基于集對分析下的粗糙集理論模型研究論文

1、基于集對分析的粗糙集理論模型研究摘要：粗糙集理論是處理模糊和不確定知識的一種新的數(shù)學工具。其主要思想是在保持分類能力不變的前提下，通過知識約簡推導出問題的決策分析或分類規(guī)則。用集合對分析理論的方法建立概率粗糙集理論模型是研究粗糙集模型的一種新方法，為處理不確定信息提供了一種新的途徑和方法。本文采用概率粗糙集模型，然后介紹了集對分析理論，將兩者結(jié)合起來，提出了一種新的集對分析下的粗糙集模型，并對模型的一些性質(zhì)進行了討論和研究。關(guān)鍵詞：集合對，基對分析，粗糙集，概率粗糙集一。引入集合對分析的概念1.集合對概念集合對是由以某種方式相關(guān)的兩個集合組成的基本單元。由于數(shù)學中指定集合的元素可以是人、事、物

2、、數(shù)和概念，例如：評價標準和評價對象、設(shè)計要求和對象、目標和現(xiàn)狀、狀態(tài)和趨勢、現(xiàn)在和未來、已知與未知，確定與不確定，線性與非線性，簡單與復雜，時間與空間，與兩個學生，一對戀人，師生，領(lǐng)導與群眾，工農(nóng)，商人與醫(yī)生，官員與公民，與生存與發(fā)展、投資與回報、改革與創(chuàng)新、規(guī)劃與市場、與日地、月與星、火箭與飛船、物質(zhì)與能源、信息與智能、機器與知識、科技、與積極和負數(shù)、實數(shù)和虛數(shù)、2 個數(shù)、2 條線、2 個圖形、2 個方程、2 個函數(shù)，以及函數(shù)和圖形、圖形和方程、精確和近似解東西方、南北、好與壞、勝敗、進退、盈虧、虛實等等，都可以看作是一定條件下的套對的例子。其實套對也是一種自然現(xiàn)象，比如我們的2只眼睛、2

3、只耳朵、2個鼻孔、2只手、2條腿，都可以看作是套對的例子。從數(shù)學的角度來看，集合的引入對于這個概念是必要的，并且可以為解決集合論中的悖論提供一種新的思維方式。例如，在集合論中有一個羅素悖論，也稱為理發(fā)師悖論，這意味著村上有個理發(fā)師發(fā)布了一條服務(wù)公告，聲稱他為所有不自己剪頭發(fā)的人剪頭發(fā).根據(jù)集合論，這些人可以形成集合A ，但這引出了一個問題，理發(fā)師自己的頭應(yīng)該由誰來剪？如果他不剪自己的頭發(fā)，那么理發(fā)師屬于A ，但是在這種情況下，理發(fā)師不能剪自己的頭發(fā)，也就是不屬于A ，那么，理發(fā)師的頭發(fā)應(yīng)該由誰剪呢？上述理發(fā)悖論是英國數(shù)學家、哲學家羅素（ Bertrand Russell， 1872-1970）

4、在1903年發(fā)現(xiàn)的，因此也被稱為羅素悖論。（ Georg Cantor ，1845-1918）提出的集合論存在矛盾。這個矛盾是如此明顯，以至于在構(gòu)造一個普通集合時就存在于這個集合中，它震動了當時的數(shù)學界。正如法國著名數(shù)學家龐加萊（ Henri Poincare， 1854-1912）坦言，“我們圍著一群羊，但一只狼也可能被一群羊圍著”。借助集合對的概念，我們用一個確定的集合A和一個不確定的集合B來描述理發(fā)師想要同時服務(wù)的所有對象。例如，假設(shè) Murakami 有100 人，包括理發(fā)師，這是我們的研究對象。其中，不能自己剪頭發(fā)的有99人。確定屬于理發(fā)師服務(wù)區(qū)（ A = 99 ） ；屬于理發(fā)師的服

5、務(wù)區(qū)（ B =1） ，所以得到連接數(shù)A + Bi =99 + 1i 。這個連接數(shù)的集合對的含義顯然是關(guān)于“所有不剪頭發(fā)的人”的對象集合O。兩個映射集A O （確定集）和B O （不確定集）的基數(shù)的“連接和” 。學習（描述和分析）某事所必需的2 套。反過來也表明，即使是一個簡單的對象（事物）也應(yīng)該由至少2 個集合來描述。例如，將某所學校的所有教師組成一個集合A似乎是一件簡單的事，但有些教師也是學生（如博士生），具有雙重身份。在這種情況下，只給一個老師設(shè)置A 比較困難，同時給一個學生設(shè)置 B 比較容易，因為雖然把在職教師放在B ，但是我們可以用AB 來表示有些人既是老師又是學生，但是這里的AB指的

