《二項式定理》教學(xué)設(shè)計

1、二項式定理教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標1、知識與技能(1)能利用組合原理證明二項式定理；(2)理解并掌握二項式定理，并能簡單應(yīng)用。2、過程與方法：通過學(xué)生參與和探究二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分 析、概括的能力，以及化歸的意識與知識延伸的能力，體會從特殊到一 般的思維方式，并形成從特殊到一般的聯(lián)系，然后證明，再應(yīng)用的思想 意識。3、情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生探究意識，合作精神，體驗二項式定理的創(chuàng)立到完善的 歷程，體會數(shù)學(xué)語言的簡潔和嚴謹，感受中國輝煌的數(shù)學(xué)史。二、教學(xué)重點、難點重點：探究并歸納用組合的知識分析(+勿3、(。十份4的展開式的形 成過程，并依次方法得到二項式定理難點：展開式中項的類

2、型的總結(jié)和項的系數(shù)確實定三、教學(xué)方法和教具：為了突出重點，突破難點，采取了轉(zhuǎn)化的思想，將二項式展開過程轉(zhuǎn) 化到熟悉的從袋中取球問題；啟發(fā)引導(dǎo)解決問題；并采取分組合作探究 的形式分析解決問題，采用多媒體教學(xué)手段，形象演示取球過程。四、教學(xué)過程：（一）創(chuàng)設(shè)情景引入課題1、在課前任務(wù)單的基礎(chǔ)上繼續(xù)設(shè)問，（+。）5、（。+與6、m+份.能用多項 式乘法法那么展開嗎？回答是肯定的，只不過隨著次數(shù)的增大，運算量也 在增大，激發(fā)學(xué)生思考，有沒有一個直接展開，便于應(yīng)用的方法？從而 引出二項式定理有這樣的功能?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生體會多項式相乘的法那么有自身的局限性，僅僅掌握 這一法那么是不夠的，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)

3、新的更簡捷的方法的欲望。數(shù)學(xué) 的來源，一是來自數(shù)學(xué)外部現(xiàn)實社會的開展需要；二是來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的 矛盾，即數(shù)學(xué)本身的需要。這個問題將“多項式展開有哪些項”包含其 中，為后面的研究做好鋪墊。2、微視頻展示二項式定理的開展史【設(shè)計意圖】學(xué)生的學(xué)習(xí)遵循“歷史發(fā)生原理”，把二項式定理發(fā)現(xiàn)的 歷史融入新課導(dǎo)入，既能引起學(xué)生的興趣，符合新課程理念，還能提升 課堂品味。創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情景能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生提供良 好的學(xué)習(xí)氣氛。（二）體驗感知探究歸納（1）觀察下面展開式（a + bp = （a + b）（a + b）（a + Z?）=/+3/ + 3砧2+。3把(。+匕)看作放有標著相應(yīng)字母小球的小盒，

4、從每個括號內(nèi)取一個字母 相當(dāng)于從每個小盒內(nèi)取一個小球。思考：每個小盒內(nèi)取一個小球，并為 一組，有哪些類型？從組合的角度分析，取小球的類型就是展開式中項 的類型，每一類的取法種數(shù)就是相應(yīng)項的系數(shù)。得到+ b)3 = Cy + C1a2b + C；ab2 + C3= 6/3 + 3a2b + 3abi + b同樣的思路，用組合的知識，先分析項的規(guī)律，再分析項的系數(shù)，得到 (a + b)4 = (a + b)(a + h)(a + b)(a + b)=/ + 4a% + 6/ + 4ab3 + b4這樣用組合的知識，我們得到了二項式的直接展開方法，把這種方法推 廣到一般?！驹O(shè)計意圖】有特殊到一般的歸

5、納總結(jié)，離不開大量特殊實例的觀察。 只有將大量具體實例進行整體和局部多方面的分析，才能得到接近一般 性規(guī)律的結(jié)論。也只有對得出各種結(jié)論進行整合，才能讓學(xué)生順暢的抓 住展開過程的兩個要點，即項的結(jié)構(gòu)和項的系數(shù)，才能讓學(xué)生有目的的 進一步進行探討和分析。(三)知識建構(gòu)形成定理利用組合的知識得到了(+與3,(十方)4快速展開的方法，用同樣的理論 分析(a + b)n的展開：個-人-(4 + /?) =(Q+ /?)( + ) 1、項的結(jié)構(gòu)特點問題：展開式中有哪些項？它們是如何得到的？ 根據(jù)特殊情況的分析，學(xué)生表達展開式中項的規(guī)律： 優(yōu),優(yōu)一力,，一2,優(yōu)-7/,.,，并說明從每個因式中取一個字母相乘

