分類討論的起因

1、例說數(shù)學(xué)解題中引起分類討論的原因分類討論的數(shù)學(xué)思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，它是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)、 難點(diǎn)，也是歷年來高考的?？?、必考內(nèi)容.搞清引起分類討論的原因，確定分類討論的分 界點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)，是掌握好分類討論這一數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵.本文試就引起分類討論的原因， 通過分析、舉例應(yīng)用進(jìn)行探討，以便從中找到解決分類討論問題的基本方法.1、由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論我們知道數(shù)學(xué)概念都是在一定范圍內(nèi)定義的，這一范圍就是應(yīng)用它的條件，如絕對值、 不等式、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)等概念，都有限制條件，凡是涉及到相關(guān)問題，當(dāng)不能直 接解答時，一般都應(yīng)以所定義的概念來進(jìn)行分類討論，并且討論時要注意概念所受的限制

2、例1、(2005 浙江)已知函數(shù)fx)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且fx)=x2+2x.(I )求函數(shù)g(x)的解析式；解不等式 g(x)2fx) lx II；若h(x)=g(x)九fx) + l在1, 1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)九的取值范圍.解： 解答略g(x)= -x2 + 2x.(II)由g(x) f (x)-1 x-ll可得：2x2-1 x-ll 1時，2x2- x +1 0，此時不等式無解。1當(dāng) x 1 時，2x2 -x +1 0-1 x 2 1因此，原不等式的解集為-1, 2 (III) h(x) = -(1+X)x2 + 2(1九)x +1.因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)帶有參數(shù)九，故需對九的取值進(jìn)

3、行討論。 當(dāng)九=一1時，h(x) = 4x +1在-1,1上是增函數(shù)，.九=一1當(dāng)九H1時，對稱軸的方程為當(dāng)九H1時，對稱軸的方程為x =1-九1 +九(i)當(dāng)九-1時,1-九1 +九-1，解得九-1時，后1時，解得-1 八0綜上,九l,解關(guān)于x的不等式；f (x) st x2 (k +1)x + k(2)不等式即為,可化為 0.此時，由于參數(shù)K的取值沒有具體確定，故需對它進(jìn)行分類討論。當(dāng) 1 k 0解集為x g (1,2) u (2,+8);當(dāng)k 2時,解集為x g (1,2) u (k,+8).3、由函數(shù)的性質(zhì)、相關(guān)定理、公式的限制引起的分類討論函數(shù)的性質(zhì)、相關(guān)定理、公式的運(yùn)用都是有條件的

4、，在不同的條件下有不同的結(jié)論， 或者在一定的限制條件下才成立如等比數(shù)列的求和公式、對數(shù)公式、二次函數(shù)在給定區(qū) 間上的最值問題等.例3、(2006 安徽)在等差數(shù)列a 中，a = 1，前n項(xiàng)和S滿足條件 TOC o 1-5 h z n1nS4n + 2 2S n +1求數(shù)列aJ的通項(xiàng)公式；記b = a pan(p 0)，求數(shù)列b 的前n項(xiàng)和T。n nnn解：(I)(解答略)a = nn(II)由b = a pan，得b = npn。所以T = p + 2p2 + 3p3 + + (n 1)pni + npn，nnnn此時需要根據(jù)P的取值進(jìn)行分類。n + 1當(dāng) p = 1 時，T =；n 2當(dāng) p

5、 豐 1 時，pT = p2 + 2p3 + 3p4 + (n 1)pn + npn+1，n(1一 P)(1一 P)T = p + p2 + p3 HF pn-1 + pn - npn+1np(1- pn)1-p- np n+1n+1亍 p = 1p(1- pn)-npn+1, p 豐 11-p4、由圖形的不確定性引起的分類討論數(shù)學(xué)圖形問題中當(dāng)已知條件不能確定圖形的位置時，在求解或證明的過程中，常需根 據(jù)可能出現(xiàn)的圖形位置進(jìn)行分類討論例4、在直角三角形ABC中，AB = (2,3), AC = (1, k )，求實(shí)數(shù)k的值.分析：由于直角頂點(diǎn)不確定，所以應(yīng)對直角頂點(diǎn)加以討論解：由 AB = (

6、2,3), AC = (1, k )得：BC = (-1, k - 3).當(dāng) ZA = 9Oo 時，AB - AC = 0，得 k = -3 ；當(dāng) ZB = 9Oo 時，AB - BC 二 0，得 k = ” ；當(dāng) ZC = 900 時，3 + J13AC - BC 二 0，得 k 二25、由參數(shù)的變化引起的分類討論某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或者由于不同的參 數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法，如含參數(shù)的方程或不等式、直線的點(diǎn)斜式或斜截式方 程等，這時就需要進(jìn)行分類討論例5、設(shè)k為實(shí)常數(shù)，問方程(8 - k)x2 + (k - 4)y2 = (8 - k) -(k

7、- 4)表示的曲線是何種曲線？解：方程表示何種曲線主要取決于k的取值，可對k分以下三種情形討論：當(dāng)k = 4時，方程變?yōu)? x 2 = 0即x = 0，表示直線；當(dāng)k二8時，方程變?yōu)?y2二0即y二0，表示直線;x 2y2當(dāng)k豐4且豐8時，方程變?yōu)榭?+ 口二1，又有以下五種情形討論:當(dāng)k 4時，方程表示雙曲線;當(dāng)4 k 6時，方程表示橢圓；當(dāng)k 6時，方程表示圓；當(dāng) 6 k 8時，方程表示雙曲線.6、由實(shí)際問題的具體情況引起的分類討論在遇到實(shí)際問題時，常應(yīng)按實(shí)際問題的不同要求，選擇恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法，按要求分成 若干類加以解決，如排列組合問題、概率問題、應(yīng)用問題中常遇到的分類計(jì)數(shù)、分步計(jì)數(shù) 問題

8、例6、某車間有10名工人，其中4人僅會車工，3人僅會鉗工，另外3人車工鉗工都 會，現(xiàn)需選出6人完成一項(xiàng)工作，需車工鉗工各3人，問有多少種選派方案？分析：本題解法較多，可按“僅會車工”、“僅會鉗工”、“車工鉗工都會”等情況分類 來解.本題按“選出的鉗工中所含全能工人的個數(shù)”來分類。解：選出的鉗工中沒有全能工人的選法有C3 - C3種；37選出的鉗工中有1名全能工人的選法有C1 - C2 - C3種；336選出的鉗工中有2名全能工人的選法有C1 - C2 - C3種；335選出的鉗工中有3名全能工人的選法有C3 - C3種.34總共有309種選派方案.引起分類討論的原因是多種多樣的，但無論怎樣，只

9、要我們明確，解決分類討論問題 的要害，在于根據(jù)問題的實(shí)質(zhì)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)確立合理了分類才能做到不重復(fù)、不 遺漏熟練掌握基礎(chǔ)知識，做到融會貫通，是解決分類討論問題的前提條件樹立和運(yùn)用 分類討論的數(shù)學(xué)思想，恰當(dāng)分類、逐步討論，是解決分類討論問題的基本模式只要我們 不斷地積累方法、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，克服分類討論中的思想上的主觀性、盲目性和畏懼心理， 樹立分類討論的意識，就一定能掌握好數(shù)學(xué)解題中分類討論思想方法的運(yùn)用.由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：如絕對值定義、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等等；由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如偶次方根非負(fù)、對數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)的要求、不等式兩邊同乘以實(shí)數(shù)對不等號方向的影響等等；由函數(shù)的性質(zhì)、