6、是同一個對象，所以將 A 和 B 組合成一個集合對更自然。從這個例子可以看出，組成集合對的兩個集合既可以是定集，也可以是不定集；或者兩個集合都可以是定集合，或者兩個集合都可以是不定集合。集合對一般用大寫字母表示，如H、M等。為表示集合對H由集合A和集合B組成，記為H=(A,B) ；此外，集合對也有幾何表示，比如用一個角度來表示集合對等等。以上主要參考資料集合對是集合對分析和關(guān)系數(shù)學中最基本的概念。2. 基對分析的概念2.1 簡介集合對分析（SPA）由中國學者克勤于1989年正式提出，是用來研究兩個集合之間關(guān)系的理論。用于分析和處理的確定性不確定性系統(tǒng)。在這個確定性的不確定性系統(tǒng)中，確定性和不確

7、定性是相互關(guān)聯(lián)的，相互影響，相互制約，在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。不確定性，從而將對不確定性的辯證理解轉(zhuǎn)化為數(shù)學工具。對集合對理論的初步研究表明，隨機不確定性和模糊不確定性等不確定性問題可用于對集合對理論的新研究，具有重要的理論意義和廣闊的應(yīng)用前景。確定和表達連接程度聯(lián)結(jié)度也常被稱為同、差、逆或不定的聯(lián)結(jié)度的表達，一般按以下思路確定。假設(shè)我們根據(jù)問題W的需要分析由集合 A和集合B 組成的集合對 H ，得到一共N個特征，其中S由集合對中的兩個集合共享，這兩個集合在另一個集合中。 P個特征是相互對立的，剩下的F =NSP個特征既不對立也不相同，所以在忽略各個特征權(quán)重的情況下，這個值稱為：S/N為問題W下

8、集合A和集合B的同一度，縮寫為同一度，縮寫為a；F/N為問題W下集合A與集合B的差異度，簡稱差異度，簡寫為b；P/N是問題W下集合A和集合B的對立程度，簡稱對立程度，簡稱c。由于同一程度、差異程度、對立程度從不同側(cè)面描述了兩組之間的關(guān)系，為了全面描述兩組之間的整體關(guān)系，公式(2-1)表達。式（2-1）中的i為差分系數(shù)，在-1, 1區(qū)間內(nèi)取不同的值（有時i只起到標記的作用），式（2-1）中的j )是對立度的系數(shù)，指定為一個常數(shù)值-1 （有時j只起標記的作用），式（2-1）中的那個稱為連接度，在general表示等式右邊的公式，特別是case是一個數(shù)值，稱為聯(lián)系號碼。通常，為簡單起見，式（2-1）

9、簡寫為：其中， a、b、c中的三個滿足歸一化條件a+b+c=1。2.3 集合對分析的特點初步研究表明，集合對分析具有以下特點：全面性。在具體問題的背景下，集合對分析不僅分析了兩個集合（或系統(tǒng)）的同一性，還分析了兩個集合（或系統(tǒng)）的對立和差異。正因為如此，集合對分析通常被稱為同差反分析方法。當然，這里的前提是對集合對（或系統(tǒng)）性質(zhì)的分析必須充分展開。分析必須全面。定性與定量相結(jié)合。這主要是指集合對分析不僅需要對具體分析得到的特征進行分析、判斷和分類，這兩個集合是否相同、相反或不同，還要定量描述相似程度，差異和對立面。根據(jù)異同程度，對若干集合所代表的系統(tǒng)進行定性判斷。在此期間，會推導和分析某些數(shù)學

10、運算。它是分析方法的綜合集成。根據(jù)集合對的定義，集合對的具體內(nèi)容可以是多種多樣的，針對不同的問題背景，其具體分析方法可以是物理的、化學的、數(shù)學的、系統(tǒng)的、經(jīng)驗的等。集合對分析對異同和反面的分析和表征是在這些具體分析的基礎(chǔ)上進行的再分析，所以從方法論的角度來看，集合對分析是一種綜合的、綜合的分析方法。將確定性分析和不確定性分析有機地結(jié)合起來。在集合對分析中，兩個集合的同一性分析和同一性表征是比較確定的，相反的分析和相反的表征是比較確定的，但是兩個集合的差異分析和差異表征是比較不確定的 是的，還是可以的進一步分析是相同還是相反。之所以這樣處理，一方面是差異是客觀事物相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的普遍形式，是客觀

