lei方向導數(shù)與梯度課件

1、27 九月 20221一、方向導數(shù)定義 若函數(shù)則稱為函數(shù)在點 P 處沿方向 l 的方向導數(shù).在點 處沿方向 l (方向角為 ) 存在下列極限: 記作 26 九月 20221一、方向導數(shù)定義 若函數(shù)則稱為函數(shù)27 九月 20222則函數(shù)在該點沿任意方向 l 的方向導數(shù)存在 ,證明: 由函數(shù)且有在點 P 可微 ,得故定理 26 九月 20222則函數(shù)在該點沿任意方向 l 的方向導數(shù)27 九月 20223對于二元函數(shù)為, ) 的方向導數(shù)為特別: 當 l 與 x 軸同向 當 l 與 x 軸反向向角26 九月 20223對于二元函數(shù)為, ) 的方向導27 九月 20224解:26 九月 20224解:2

2、7 九月 20225解:26 九月 20225解:27 九月 20226二、梯度 方向導數(shù)公式令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向導數(shù)取最大值：26 九月 20226二、梯度 方向導數(shù)公式令向量這說明方27 九月 20227即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度記作(gradient),在點處的梯度 說明:函數(shù)的方向導數(shù)為梯度在該方向上的投影.向量定義26 九月 20227即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù) f (P27 九月 20228解:解:26 九月 20228解:解:27 九月 2022926 九月 2022927 九月 202210內(nèi)

3、容小結1. 方向導數(shù) 三元函數(shù) 在點沿方向 l (方向角的方向導數(shù)為 二元函數(shù) 在點的方向導數(shù)為沿方向 l (方向角為26 九月 202210內(nèi)容小結1. 方向導數(shù) 三元函數(shù) 27 九月 2022112. 梯度 三元函數(shù) 在點處的梯度為 二元函數(shù) 在點處的梯度為3. 關系方向導數(shù)存在偏導數(shù)存在 可微梯度在方向 l 上的投影.26 九月 2022112. 梯度 三元函數(shù) 在點處的梯度27 九月 202212作業(yè)習 題 7-7 P108 4; 7; 26 九月 202212作業(yè)習 題 7-7 P10827 九月 202213思考練習1. 設函數(shù)(1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲

4、線在該點切線方向的方向導數(shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度與(1)中切線方向 的夾角 .26 九月 202213思考練習1. 設函數(shù)(1) 求函數(shù)在27 九月 202214曲線1. (1)在點函數(shù)沿 l 的方向導數(shù)M (1,1,1) 處切線的方向向量解答提示:26 九月 202214曲線1. (1)在點函數(shù)沿 l 的方27 九月 20221526 九月 20221527 九月 202216指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向導數(shù)是 .在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點A提示:則(96考研)2. 函數(shù)26 九月 202216指向 B( 3, 2 , 2) 方27 九月 202217在點處的梯度