=0,，P=-nn,P=0,P=n0n11.00。上面描述的模型可以被看作一個(gè)有n+2個(gè)狀態(tài)的馬爾可夫鏈過(guò)程，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為P.而且，它有兩個(gè)吸收態(tài)（償付態(tài)0和呆賬態(tài)n）,從其他任何一個(gè)暫態(tài)（非吸收態(tài)）都可以到達(dá)這兩個(gè)吸收態(tài)，因此它是一個(gè)具有兩個(gè)吸收態(tài)的馬爾可夫鏈我們將在充分利用馬爾可夫理論和已有研究的基礎(chǔ)上，研究如何利用馬爾可夫鏈方法預(yù)測(cè)和估計(jì)信用卡賬戶行為的變化。編輯馬爾可夫模型的應(yīng)用在

17、此，采用Kemeny和Snell的部分研究成果.為便于計(jì)算，將n+2維轉(zhuǎn)移概率方陣重新排列，將吸收態(tài)的償付態(tài)和呆賬態(tài)放在一起,將另外的暫態(tài)0，1，2,n-1放在一起.這樣矩陣P就可以被分割為:其中I是一個(gè)2X2階單位矩陣,0是一個(gè)2Xn階0矩陣,R是一個(gè)nX2階矩陣,Q是一個(gè)nXn階矩陣.其中，我們定義矩陣:=IQ丨QS”丨|QJ一定存在,并將其稱為吸收態(tài)馬爾可夫鏈的基本矩陣對(duì)于nX2階矩陣的所有分項(xiàng),NR給出了每一狀態(tài)轉(zhuǎn)移到吸收態(tài)和n的吸收概率.NR中的第一列給出了每一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到已償付狀態(tài)的概率，第二列給出了每一個(gè)狀態(tài)下轉(zhuǎn)移到呆賬的概率。無(wú)新增貸款的情況假設(shè)在時(shí)刻i,具有n個(gè)分項(xiàng)向量的頁(yè)=

18、(B紬弘j民劉二1給出I來(lái)每一狀態(tài)下應(yīng)收賬款的余額讓b等于所有這些余額之和,則向量是一個(gè)沒(méi)有非負(fù)分量且全部之和為1的概率向量，向量的分量代表了每一狀態(tài)下應(yīng)收賬款的比例.如果我們假設(shè)上述狀態(tài)中的余額的移動(dòng)是獨(dú)立的，那么我們就可以認(rèn)定向量n為馬爾可夫鏈的初始向量.另外，還假定:如果A是任一矩陣，那么我們讓A表示A中每一項(xiàng)平方后的結(jié)果;讓A表示A中每一項(xiàng)取平方根后的sqrt結(jié)果則有如下結(jié)論：結(jié)論1二維向量BNR中的分量可以給出來(lái)自應(yīng)收賬款向量B的期望還款和壞帳金額;分量給出來(lái)償還態(tài)和呆帳態(tài)的方差,A給出了這兩種狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)差。rtA=6|_和逍一(恥貞)|證明如上所述，矩陣NR中第一列的分量給出來(lái)應(yīng)收

19、賬款從每一暫態(tài)7T=()13轉(zhuǎn)移到吸收態(tài)(償付態(tài))的概率.向量的分量給出了每次過(guò)程開(kāi)始時(shí)賬款轉(zhuǎn)移到每一暫態(tài)的初始概率因此，賬款在最終時(shí)償付態(tài)的概率可以由向量nNR的第一列分量給出.如果這一過(guò)程開(kāi)始了b次,那么在最終時(shí)償付態(tài)的平均數(shù)就是向量bnNR=BNR的第一列分量.向量nNR的第一分量是函數(shù)f的平均值，其中f表示在最終結(jié)束時(shí)償付態(tài)的價(jià)值為全部?jī)r(jià)值,其它狀態(tài)的價(jià)值為零這一函數(shù)的方差可以由下式的第一分量給出：因?yàn)閒2=f,所以M(f2)=M(f),因此f的方差可以由nNR(nNR)的第一分量給出.如果過(guò)程開(kāi)始了b次,那么償付態(tài)的全部金額的方差可以sq由卩=（加叭的第一分量給出.有關(guān)呆帳態(tài)的分析與