11、存在的中介和超越；可能是徹底的反思。集對分析將確定性分析的結(jié)果和不確定性分析的結(jié)果統(tǒng)一為同-相似-逆聯(lián)系度表達式，便于人們對實際系統(tǒng)進行辯證、定量、完整的分析研究。應(yīng)用范圍廣。集對分析可直接用于系統(tǒng)的宏觀分析，也可用于系統(tǒng)的微觀分析；適用于簡單系統(tǒng)的分析，也適用于復雜系統(tǒng)的分析等。下面，我們主要站在數(shù)學的角度，來看看集合對分析在數(shù)學中的深入理論和應(yīng)用研究。集合與分析和模糊數(shù)學密切相關(guān)，但在基本概念、研究方法和實際應(yīng)用方面存在明顯差異。首先，隸屬度是模糊數(shù)學的基石。在模糊數(shù)學中，確定元素是否屬于指定集合的規(guī)則并不是嚴格唯一的。在集合對分析中，考慮了兩個集合之間的關(guān)系問題。元素與指定集合的隸屬關(guān)系

12、只是一種特殊情況。似乎只有聯(lián)系度表達中的同一度，才能等同于模糊數(shù)學中的隸屬度。 ，但兩組同一度的計算規(guī)則是唯一的。當我們在特定問題背景下充分分析集合對中兩個集合的特征時，這兩個集合的同一性程度是唯一的。好的。其次，從集合對分析的角度，模糊數(shù)學從同一性的角度研究和衡量事物之間的關(guān)系，原則上不超越傳統(tǒng)數(shù)學的思維領(lǐng)域；集合對分析是從同一性、差異性、對立性三個方面來研究和描述事物之間的聯(lián)系。差異程度和對立程度對同一程度可以起到“得”或“罰”的作用，反映了兩組的相異和對立關(guān)系的相互影響，而模糊數(shù)學中的隸屬關(guān)系顯然，上述情況是不存在的。第三，模糊數(shù)學主要研究系統(tǒng)的異同程度，而集對分析則主要研究系統(tǒng)的變換。

13、集合對分析的上述特點決定了這種系統(tǒng)的分析方法在自然科學和社會科學的各個方面都具有重要的應(yīng)用價值?？傊?，集合對分析是分析方法的綜合集成。集合對的具體內(nèi)容可以是多種多樣的。針對不同的問題背景，具體的分析方法可以是物理的、化學的、數(shù)學的、系統(tǒng)的、經(jīng)驗的等，集合分析的異同、表征是基于這些具體分析的再分析；另一方面，他將確定性分析和不確定性分析有機地結(jié)合起來。結(jié)合兩組，兩組的同一性分析和同一性評分相對確定，對立性分析和對立性評分相對確定，但差異分析和差異評分相對不確定?？梢赃M一步分析是相同還是相反。這種分析方法便于人們對實際系統(tǒng)進行辯證、定量、完整的分析研究。二。幾種Rough Set模型介紹2.1 粗

14、超集概念的提出集合（RS）理論是一種描述不完備性和不確定性的數(shù)學工具。知識，揭示基本規(guī)律。 RS理論由波蘭學者Pawlak Z于1982年提出。 1991年Z Pawlak的專著 Rough Set-Theoretical Aspects of Reasoning about Data的出版標志著粗糙集理論及其應(yīng)用研究的活躍時期。 1992年至今，每年舉辦一次RS國際會議，促進了RS理論的拓展和應(yīng)用。國際上成立了粗糙集學術(shù)研究會，參與成員來自波蘭、美國、加拿大、日本、挪威、俄羅斯、烏克蘭和印度等國。1995年ACM通訊將粗糙集列為新興研究計算機科學課題，涌現(xiàn)了大量關(guān)于粗糙集及其應(yīng)用的學術(shù)論文和

15、研究報告；集合論研究的特刊。由于粗糙集理論在機器學習、決策分析、過程控制、模式識別和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域的成功應(yīng)用，獲得了強大的生命力。粗糙集理論基于分類機制，將分類理解為特定空間內(nèi)的等價關(guān)系，等價關(guān)系構(gòu)成了空間的劃分。粗略和理論上將知識理解為數(shù)據(jù)的劃分，每個劃分的集合稱為一個概念。粗糙集理論的主要思想是利用已知知識庫中的知識來描述不精確或不確定的知識。該理論與其他處理不確定和不精確問題的理論最顯著的區(qū)別在于它不需要提供任何超出問題需要處理的數(shù)據(jù)集的先驗信息，因此對問題不確定性的描述或處理可以說是相對客觀的，由于該理論沒有包括處理不精確或不確定的原始數(shù)據(jù)的機制，因此該理論與其他處理不確定或不精確問題

16、的理論如概率論、模糊數(shù)學、和證據(jù)論性。目前， RS理論已被稱為人工智能領(lǐng)域較新的學術(shù)熱點，引起了越來越多研究者的關(guān)注。粗略的理論模型也不斷擴展并應(yīng)用于更多領(lǐng)域。下面將從粗略和理論模型相關(guān)的幾個主要方面來介紹它的發(fā)展和應(yīng)用。2.2 粗糙集理論的基本概念稱為論域的有限非空集U ， R是U 上的等價關(guān)系族，R將U劃分為不相交的基本等價類的二元對以形成近似空間。設(shè) X 為 U 的子集， a 為 U 中的一個對象， a R表示與 a 不可區(qū)分的所有對象的集合，即由 a 確定的等價類。宇宙U上的任何子集X ，X可能無法被知識庫準確描述，即X可能是一個不可定義的集合，則使用X到A的一對下近似和上近似。將其描

