積分不等式的證明方法

1、摘要在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,積分不等式的證明一直是一個(gè)無(wú)論在難度還是技巧性方面都很復(fù)雜的內(nèi)容.對(duì)積分不等式的證明方法進(jìn)行研究不但能夠系統(tǒng)的總結(jié)其證明方法,還可以更好的將初等數(shù)學(xué)的知識(shí)和高等數(shù)學(xué)的結(jié)合起來(lái).并且可以拓寬我們的視野、發(fā)散我們的思維、提高我們的創(chuàng)新能力,因此可以提高我們解決問(wèn)題的效率.本文主要通過(guò)查閱有關(guān)的文獻(xiàn)和資料的方法,對(duì)其中的內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比和分析,并加以推廣和補(bǔ)充,提出自己的觀點(diǎn). 本文首先介紹了兩個(gè)重要的積分不等式并給出了證明,然后分類討論了證明積分不等式的八種方法,即利用函數(shù)的凹凸性、輔助函數(shù)法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用積分的性質(zhì)、利用泰勒公式、利用重積分、利用

2、微分中值定理,最后對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)關(guān)鍵詞：積分不等式,定積分,中值定理,柯西-施瓦茲不等式,單調(diào)性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skillIn this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of ele

3、mentary mathematicsand higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergenciedandinnovationabilitycanbeimproved,soastoimproveourefficiencyofproblem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing relatedcontent,complementi

4、ngandpromotingrelatedcontent.Inthispaper,twoimportant integralinequalitiesalongwiththeirproofmethodsaregivenfirst,andtheneightapproachesto proofintegralinequalitiesareintroduced,suchasconcavityandconvexityoffunction,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theo

5、rem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper issummarizedKeywords:IntegralInequality,DefiniteIntegral,MeanTheorem, Cauchy-SchwarzInequality,Monotonicty引言不等式在數(shù)學(xué)中有著重要的作用,在數(shù)量關(guān)系上,盡管不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加普遍的存在于人們的現(xiàn)實(shí)世界里,然而人們對(duì)于不等式的認(rèn)識(shí)要比方程遲的多.直到 17 世

6、紀(jì)之后,不等式的理論才逐漸的成長(zhǎng)起來(lái),成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分.眾所周知, 不等式理論在數(shù)學(xué)理論中有著重要的地位,它滲透到了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中,因而它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要的內(nèi)容.其中積分不等式更是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的內(nèi)容實(shí)際上關(guān)于定積分的概念起源于求平面圖形的面積和一些其他的實(shí)際問(wèn)題.有關(guān)定積240和的方法計(jì)算過(guò)拋物線弓形和其他圖形的面積.在歷史上,積分觀念的形成要比微分早.然17 Newton-Leibniz 式建立之后,有關(guān)計(jì)算的問(wèn)題得以解決后,定積分才迅速的建立并成長(zhǎng)起來(lái)本論文研究的積分不等式結(jié)合了定積分以及不等式.關(guān)于它的證明向來(lái)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)及難點(diǎn).對(duì)積分不等式的

7、證明方法進(jìn)行研究，并使其系統(tǒng)化，在很大程度上為不同的數(shù)學(xué)分支之間架起了橋梁.深刻的理解及掌握積分不等式的證明方法可以提升我們對(duì)其理論知識(shí)的理解,同時(shí)可以提高我們的創(chuàng)造思維和邏輯思維在論文的第三部分中對(duì)積分不等式的證明方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.分別從利用函數(shù)的凹凸性、輔助函數(shù)法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用泰勒公式、利用重積分、利用微分中值定理、利用定積分的性質(zhì)這八個(gè)方面給出了例題及證明方法.這樣通過(guò)幾道常見的積分不等式的證明題,從不同的角度,用不同的方法研究、分析了積分不等式的特點(diǎn),歸納總結(jié)出了其證明方法.同時(shí)論文中也對(duì)有的題目給出了多種證明方法,這啟示我們對(duì)于同一道積分不等式而言它