20、償付態(tài)的分析類似。此外，還可以對(duì)應(yīng)收賬款現(xiàn)值的計(jì)算進(jìn)行了研究.如果r是利率，則0I廠）就表示了貼現(xiàn)率，應(yīng)收賬款現(xiàn)值的計(jì)算就可以由下面的計(jì)算給出。假定B是應(yīng)收賬款向量,R是矩陣R的第一列分量，則BR表示當(dāng)前時(shí)期11的收現(xiàn)額;從下一期的BQR的價(jià)值就只有BBQR1;依此類推，在（k+1）周期時(shí)BQkR11的價(jià)值就只有BkBQkR.將這些折現(xiàn)價(jià)值加在一起就可以得到應(yīng)收賬款的當(dāng)前現(xiàn)1值：叫0EQR1丨丨儼衛(wèi)（/局|=囚八0Q丨丨滬Q#丨耳=測(cè)，其中的N表示/心.廣在實(shí)踐當(dāng)中，銀行一般都要對(duì)信用卡客戶收取一定的年費(fèi)，假定銀行對(duì)客戶收取b的費(fèi)率，則B=1+b,那么完全可以利用上述公式來(lái)計(jì)算應(yīng)收賬款的現(xiàn)值當(dāng)

21、然，如果考慮利率和年費(fèi)率兩種因素的話,將會(huì)有一個(gè)凈折扣率或者一個(gè)費(fèi)用率。新增貸款固定不變的情況假設(shè)每期又發(fā)生了金額為c的新應(yīng)收款，這些新應(yīng)收款被分不在不同的狀態(tài)下，構(gòu)成了向量C的各分量組成，即JMI.定義向量則n為概率向量并且被認(rèn)為是馬爾可夫鏈的初始向量假設(shè)，馬爾可夫過(guò)程每期以初始概率n開(kāi)始了c次.那么應(yīng)收賬款的穩(wěn)定態(tài)分布會(huì)怎么樣，這些賬戶的方差又是多少?每期期望付款和呆賬的數(shù)量以及它們的期望方差又怎么樣？結(jié)論2如果馬爾可夫過(guò)程每期以初始概率n開(kāi)始了c次,則向量CN的分量給出來(lái)所有時(shí)刻下穩(wěn)定的應(yīng)收賬款金額，數(shù)值CNg給出了穩(wěn)定態(tài)的全部應(yīng)收賬款金額，其中g(shù)是各項(xiàng)為1的n維列向量.二維向量CNR給

22、出來(lái)每期償付款和呆賬的穩(wěn)定態(tài)的金額。證明如果上述馬爾可夫過(guò)程進(jìn)行了許多個(gè)周期，則各狀態(tài)的金額由當(dāng)前n個(gè)月前的nQ、二個(gè)月前的nQ2,等等組成.那么這些數(shù)量之和為：訂應(yīng)丨葉Q3丨=算(IQ丨Q丨b丨)=訃如果這個(gè)過(guò)程每周期開(kāi)始了c次,每一狀態(tài)下的應(yīng)收賬款可以由向量cnN=CN表示如果g是一個(gè)各項(xiàng)為1的列向量，則CNg是向量CN的分量之和,代表了應(yīng)收賬款的全部賬戶余額.如果上述過(guò)程進(jìn)行了很多周期,將會(huì)有nR的賬款從第一期的新收款中轉(zhuǎn)移到吸收態(tài)，將有nQR的賬款從接下來(lái)的一期的新收款中轉(zhuǎn)移到吸收態(tài)，將有nQ2R的賬款從過(guò)期兩個(gè)月的新收款中轉(zhuǎn)移到吸收態(tài)，依此類推，那么所有這些之和為：qR丨R丨帀QR丨=打(丨Q丨Q-丨Q丨JR=tjNR如果這一過(guò)程開(kāi)始了c次，每期穩(wěn)定態(tài)的償付款和呆賬將有cnNR=CNR給出。證明完畢。綜合定理1和定理2,我們能夠得出一下推論讓t=CNg，開(kāi)=(E)C;那么CNR和WAR(xAX)是償付款和呆賬的預(yù)測(cè)均2值和方差而且，可以根據(jù)對(duì)應(yīng)收款的利率和費(fèi)率來(lái)計(jì)算應(yīng)收賬款的現(xiàn)值。新增貸款發(fā)生周期性變化的情況上述討論都沒(méi)有考慮應(yīng)收賬款發(fā)生變化的情況，然而，在現(xiàn)實(shí)情況下，銀行的信用卡消費(fèi)呈現(xiàn)出一定的周期性，例如在春節(jié)、國(guó)慶節(jié)和秋季開(kāi)學(xué)的時(shí)候消費(fèi)比較高.除此