17、述為“大約”，其定義如下：其中是x所在的R等價類。稱為X的R的正場；它是X的 R 的負場；是 X 的R邊界域，顯然： 。 X相對于A的近似精度定義為，其中表示集合X 的基數(shù)。近似精度反映了基于現(xiàn)有知識對 X 的了解程度。 X相對于A的粗糙度定義為反映知識不完備程度的粗糙度。顯然，如果近似精度為 1，則粗糙度為 0。2.3 Pawlak粗糙集模型的推廣Pawlak粗糙集模型一直是粗糙集理論研究的主要方向。主要有兩種方法（1）構(gòu)造方法； (2)代數(shù)(公理)法。(1) 構(gòu)造方法是基于原始的Pawlak粗糙集模型，其主要思想是從給定的近似空間研究粗糙集和近似算子。它以宇宙上的二元關(guān)系或布爾子代數(shù)為基本

18、元素，推導出粗糙集代數(shù)系統(tǒng)(2U,apr,apr) 。該方法研究的問題往往來自于實際，所建立的模型具有很強的應(yīng)用價值，但其主要缺點是不容易深入理解近似算子的代數(shù)結(jié)構(gòu)。經(jīng)典粗糙集模型中包含三個基本元素：域U、U 上的二元等價關(guān)系R （構(gòu)成近似空間）、近似描述的（經(jīng)典）集合X ，也稱為專家概念。由此看來，泛化的形式也有三個方向，即從話語領(lǐng)域、從關(guān)系方向（包括近似空間）和從集合方向。1）目前從語域的擴展主要是兩個語域的情況，此時的二元關(guān)系成為兩個語域的笛卡爾積的一個子集。對于將話語域擴展到多個域的情況，關(guān)于粗糙集理論的文獻很少，隨著維數(shù)的增加，這個討論會變得更加復雜。2）關(guān)系方向的推廣：一種是將全域

19、上的二元等價關(guān)系推廣到任意二元關(guān)系，得到一般關(guān)系下的粗糙集模型；另一種是將對象x的等價類看作是x的一個鄰域，從而推廣和推導基于域算子的粗糙集模型；也有將關(guān)系推導出的除法推廣為一般布爾代數(shù)，由此開始定義粗糙集和近似算子；更一般 有通過將普通關(guān)系摘要為模糊關(guān)系或模糊分區(qū)而獲得的模糊粗糙集模型。3）集合和近似空間的泛化：這一類的泛化是結(jié)合其他處理不確定性、不精確性或模糊性的知識（概率論、模糊數(shù)學、信息論、證據(jù)論等）來研究的。當知識庫中的知識是由于隨機原因或統(tǒng)計而獲得時，即知識庫中的知識很可能是不確定的，很多學者提出了統(tǒng)計（或概率）粗糙集模型，變精度粗糙集模型實際上也可以歸入此類模型，尋求風險最小化的

20、貝葉斯決策問題也可以轉(zhuǎn)化為此類模型。這種類型的模型在用于數(shù)據(jù)分析的增量機器學習中具有重要應(yīng)用。在目前所見的此類模型中，近似空間中的二元關(guān)系大多是等價關(guān)系。章還沒看過。文修等人。提出了基于隨機集的粗糙集模型作為一種嘗試，它不僅是基于域算子的粗糙集模型的擴展，而且適用于二元宇宙的情況，也是統(tǒng)計粗糙集模型的推廣。我們認為在統(tǒng)計粗糙集模型和變精度粗糙集模型中，逼近的本質(zhì)是文修提出的包含度，因此我們認為粗糙集理論和包含度理論是密切相關(guān)的。當知識庫中的知識模塊都是清晰的概念，所描述的概念是模糊概念時，人們建立一個粗略的模糊集模型來解決這類問題的近似推理。在知識庫中的知識模塊也很模糊的情況下，一些學者提出了

