線性代數(shù)77.2線性空間的基、坐標(biāo)與維數(shù)

1、7.2 線性空間的基、坐標(biāo)與維數(shù)一、基與維數(shù)二、向量坐標(biāo)三、基變換與坐標(biāo)變換一、基與維數(shù)已知：在中，線性無(wú)關(guān)的向量組最多由 個(gè)向量組成，而任意 個(gè)向量都是線性相關(guān)的問(wèn)題：線性空間的一個(gè)重要特征在線性空間 中，最多能有多少線性無(wú)關(guān)的向量？定義 在線性空間 中，如果存在 個(gè)元素滿足：當(dāng)一個(gè)線性空間 中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量時(shí)，就稱 是無(wú)限維的例1所有二階實(shí)矩陣組成的集合 ，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域 上的一個(gè)線性空間對(duì)于 中的矩陣就構(gòu)成V的一組基。證明: 設(shè)V是n維線性空間，W是V的m維子空間，且 是W的一個(gè)基， 則 可以擴(kuò)充為V的基，即在 基礎(chǔ)上可以添加n-m個(gè)向量 成為V的基。

2、線性空間V的子空間W也有基與維數(shù)的概念，并且有如下基本結(jié)論:定理1定義二、元素在給定基下的坐標(biāo)線性空間 的任一元素在不同的基下所對(duì)的坐標(biāo)一般不同，一個(gè)元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的注意建立坐標(biāo)以后，有V中向量Rn中向量從而更準(zhǔn)確地說(shuō)，有下面定義定義設(shè) 是兩個(gè)線性空間，如果它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng)，那末就稱線性空間 與 同構(gòu). 1. 任一實(shí)n維線性空間與Rn同構(gòu)3同構(gòu)的線性空間之間具有反身性、對(duì)稱性與傳遞性結(jié)論2. 數(shù)域 上任意兩個(gè) 維線性空間都同構(gòu)三、基變換與坐標(biāo)變換那么，同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢？換句話說(shuō)，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)如何改變呢？問(wèn)題：在 維線性空間 中，任意 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可以作為 的一組基對(duì)于不同的基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不同的稱此公式為基變換公式由于記則基變換公式 矩陣 稱為由基 到基 的過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣 是可逆的若兩個(gè)基滿足關(guān)系式二、坐標(biāo)變換公式則有坐標(biāo)變換公式或證明 將基 換為 ，實(shí)際就是將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為仿射坐標(biāo)系，這就是前面所說(shuō)的基變換的幾何背景。 以 為坐標(biāo)軸向量的坐標(biāo)系就是直角坐標(biāo)系，以 為坐標(biāo)軸向量也可以構(gòu)成坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)系稱為仿射坐標(biāo)系