8、的證明方法往往不止一種,我們需要根據(jù)實(shí)際情況采用合適的方法去證明,從而達(dá)到將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)的目的幾個(gè)重要的積分不等式在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們遇到過(guò)許多重要的積分不等式,如 Cauchy-Schwarz 不等式,Young 不等式等.它們的形式及證明方法都有很多種,在這一小結(jié)中我們將給出這兩種積分不等式的證明方法Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz 不等式的另一個(gè)重要不等式其形式有在實(shí)數(shù)域中的、微積分中的、概率空間FP中的以及n 4 種形式.接下來(lái)在這一部分中我們將對(duì)其在微積分中的形式進(jìn)行研究定理 2.11 設(shè) f ( x) , g(x) 在a, b上連續(xù),則有a b f

9、(x)g(x)dx 2ab f (x)2dx abg(x)2dxa2證明：要證明原不等式成立,我們只需要證2bbb f 2xdxg2xdxbbf xdx 0 成立2a2a設(shè)F t t f2xdx t g2xdxt f xdx ,則只要證F b F a成立,aat由F t 在a, b上連續(xù),在a, b內(nèi)可導(dǎo),得taFt f2atg2xdxg2t f2xdx2f gf x g xdxaa t f 2 g2 x 2 f g f xg x g 2 f 2 xaaa t2 a f tgxgtf x x0由(2.1)式可知F在a,b上遞增,由ba,知FbFa,故原不等式成立證畢Cauchy-Schwarz

10、 為普遍的輔助函數(shù)法,它將要證明的原積分不等式通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)變?yōu)榱伺袛嗪瘮?shù)在兩個(gè)端點(diǎn)Cauchy-Schwarz 以下行列式的形式bf xf xdxg xf xdxbaabba f xgxxa gxgxbb 0 ,由此我們可以聯(lián)想到是否可以將它進(jìn)行推廣？答案是肯定的.下面我們將給出Cauchy Schwarz 不等式的推廣形式bb2.22 f xg xh x在b上可積,則bbba f xf xba gxf xa hxf xbaf xgxbabaf xhxbagxgxdxbbaagxhxbbaab h x g x dx 0 baah x h x baa證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)t2 t3 ,有b12a t

11、f xt gxt hx2 b12a t b f2t bg2xdxt b h2 xdxbbbbaa2t1t2a f xgxxt3a f xhxxt2t3a gxhxx0注意到關(guān)于t2 t3 從而其系數(shù)矩陣行列式為ab f 2 xabafxgxbabafxhxbagxfxdxbaab g 2 xbaabagxhxbah xf xdxbbaah xg xdx 0 bbaaab h2 xaCauchy-Schwarz 不等式的行列式由二階推廣到了三階的形式,事實(shí)上Cauchy-Schwarz不等式是一個(gè)在很多方面都很重要的不等式,例如在證明不等式,求函數(shù)最值等方面.若能靈活的運(yùn)用它則可以使一些較困難的

12、問(wèn)題得到解決.下面我們會(huì)在第三部Cauchy-Schwarz 不等式及其推廣形式在積分不等式證明中的應(yīng)用除了Cauchy-Schwarz不等式之外還有很多重要的積分不等式,例如不等式,相較Cauchy-Schwarz不等式的了解比較少,實(shí)際上它也具有不同的形式不等式進(jìn)行一些研究Young不等式Y(jié)oung 不等式,以及和它相關(guān)的 Minkowski 不等式,Hlder 不等式,這些都是在現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛的不等式,在調(diào)和函數(shù)、數(shù)學(xué)分析、泛函分析以及偏微分方程中這三個(gè)不等式的身影隨處可見,是使用得最為普遍,最為平凡的知識(shí)工具.下面我們將給出積分形式的 Young 不等式的證明定理 2.33

13、 f (x) 0c（c 0 ） 上連續(xù)且嚴(yán)格遞增, 若 f 0 a c且ab0, f(c,a號(hào)成立0 f(x)xb f 1 (x)dx ab ,其中 f 1 是 f 的反函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)b f (a) 時(shí)等0a證明：引輔助函數(shù)g(a)baf(x)dx,(2.2)把b 0看作參變量,由于g(a) b f (a) ,且 f 嚴(yán)格遞增,于是當(dāng) 0a f1(bg(a0；當(dāng) a f1(bg(a0；當(dāng) a f1(bg(a0 因此 當(dāng)a f1(bg (a取到g的最大值,即ga gx g f1(2.3)由分部積分得11f 1(b)f 1 (b)g(fb)fb)0f(x)x0f (x),作代換 y f (x) ,