21、模糊粗糙集模型并進行了摘要。知識庫中的知識模塊既是模糊知識，又是隨機獲得的，目前討論較少，但在實際問題中肯定存在，值得繼續(xù)研究。隨著近年來對粗糙集理論的深入研究，經(jīng)典的粗糙逼近算子得到了廣泛的推廣，主要是與其他不確定性概念或其他知識發(fā)現(xiàn)方法相結(jié)合，尤其是與模糊系統(tǒng)結(jié)合使用。接觸仍然是研究的熱點，這方面的成果也是最多的；另一方面，對不完備信息系統(tǒng)粗糙集模型的研究主要是對容差關(guān)系和相似關(guān)系的討論；集合的泛化和泛化也是研究的主流。這方面的工作就是讓粗糙集理論深入到實際問題的解決中，或者更多的領(lǐng)域。結(jié)合粗糙集理論找到交點，從而擴大粗糙集的應(yīng)用。(2) 代數(shù)法又稱公理法，有時也稱為算子法。該方法不以二元

22、關(guān)系為基本元素，但其基本元素是一對滿足某些公理的一元（集合）逼近算子。 L ,H: 2 U 2U ，即預先給出了粗代數(shù)系統(tǒng)(2U ,L,H)中的近似算子。這種方法的明顯優(yōu)點是可以深入理解近似算子，子子代數(shù)結(jié)構(gòu)的缺點是適用性不夠強。近似算子的某些公理保證了某些特殊類型的二元關(guān)系的存在，使它們能夠通過構(gòu)造方法產(chǎn)生給定的算子；反過來，通過構(gòu)造方法從二元關(guān)系導出的近似算子必須滿足某些公理，以便這些公理通過代數(shù)方法生成給定的二元關(guān)系。公理化方法的研究最初局限于Pawlak粗糙代數(shù)系統(tǒng)，即公理與二元等價關(guān)系的對應(yīng)情況，后來逐漸發(fā)展到一般關(guān)系下的粗糙集系統(tǒng)。迄今為止，粗糙集理論對公理化方法的研究大多局限于經(jīng)

23、典集的情況，雖然也有關(guān)于模糊集的情況的討論，但很少。2.4 模糊粗糙集模型在Pawlak 粗糙集模型中，宇宙U上的任何經(jīng)典集合A都可能無法被知識庫(U, R)中的知識準確描述。近似來形容。但在現(xiàn)實生活中，人們所涉及的知識或概念往往是模糊和不確定的，即A是U上的一個模糊集?，F(xiàn)在的問題是：如何用(U,R)中的知識來描述A ？針對此類問題提出了模糊粗糙集模型。令(U,R)為Pawlak逼近空間，即R是論域U上的等價關(guān)系。如果A是U上的模糊集，則A的一對下逼近和上逼近關(guān)于(U, R)定義為 U 上的一對模糊集，它們的隸屬函數(shù)分別定義為其中 是關(guān)系R下元素的等價類。如果，則稱A為可定義的，否則稱A為模糊

24、粗糙集（Fuzzy rough set） 。稱為A 關(guān)于 (U, R)的正場，稱為A關(guān)于(U, R)的負場，稱為A的邊界。以后如果關(guān)系R比較清晰，我們就省略下標R。我們知道Pawlak逼近空間(U,R)中同一等價類的兩個對象是不可區(qū)分的。從上面的定義中，我們可以看出和 中的同一個等價類的隸屬函數(shù)是常數(shù)，這很直觀?？梢岳斫鉃閷ο蟠_定屬于模糊集A的隸屬度；可以理解為模糊集A的隸屬度?？梢则炞C，當A是U上的經(jīng)典集時，和退化為Pawlak意義下A相對于(U, R)的下近似和上近似，所以定義是Pawlak中的廣義形式感覺。定義 1 給出的上近似滿足以下（對偶）性質(zhì)：(1) 。(2)(3)(4)(5)(6

25、)(7) 如果，則，并且。, A 和 B 是 U 上的模糊集，并且 A 和 B 被認為在模糊術(shù)語中大致等價。如果記錄為;如果和，則稱 A 和 B 是模糊和粗略相等的，記為。不難看出，對于 U 上的等價關(guān)系 R， ， ， ，都是U上的等價關(guān)系。 以后， 對于，和，我們都指在一定的等價關(guān)系 R 下。定理2 假設(shè)(U,R)是一個近似空間，則以下性質(zhì)成立：(1)當且僅當, 且.(2)當且僅當和。(3) 如果, 并且, 那么(4) 如果, 并且, 那么(5) 如果, 并且, 那么(6) 如果, 并且, 那么(7) 如果, 或, 那么(8) 如果或，則(9)當且僅當。(10)當且僅當定理 3 設(shè) (U,

26、R) 是一個近似空間， ，則(1)(2)三。概率粗糙集模型3.1 概率粗糙集模型的提出概率作為隨機事件的量度，反映了不確定性，因此在不確定性推理中有著重要的應(yīng)用。它從一開始就有兩種理解：一種理解為信任程度，它反映了人們的經(jīng)驗和知識，通常稱為主觀概率；另一種理解為大量重復實驗中隨機事件的相對概率。頻率，通常稱為客觀概率。即使是主觀概率也能反映或符合一定的統(tǒng)計規(guī)律，也是客觀的。因此，我們可以認為概率是不確定隨機事件的客觀反映。 Pawlak粗糙集模型基于確定性知識，即其近似空間是完全確定性的，因此忽略了可用信息和可能的統(tǒng)計信息的不完整性。如果我們?nèi)匀皇褂肞awlak粗糙集模型來處理隨機生成的知識庫