6、得到 展開式中的項?！驹O(shè)計意圖】多項式乘法法那么是展開式的運算基礎(chǔ)，用組合的知識解釋 項的構(gòu)成也基于多項式相乘的法那么，讓學(xué)生的思維建立舊知識與新知識 的聯(lián)系，為系數(shù)確實定做好鋪墊。2、項的系數(shù)特點問題：展開式各項的系數(shù)是多少？各項的形成就是一個組合問題，而各項的系數(shù)，就是展開過程中該項出現(xiàn)的個數(shù)。學(xué)生根據(jù)組合的知識回答系數(shù)規(guī)律：【設(shè)計意圖】本節(jié)課的難點就是利用多項式相乘的法那么和組合知識對展 開式中各項進行分析，該問題的提出，符合學(xué)生的思維開展規(guī)律，能準 確地檢驗學(xué)生對問題分析能力和解決方法的掌握，突出表達本節(jié)課的思 維方法。3、二項式定理問題：請寫出（ +勿的展開式（a + by = C”

7、 + C 優(yōu)一% + C；an-2b2 + . + C；優(yōu)一萬 + +G ND說明：（1）此等式就是二項式定理；（2）右邊的展開式叫二項展開式；（3）高中階段只研究乂的情況；（4）等式左邊的q與匕用加號連接?！驹O(shè)計意圖】明確二項式定理的內(nèi)容以及二項展開式的定義。讓學(xué)生了 解二項式定理的知識很廣很深，激發(fā)學(xué)生的好奇心，感興趣的同學(xué)可以 課下延伸知識。二項展開式的特征：（1）展開式共 項；（2）每一項的次數(shù)都是；字母。的次數(shù)由 到，次數(shù)按 排列；字母b的次數(shù)由到，次數(shù)按 排列。（3）端,以。；,.,.：叫做（4） ；能一方叫做二項展開式的，它也是展開式的第（5）定理中的、人可以用任意的數(shù)、字母、代

8、數(shù)式代換?！驹O(shè)計意圖】訓(xùn)練學(xué)生提煉關(guān)鍵知識的能力。多方位多角度思考知識， 訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力。（四）鞏固新知提升能力1、小試牛刀展開（ +/5 =【設(shè)計意圖】通過模仿性的基礎(chǔ)練習(xí)，照顧不同層次的學(xué)生，讓不同層 次的學(xué)生都有體會成功的機會，使學(xué)生始終保持高昂的學(xué)習(xí)熱情。應(yīng)用 所學(xué)知識解決問題，檢測學(xué)習(xí)效果，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識2、典型例題和鞏固練習(xí)例1:二項式（1-2x）5（1）求它的通項（2）求它的第四項（3）求它的第四項的二項式系數(shù)（4）求它的第四項的系數(shù)例2:求（x-）9展開式中含;的項,并說明它是展開式的第幾項？ xx思考：（X-工）9展開式中有常數(shù)項嗎？如果有請求出，如果沒有請說

9、明 X理由。鞏固練習(xí)：1、假設(shè)（p + /的展開式有12項，那么 =；2、（x + ,）4的展開式中第4項的二項式系數(shù)是；系數(shù)是； X3、（x-）4的展開式中第4項的二項式系數(shù)是；系數(shù)是；4、求（2 + ?。?的展開式中含L項。 XX【設(shè)計意圖】通過例題讓學(xué)生熟悉二項展開式及其通項，區(qū)分二項式系 數(shù)和系數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力。 設(shè)計題目考察學(xué)生掌握知識的情況，各個題目設(shè)計的比擬有梯度，采取 小臺階大梯度的訓(xùn)練模式，符合學(xué)生的認知水平。（五）回顧反思歸納總結(jié)知識方s+ C：b：面:二項式與系數(shù)的區(qū)別思想方法：轉(zhuǎn)化的思想，代換的思想，從特殊到一般的思想，類比思想?！驹O(shè)計意圖】小結(jié)通過思維導(dǎo)圖的形式展現(xiàn)知識點，便于學(xué)生歸納總結(jié)所學(xué)知識，幫助學(xué)生形成良好的記憶方法，為學(xué)生理解應(yīng)用知識發(fā)揮作 用，還可以鍛煉學(xué)生的概括能力。加深學(xué)生對本節(jié)課的認識，掌握基本 的思想方法。(六)課下作業(yè)思維延伸開展作業(yè)：課本31頁習(xí)題1-3A6基礎(chǔ)作業(yè)：課本31頁習(xí)題1-3A4拓展作業(yè)：思考三項式系數(shù)與系數(shù)在什么情況下相同？什么情況下不同？(2)網(wǎng)上查閱二項式定理主要用于哪些