《高等數(shù)學B》第十章-微分方程與差分方程-第6節(jié)-差分與差分方程的概念-……課件

1、 第六節(jié) 差分與差分方程的概念 、 常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu) 第十章 微分方程與差分方程 在科學技術(shù)和經(jīng)濟管理的許多實際問題中，經(jīng)濟變 量的數(shù)據(jù)大多按等間隔時間周期統(tǒng)計。因此，各有關(guān) 變量的取值是離散變化的，如何尋求它們之間的關(guān)系 和變化規(guī)律呢 ? 差分方程是研究這類離散數(shù)學模型的有力工具。 第六節(jié) 差分與差分方程的概念 、第十章 微分方 一、差分的概念 設(shè)變量 y 是時間 t 的函數(shù) , 如果函數(shù) y = y( t ) 不僅連 續(xù)而且還可導 , 則變量 y 對時間 t 的變化速率用 dy/dt 來刻畫 ; 但在某些場合 , 時間 t 只能離散地取值 , 從而變量 y 也只能按規(guī)定的離散時間

2、而相應(yīng)地離散地變化 , 這時 常用規(guī)定的時間區(qū)間上的差商 y / t 來刻畫 y 的變化 速率 . 若取 t = 1 , 那么 y = y( t + 1) y( t ) 就可近似地代表變量 y 的變化速率 . 一、差分的概念 定義1 設(shè)函數(shù) y = f ( x ) , 當自變量 x 依次取遍非負整 數(shù)時 , 相應(yīng)的函數(shù)值可以排成一個數(shù)列 f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( x ) , f ( x + 1 ) , 將之簡記為 當自變量從 x 變到 x + 1 時 , 函數(shù)的改變量 稱為函數(shù) y 在點 x 的差分(或一階差分) , 記為 即 定義1 設(shè)函數(shù) y

3、= f ( x 例1 已知 ( C 為常數(shù)) , 求 解 所以常數(shù)的差分為零 . 例2 已知 (其中 a 0 , a 1 ) , 求 解 可見 , 指數(shù)函數(shù)的差分等于指數(shù)函數(shù)乘上一個常數(shù) . 例3 已知 , 求 解 例1 已知 例4 已知 求 解 例4 已知 由一階差分的定義 , 容易得到差分的四則運算法則 (證明略) 由一階差分的定義 , 容易得到差分的四 下面給出高階差分的定義 . 定義2 當自變量從 x 變到 x + 1 時 , 一階差分的差分 稱為函數(shù) y = f ( x ) 的二階差分 , 記為 , 即 同樣 , 二階差分的差分稱為三階差分 , 記為 , 即 下面給出高階差分的定義

4、. 依次類推 , 函數(shù) y = f ( x ) 的 n 階差分為 解 例5 設(shè) 求 依次類推 , 函數(shù) y = f ( x 解 例6 設(shè) 求 一般地 , 對于 k 次多項式 , 它的 k 階差分為常數(shù) , 而 k 階以上的差分均為零 . 解 例6 設(shè) 二、差分方程的概念 定義3 含有未知函數(shù)的差分或含有未知函數(shù)幾個不 同時期值的符號的方程稱為差分方程 , 其一般形式為 或 或 由差分的定義及性質(zhì)可知 , 差分方程的不同表達形 式之間可以互相轉(zhuǎn)化 . 例如 , 差分方程 可轉(zhuǎn)化成 二、差分方程的概念 若將原方程的左邊寫成 則原方程又可化為 在定義3中 , 未知函數(shù)的最大下標與最小下標的差稱 為差

5、分方程的階 . 如 是三階差分方程 , 若將原方程的左邊寫成 則原方程又 又如差分方程 雖然它含有三階差分 但是由于該方程可化為 因此 , 它是二階差分方程 . 定義4 如果一個函數(shù)代人差分方程 , 使方程兩邊恒 等 , 則稱此函數(shù)為差分方程的解 . 若在差分方程的解中 , 含有相互獨立的任意常數(shù)的 個數(shù)與該方程的階數(shù)相同 , 則稱這個解為差分方程的 通解 . 又如差分方程 雖然它含有三 為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性 , 往 往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài) , 對差分方程附加一 定條件 , 稱之為初始條件 . 當通解中所有任意常數(shù)被初始條件確定后 , 這個解 稱為差分方程的特解 .

6、為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律 三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu) 為以后幾節(jié)討論的需要 , 這里將給出常系數(shù)線性差 分方程的解的結(jié)構(gòu)定理 . n 階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為(1) 其中 為常數(shù) , 且 為已知 函數(shù) . 當 f ( x ) 0 時 , 差分方程 (1) 稱為齊次的 ; 當 f ( x ) 0 時 , 差分方程 (1) 稱為非齊次的 . 若 (1) 是 n 階常系數(shù)非齊次線性差分方程 , 則其所對 應(yīng)的 n 階常系數(shù)齊次線性差分方程為 三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu) (2) 關(guān)于 n 階常系數(shù)線性差分方程 (2) 的解有如下一些 結(jié)論 : 定理 1 若函數(shù) 都是常系數(shù)

7、齊次線性差分方程 (2) 的解 , 則它們的線性 組合 也是方程 (2) 的解 , 其中 為常數(shù) . (2) 關(guān)于 n 階常系數(shù)線性差分方程 定理 2 若函數(shù) 是 n 階常系數(shù)齊次線性差分方程 (2) 的 n 個線性無關(guān) 的解 , 則 就是方程 (2) 的通解 (其中 為常數(shù)) . 由此定理可知 ; 要求出 n 階常系數(shù)齊次線性差分方 程 (2) 的通解 , 只需求出其 n 個線性無關(guān)的特解 . 該定理稱為常系數(shù)齊次線性差分方程的通解的結(jié)構(gòu) 定理 . 定理 2 若函數(shù) 定理3 若 是非齊次方程 (1) 的一個特解 , 是它 對應(yīng)的齊次方程(2)的通解 , 則非齊次方程(1)的通解為 該定理告訴我們 , 要求非齊次方程 (1) 的通解 , 可先 求對應(yīng)的齊次方程 (2) 的通解 , 再找非齊