27、的數(shù)據(jù)分析等問題，并不能完全反映問題的本質(zhì)。后來，概率粗糙集模型被提出，為用粗糙集理論研究不確定信息系統(tǒng)提供了一條可行的途徑。3.2 概率粗糙集模型的定義定義3.2.1設(shè)U為由有限對象組成的宇宙域， R為 U 上的等價關(guān)系，由它構(gòu)成的等價類為 U/R = ， X的等價類仍記為X ，設(shè)P定義在由U的子集類組成的代數(shù)上的概率測度，三元組稱為概率逼近空間。 U 中的每個子集稱為一個概念，它代表一個隨機事件。 P(X|Y)表示事件 Y 發(fā)生時 X發(fā)生的條件概率，也可以解釋為在概念Y的描述下，一個隨機選擇的對象屬于 X 的概率。讓, 對于任何, 我們根據(jù)參數(shù)概率 (I) 類型逼近和逼近來定義關(guān)于概率逼近

28、空間的X : ,X相對于參數(shù)的概率(I)型正場、邊界和負場分別為顯然， X根據(jù)參數(shù)構(gòu)成了關(guān)于概率(I)型正場、邊界和負場的話語宇宙U的劃分。顯然，在那個時候，或者在那個時候， X是關(guān)于參數(shù)的概率（I）型粗糙集。關(guān)于參數(shù)的X的概率(I)粗糙集是Pawlaw的廣義形式。這個粗糙集模型使用條件概率來定義一個概率粗略逼近算子，它取決于兩個參數(shù)。3.3 概率粗糙集模型的性質(zhì)學者們對概率粗糙集模型進行了許多廣泛的研究，總結(jié)了許多性質(zhì)。定理3.3.1假設(shè)概率（I）型逼近算子滿足以下性質(zhì)：(1)(2)(3)(4)(5)(6) 如果那么(7) 如果由定理可知， (I)粗糙集的正場隨著de的減小而增大，負場隨著d

29、e的增大而增大，同時邊界收縮。定理3.3.2假設(shè)對于任何(1)(2)定理3.3.3_ _可以看出，隨著 (to )逐漸增大，(to )逐漸減小，邊界逐漸縮小成為。定理3.3.4假設(shè)對于任何(1)(2)如果，則根據(jù)參數(shù)的粗糙度和近似精度分別定義為看到X 是關(guān)于概率逼近空間的參數(shù)定義當且僅當其逼近精度為 1 且其粗糙度為 0。定義3.3.2設(shè)U為有限宇宙， R為U上的二元等價關(guān)系， P為定義在由U個子集類組成的代數(shù)上的概率測度，三元有序群仍稱為概率逼近空間。對于然后根據(jù)參數(shù)的近似空間X的概率（II）類型下近似和上近似被定義為如果 ，則稱 X 是關(guān)于根據(jù)參數(shù)的近似空間可定義的概率（II）型，否則稱

30、X 是概率（II）型不可定義或概率（II）型粗糙集。對于參數(shù)概率（II），粗糙集可以分為以下四類：(1) 如果說 X 是部分可定義的。(2) 如果說 X 是部分可定義的。(3) 如果說 X 是外部可定義的。(4) 如果說 X 是完全不可定義的。X的概率(II)型正場、負場和邊界取決于參數(shù)相對于近似空間定義為X分別根據(jù)參數(shù)粗糙度和近似精度定義為從以上兩個定義可以看出(II)的參數(shù)和概率粗略逼近算子的以下雙重性質(zhì)：3.3.5(1)(2)(3)(4)(5)(6) 如果那么(7) 如果注：取時間時，此時得到的粗略邊界為絕對邊界，即定理3.3.6假設(shè)對于任何(1)(2)定理3.3.7_ _定理3.3.8

31、假設(shè)對于任何(1)(2)四集對分析下的概率粗糙集模型4.1 集對分析下的概率（二）粗糙集模型工作定義了一個概率粗糙集模型。該模型使用條件概率來定義概率粗略逼近算子。這個近似算子取決于兩個參數(shù)。用于從一側(cè)定義近似值，用于定義近似值。但是在實際應(yīng)用中，往往需要觸及到這樣一個問題：參數(shù)的選擇或者使用是為了盡可能的有利于問題的求解或者優(yōu)化，所以這個粗近似算子的定義是太嚴格。下面將另一種處理不完備系統(tǒng)的方法結(jié)合到這個逼近算子中，使粗糙集模型中的參數(shù)可以得到更精細的利用，從而使信息庫中的不完備信息得到更多的利用。概率粗糙集模型在實際問題中的應(yīng)用更加完善。定義4.1.1令(U, A)是一個不完全信息系統(tǒng)，其

