空間向量在判斷空間線面位置關系中的應用

1、空間向量在判斷空間線面位置關系中的應用江蘇 韓文美空間向量是處理空間問題的重要方法，通過將空間元素間的位置關系轉化為數(shù)量關系， 將過去的形式邏輯證明轉化為數(shù)值計算，化繁難為簡易，化復雜為簡單，為學生處理某些立 體幾何問題提供了的新視角.下面結合2 0 0 6年高考中的部分試題及其他相關試題，對空 間向量在判斷空間線面位置關系中的應用加以解析.1、向量在推證線面平行、面面平行中的應用原理：共線向量定理：對空間任意兩個向量a、b （ b豐0 ），a/b的充要條件是存 在實數(shù)人，使a = X b .I* h 共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條 件是存在有序實數(shù)

2、組3, y），使得P = xa + yb.證線面平行的具體做法：若要證直線l與平面a平行，只要在a內(nèi)找到兩個不共線向量 * 一a、b，在l上取向量p，證得p = xa + yb （ x, y g R ）即可.證面面平行的具體做法：如果有一個向量n垂直于平面a，則向量n就是平面a的法 向量，那么要證明a / P，只要證明向量n也是平面P的法向量即可，即證明n p .春）如圖，妙長方體ABCD- ABCl D1春）如圖，妙長方體ABCD- ABCl D1中，三北分別 *E、CD1 的中點,，AD = AA 11= a平面ADDAAB = 2a .求的中點AB = 2a .求證明：以D為原點，DA、

3、DC、咀所在直線分別為x軸、y軸、輒建立直角 坐標系，則 A(a,0,0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，A1(a,0,a)，D1 (0,0, a)，因為E、P、M、N分別是BC、A1 D1、AE、CD1的中點， TOC o 1-5 h z aa3aa 3aa所以 E( ,2a,0)，P( ,0,a)，M(,a,0)，N(0,a,)，則MN = (-,0,)，224242wrr，,in取 n = (0,1,0)，顯然有 n 平面 ADq A1，則有 MN n = 0，即 MN n，又MN W平面ADD A，所以MN/平面ADDA .1 11 1評析:利用垂直于平面的向量與不在平面內(nèi)的

4、直線的方向向量垂直來證明直線與平面平 行，把直線與平面平行的問題轉化為向量與向量的垂直問題.x證明：建立如圖所示的空間直角坐標系D1Fx證明：建立如圖所示的空間直角坐標系D1F，則各點對應的坐標為*,0,0）,例2.在正方體ABCD ABC D中，棱長為1,求證：平面ABD /平面B D C .1111111y + z = 0n BD = 0 y + z = 0n BD = 0 一 x y = 0 A ABD1 = (1,T,0)，D1(0,1,DC1所以B D， D C都與n垂直，即n與平面B D C垂直，叩,。）,os b（頃，aw，皿偵,則AB = (0,1,1)，BD = (1,1,0

5、)，1設平面ABD的法向量為n = 3, y, z），從而得到平面1 BD /平面B1 Dy .評析：利用一個向量同時垂直于兩個平面來證明兩個平面的平行問題，把證明兩個平面 的平行問題轉化為證明兩個平面同時垂直于它們的法向量的問題.2、向量在推證線線垂直、線面垂直、面面垂直中的應用原理：a b o a b = 0.證線面垂直的具體做法：若要證直線l與平面a垂直，只要在a內(nèi)找到兩個不共線向量a、b，在l上取向量p，證得p a = 0且p b = 0即可.F1-證面面垂直的具體做法：如果兩個相交平面a和P的法向量分別為n1和n2，那么要-F!證明alp，只要證明法向量n和n2所成的角為直角或n 1

6、 n2即可.例3.（ 2 0 0 6年高考浙江卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD BC，/BAD=90，PAL底面 ABCD，且 PA=AD=AB=2BC，M、N 分別為 PC、PB 的 中點.求證：PBLDM.證明：如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系A - xyz,設BC=1，則八1八A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0), C(2,1,0), M(y,1), D(0,2,0),3那么 PB = (2,0,-2), DM = (1,- -,1),3 .、八由于 PB DM = (2,0,-2) (】,5,1) = 0,所以 PBDM.A評析：把證明兩

7、條直線垂直的問題轉化為證明兩條直線的方向向量相互垂直的問題，即 證明兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零的問題.例4.( 2 0 0 6年高考重慶卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL底面ABC D, ZDAB 為直角，AB/CD,AD = CD=2AB,E、F 分別為PC、CD的中 點。試證：CD上平面BEF.證明：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為乙軸 建立空間直角坐標系，設AB = a ,則可知各點坐標為A(0,0,0), B(a,0,0), C(2a,2a,0),D(0,2a,0), F(a,2a,0),從而 DC = (2a,0,0), BF = (0,2

8、a,0)，則 DC BF = 0,即 DC BF ,b、設 PA = b,則 P (0,0, b),而E是PC的中點，則 E (a, a), ，八 b、從而 BE = (0, a,),則 DC BE = 0 ,即 DC 上 BE,而 BF BE = B ,2由此可得CD平面BEF.評析:把證明線面垂直的問題轉化為直線的一個方向向量與平面內(nèi)的兩個有交點的向量 的垂直問題.例5.如圖，A ABC是一個正三角形，EC平面ABC, BD/CE,且CE =CA=2BD,M是EA的中點.求證：平面DEAL平面ECA.xx證明：建立如圖的空間直角坐標系C xyz,不妨設CA=2,則CE=2, BD=1,則 C(0,0,0), AG. 3,1,0), B(0,2,0), E(0,0,2), D(0,2,1),那么 EA = (31,2), CE = (0,0,2), ED = (0,2,1),分別設平面ECA與平面DEA的法向量是n1=(氣,y1, z1), v3xyyZz2n分別設平面ECA與平面DEA的法向量是n1=(氣,y1, z1), v3xyyZz2nEAnDn z1222 y 2EA = 0v3 + y 21 12 z = 0+ 2 z = 02j 解