空間向量與平行關(guān)系

1、空間向量與平行關(guān)系(45 分鐘 100 分)一、選擇題(每小題6分，共30分)1.直線l的個方向向量為n=(1,3,a),平面a的個法向量為k=(b,2,3),若l/a,則a,b應(yīng)滿足的關(guān)系式為( )A.3a+b+6=0 B.a=3b C.3a-b+6=0D.a=-3b 2.若直線a與b的一個方向向量分別是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a /b,則m的值 為()A.4B.-4C.-2D.23 設(shè) a b 分別是不重合的 直夜l l的一個方向向量 貝則根據(jù)下列條件能判斷l(xiāng) /l Ji, *2,i 2的是( )a =(：,1,0),b =(-2,-4,0);a=(4,6,-2),b

2、=(-2,-3,1);a=(5,0,2),b=(0,1,0);a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).A.B.C.D.4.在正方體ABCD-AB CD中，若E為AC的中點,E是AC的中點，則與CE平行11111111的直線為()A.ADB.A1CA.ADB.A1C1C.EB1D.EA15.在正方體 ABCD-A1B1C1D中，棱長為a,M,N 分別為A1B,AC的中點，則MN與平面B1BCC1的位置關(guān)系是人.相交B.平行仁垂直。.不能確定二、填空題（每小題8分，共24分）（2013 濟南高二檢測）設(shè)平面a的一個法向量為（3,2,-1），平面。的一個法向量 為（-2,-：,k）,若a/。

3、，則 1等于.若直線l的一個方向向量為a=（3,2,-1）,直線m/l,則直線m的單位方向向量 為.正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E為BB1的中點萬 為AD的中點，以 DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面D1EF的法向量 是.三、解答題（9題,10題14分,11題18分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A】D的中點為E,BD的中點為F,證CDJ/EF.在長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F 分別是棱A D ,A B ,D C , 111111B1C1的中點.求證:平面AMN /平面EFBD. TO

4、C o 1-5 h z （能力挑戰(zhàn)題）已知:四棱錐P-ABCD中,PA1平面ABCD,尸底面 ABC D是菱形，且 PA=AB=2,ZABC=60 ,BC,P D的/中點分別為E,F.在線段AB上是否存在一點G,使得AF/七-、上平面PCG?若存在，指出G在AB上的位置并給出證明;若* E”不存在，請說明理由.答案解析【解析】選A.l/a,.nk,即nk=b+6+3a=0, 3a+b+6=0.【解析】選 B.a/b.a/b，故 m=-4.【解題指南】本題為求解適合平行的充分條件，可逐一驗證，因此適用排除法.【解析】A.a=b,.l1 II l2,排除 B,C,a=-2b,.l1 II12,故選

5、 A.【變式備選】設(shè)u,v分別是不同的平面a,B的一個法向量，根據(jù)下列條件能判斷a/I。的是.u = (-1,1,-2),v=(3,2,-二);2u = (0,0,3),v=(0,0,-2);u = (4,2,-3),v=(1,4,-2).【解析】判斷兩個法向量是否平行即可.vu=kv的k值不存在，.u與v不平行;.“ = *.u/I V.a/IB；2*/u=kv的k值不存在，.u與v不平行.答素:【解析】選D.如圖所示，建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè) AB = 1,則 C(1,1,0),E1,1),L = (,1).又 A1(0,0,1),E,0), jfJJ三上 = (%,1),故C圣/I E

6、土,又CE1與EA1不重合，故選D.【解題指南】由正方體易建立空間直角坐標(biāo)系，可選B1 或 為原點，求M,N的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.【解析】B.以C1為原點、以所在直線 分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，N(%a),M(a,f)，.： = (上,0,三).而平面B1BCC1的一個法向量為n=(0,1,0),.就Nn=0.又MN 平面 B1BCC1, MN與平面B1BCC1 平行.【解析】.a/B,.(3,2,-1)=人(-2,二,k),.人=二，人k=-1,.k=二.答案:：.所求的向量為土項3,2,-1),即m的單號向向量為(三,巨日或8.【解析】根據(jù)題意得 D1(0,0,1),E(

7、1,1),F,0,0),/aj=,0,-1)o.E=(1,1,).設(shè)平面DEF的法向量是n.所求的向量為土項3,2,-1),即m的單號向向量為(三,巨日或8.【解析】根據(jù)題意得 D1(0,0,1),E(1,1),F,0,0),/aj=,0,-1)o.E=(1,1,).設(shè)平面DEF的法向量是n=(x,y,z),則:取 z=2k(k壬0),則 x=4k,y=-3k,.n = (4k,-3k,2k)(k壬0).答案:(4k,-3k,2k)(k壬0)9.【證明】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系 Dxyz,設(shè)AB = 1,則 C(0,1,0),D1(0,0,1),.C = (0,-1,1),又.A1(1,0,1

8、),D(0,0,0),.E(二,0習(xí),又 F(二，三,0), 222 2.三=(0壬). 2 2.C=-2EF.C / Ef,又.C EF,故 CD】II EF.10【證明】方法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別 取MN,DB及EF的中點R,T,S,連結(jié)AR,ST,則 A(2,0,0),M(1,0,4),N(2：,4),D(0,0,0),B(2,3,0),2E(0,二4),F(1,3,4),RG,二4),SG,二4),T(1,二0). TOC o 1-5 h z 22 42 42.： = (1,二0),三=(1,二0),22AR=(,4)JS = (,4).2 42 4：=三三,WX=T&

9、 又MN與EF,AR與丁5不共線,.MNIEF,ARITS.MN II 平面 EFBD,AR| 平面 EFBD,又 MNu 平面 AMN,ARu 平面 AMN,MNPAR=R,.平面AMN II平面EFBD.方法二：建系同方法一，由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,二4),D(0,0,0),E(0,二4),F(1,3,4),2則二：1 = (-1,0,4)3 L = (0二,4), = (0二,4)Q=(1,3,4). TOC o 1-5 h z 22設(shè)平面AMN,平面EFBD的法向量分別為n =(x ,y ,z),n =(x ,y ,z ),1 iii 2222(n A

10、M-O,(們+4勺=0*則.即 3.八：= 0,芝./+4提|(),令 x = L 得 z1=：y1=,n1=(y,了),廣.，即(3快+4.o,膈2 OF = 0,互+3* + 4在=0,令 y2 = -1,得 Z2=；，X2=：.n2=,1),J.n1=：n2,即 n1 / n2,.平面 AMN / 平面 EFBD.【解題指南】逆向推理是解決證明問題的關(guān)鍵，在證明中結(jié)合目標(biāo)逆向?qū)で蠼?題思路，充分利用棱柱、棱錐中的三角形、四邊形(正方形、長方形、菱形)的性 質(zhì)特征找到垂直關(guān)系與平行關(guān)系，可以有效地對問題進行轉(zhuǎn)化，忽視平面圖形的 性質(zhì),會使解題無從入手.【解析】由題意知PA1平面ABCD,又因為底面ABCD是菱形，得AB = BC且Z ABC= 60，所以 ABC是正三角形，連接AE,又E是BC的中點，.BC1AE,故AE,AD,AP彼此兩兩垂直，以AE,AD,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，.PA=AB=2,故 A(0,0,0),B(,M1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),C( 3,1,0), .L=(0,0,-2),FC = 6 ,1,-2)；三= (0,1,1).假設(shè)在線段AB上存在點G,使得AF/平面PCG, 則=