32、中U是一個非空的話語域， A是一個非空的有限屬性集。將 x 的字段定義為：這里注意：表示屬性集D下所有與x類似的對象。特別是 when被縮寫為一個叫做 x 的字段。定義4.1.2集是一個信息系統(tǒng)，P是在U的子集類形成的代數(shù)上定義的概率測度，定義集對分析下概率(I)型粗糙集模型的下近似和上近似如下：如果 ，則稱 X 是關(guān)于根據(jù)參數(shù)的近似空間可定義的概率（II）型，否則稱X是概率（II）型不可定義或概率（II）型粗糙集。對于參數(shù)概率（II），粗糙集可以分為以下四類：(1) 如果說 X 是部分可定義的。(2) 如果說 X 是部分可定義的。(3) 如果說 X 是外部可定義的。(4) 如果說 X 是完全

33、不可定義的。X在概率逼近空間上的概率(II)型正域、負域和邊界定義為X分別根據(jù)參數(shù)粗糙度和近似精度定義為從以上兩個定義可以看出五。集對分析中概率(II)粗糙集模型的性質(zhì)接下來考慮基于集合對分析的概率粗糙集模型與Pawlak經(jīng)典粗糙集模型的關(guān)系，以及文獻中的粗糙集模型假設(shè)定理 5.1 是一個信息系統(tǒng)。對于，若表示Pawlak上下近似，則表示域集對的上下近似，表示概率（II）粗糙集模型的上下近似，表示上、下近似根據(jù)參數(shù)域的類型的近似值。下一個近似值，然后：(1) 當時，(2) 什么時候是一個完整的信息系統(tǒng)，什么時候，(3) 什么時候是一個完整的信息系統(tǒng)，什么時候，證明：這里只給出下近似的證明，上近

34、似類似。(1)因此，當時文獻15的結(jié)論可以得到證明；(2) 什么時候是一個完整的信息系統(tǒng)，什么時候，可以從文獻中得出結(jié)論：這轉(zhuǎn)化為一個概率粗糙集模型；(3) 什么時候是一個完整的信息系統(tǒng)，什么時候，可以從(2)中得到：這轉(zhuǎn)化為一個經(jīng)典的粗糙集模型。該定理表明，基于集合對分析的概率（II）粗糙集模型確實是Pawlak的經(jīng)典粗糙集模型，也是文獻中粗糙集模型的推廣。和概率粗略逼近算子具有以下雙重性質(zhì)：(1)(2)(3)(4)(5)(6) 如果那么(7) 如果證明：上述性質(zhì)可以用定義證明。下面我們給出下近似的相關(guān)性質(zhì)的證明，與上近似類似。有不平等。(1) 假設(shè)使得。這與已知的相矛盾，因此與結(jié)果相矛盾。

35、(2)(3)因此，同樣可以證明。(4)和，因此，同時因此。(5)或者, 所以并且同時因此。(6) 因為有所以，所以， 。(7) ,可由 , 得到,因此,證明完成。定理 5.3 假設(shè)對于任何(1)(2)證明： (1) 當時，根據(jù)我們所知道的定義由定理可知，它隨著的減少而增加，所以有則有，有則矛盾！這意味著，因此，結(jié)論（1）成立(2)可從因此，從單調(diào)遞減的性質(zhì)如果存在，則 for but then , but, ，從定理 可知，這是矛盾的！因此，結(jié)論(2)成立。定理 5.4 假設(shè)證明：顯然， ，且當單調(diào)遞減趨于單調(diào)遞增時，由定理可知，它是單調(diào)遞減的，所以.如果，那么對于任何，是的，但是。因此，由定

36、理，由定理，所以我們得到，這與假設(shè)相矛盾！定理被證明。定理 5.5 假設(shè)對于任何(1)(2)證明：（1）此時，定理所知道的和定理所知道的隨著de的增加而減少，所以如果它存在，那么對于任何有，但是，即，這是矛盾的，因為，它意味著，因此，結(jié)論（1）成立。(2)由和定理可知，因此由單調(diào)遞減的關(guān)系可知，如果存在，但對于，則，從定理，這是矛盾的！因此，結(jié)論(2)成立。六，結(jié)論粗糙集理論是一種用于表征數(shù)據(jù)挖掘中的不完整性和不確定性的數(shù)學工具。風險預測等諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。不完全信息系統(tǒng)的擴展方法也很多，如基于容差關(guān)系的擴展、基于相似關(guān)系的擴展等。本文引入了集對分析的概念，提出了一種基于集對分析的概率粗糙

37、集模型，并對經(jīng)典粗糙集模型進行了推廣。本文還有一些問題有待進一步探討和討論。參考1 克勤：集對分析及其初步應(yīng)用M ，科技， 2000 ；2克勤，二進制連接數(shù)的理論基礎(chǔ)和基本算法及其在人工智能中的應(yīng)用J，智能系統(tǒng)學報， 2008，3 ( 6 ) ： 476-486 ；3克勤，接觸數(shù)學原理與應(yīng)用J ，工程學院學報， 2009 （ 2 ）： 107-110 ） 4 Beaubouf T. Petry F, Arora G. 粗糙集和粗糙關(guān)系數(shù)據(jù)庫不確定性的信息論測量。信息科學，1998，109：185-195。 5 Chan C CA 數(shù)據(jù)挖掘中屬性泛化的粗糙集方法。信息科學雜志，1998，107：

38、169-176。6 Lingras PJ, Yao Y Y. 使用粗糙集模型擴展的數(shù)據(jù)挖掘。美國信息科學學會雜志，1998，49（5）：415-422。 7 Mc Sherry D. 通過檢查發(fā)現(xiàn)知識。決策支持系統(tǒng)，1997，21：43-47。 8 文修，吳偉志粗糙集理論介紹與研究綜述。模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2000，14：1-12。9 姚洋，林格拉斯 P. 粗糙集理論中信念函數(shù)的解釋。信息科學，1998，104：81-106。10 Yao YY，Lin T Y. 使用模態(tài)邏輯對粗糙集進行摘要。智能自動化和軟計算，1996，2：103-120。11 吳偉志，張文修。鄰域算子系統(tǒng)和近似。信息科學，20

39、02，144：201-217。12 Yao Y Y. 鄰域算子和粗糙集近似的關(guān)系解釋。信息科學，1998，111：239-259。13 Dubois D, Prade H. 粗糙模糊集和模糊粗糙集。詮釋。 J. General Systems, 1990, 17: 14 Bodjanova S. 決策中模糊概念的近似。模糊集和系統(tǒng)，1997，85：23-29。15 文修，吳偉志基于隨機集的粗糙集模型。交通大學學報, 2000, 34(12): 15-19. 16姚瑩瑩.粗糙集理論的構(gòu)造和代數(shù)方法。信息科學，1998，109：21-47。17 文修，吳志偉，梁繼業(yè)，德玉。粗糙集理論與方法。 :

40、科學，200118 黃兵，鐘斌，周獻忠。改進的集對粗糙集模型。計算機工程與應(yīng)用, 2004, 40(2): 82-8419 富春基于集對分析的變精度粗糙集模型。計算機工程與應(yīng)用, 2005, 41(10): 74-76回答時光荏苒，時光如箭，轉(zhuǎn)眼間，四年的大學生活就要結(jié)束了。很高興借此機會在這里表達我的感激之情。我覺得和學校老師的培養(yǎng)讓我在學習和生活上受益匪淺。在寫這篇論文的過程中，老師給了我很多的幫助和支持，從選題開始，到資料收集，到論文初稿、二稿、終稿。我的論文也凝聚了他的智慧和汗水。老師孜孜不倦地給了我很多寶貴的意見和建議，讓我在完成論文的過程中及時修改和完善，讓我更好地按照要求完成論文

41、。感謝我的同學譚家紅、于海月、王愛萍在平時的學習和生活中給予我的幫助。在大家的支持和監(jiān)督下，我的論文可以比較順利地完成。在此，我要向他們表示誠摯的謝意。最后，我覺得數(shù)學與計算機學院和西北民族大學培養(yǎng)了我四年！畢業(yè)設(shè)計（論文）原創(chuàng)性聲明及使用說明授權(quán)書原創(chuàng)性聲明我再次承諾：我提交的畢業(yè)設(shè)計（論文）是我在導師指導下開展的研究工作和成果。據(jù)我所知，除文中特別注明和注明外，不包含其他人或組織已發(fā)表或發(fā)表的研究成果，也不包含我為獲得學位而使用的材料或 其他 教育 機構(gòu) 的 資格 .對本研究提供幫助和貢獻的個人或集體已在文中明確表達并表達了他們的意圖。作者簽名： 日期：講師簽名： 日期：使用授權(quán)說明本人完全了解學校對畢業(yè)設(shè)計（論文）的收集、保存和使用的規(guī)定，即：按學校要求提交畢業(yè)設(shè)計（論文）的印刷版和電子版；學校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計（論文）的印刷版和電子版。編輯，并提供目錄檢索和閱讀服務(wù)；學?？墒褂糜坝?、小型化、數(shù)碼或其他復制方式保存文件；在不盈利的前提下