14、上面積分變?yōu)閷?2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得g( f 1(b) b f 1(y)dy,(2.4)0ab a f (x)dx b f 1( y)dy b f 1(000即 a f (x)dx b f 1(x)dx ab00定積分不等式常見的證明方法關(guān)于積分不等式的證明方法較為繁多,難度及技巧性也較大,因此對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的歸納總結(jié)是很有必要的在這一部分中我們將歸納出利用輔助函數(shù)、微分中值定理、重要積分不等式及積分中值定理等證明積分不等式的方法利用函數(shù)的凹凸性在數(shù)學(xué)分析以及高等數(shù)學(xué)中,我們常常會(huì)遇到一類特殊的函數(shù)凸函數(shù)凸函數(shù)具有重要的理論研究?jī)r(jià)值和廣泛的實(shí)際應(yīng)用,在有些不等式的證明中,若

15、能靈活地利用凸函數(shù)的性質(zhì)往往能夠簡(jiǎn)潔巧妙的解決問(wèn)題下面給出一個(gè)例子加以說(shuō)明定理 3.1 若t 定義在間隔m, M 內(nèi),且t 0 ,則t 必為下凸函數(shù)3.2 f x在ab上為可積分函數(shù),而m f (x M 在間隔m t M內(nèi)為連續(xù)的下凸函數(shù),則有不等式1b f xdx1bf xdxbbaabaabba例 3.14 設(shè) f x在a,b上連續(xù),且 f x 0 baf xx1f xdxba2 證明: 取u 1 , 因?yàn)閡 1 0,u2 0 , u 0uu2即在u 0 時(shí), y u 為凸函數(shù),故有1b f xdx u31bf xdx，baabaab ab1dxbaa f xbb1a即 bf xdx，故b

16、 af xdxa f xdxa 證畢a在上述的題目中我們可以發(fā)現(xiàn)在證明中常常先利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的凹凸性,然后再利用凹（凸）函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式然而對(duì)于實(shí)際給出的題目,我們往往需要先構(gòu)造一個(gè)凹（凸）函數(shù),然后才能利用其性質(zhì)來(lái)證明我們所要證明的問(wèn)題輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法是積分不等式證明中的一種非常重要的方法,往往我們會(huì)根據(jù)不等式的特點(diǎn),構(gòu)造與問(wèn)題相關(guān)的輔助函數(shù),考慮在相同的區(qū)間上函數(shù)所滿足的條件,從而得出欲證明的結(jié)論在第二部分中我們用輔助函數(shù)法對(duì) Cauchy-Schwarz 不等式進(jìn)行了證明,下面將對(duì)用輔助函數(shù)法證明積分不等式進(jìn)行進(jìn)一步的探討例 3.2.15 設(shè)函數(shù) f x在區(qū)間0,1上連續(xù)且

17、單調(diào)遞減,證明：對(duì)a (0,1) 時(shí),a1有： f xxa0 f(x)x證明：令Fx 1x ft)t0 x,由fx連續(xù),得Fx可導(dǎo)x 0 x則Fxf xx0 f tx2 f x x f xx2 f x f ,x(0 x) 因?yàn)?f ( x) 在0,1 上單調(diào)減少,而0 x ,有 f x f ,從而Ft 0 , F x在(0,1 上單調(diào)減少,則對(duì)任意a (0,1) ,有F(a) F (1) 即 1 a f (x)dx 1 f xdx ,兩邊同乘a 即得af(x)dxaf xdx證畢1a00,001本題根據(jù)積分不等式兩邊上下限的特點(diǎn),在區(qū)間(0,1) 上構(gòu)造了一個(gè)輔助函數(shù),進(jìn)一步我們可以思考對(duì)于一

18、般的情形,該題的結(jié)論是否依然成立呢？答案是肯定的.例 3.2.2 設(shè)函數(shù) f x在區(qū)間0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減非負(fù),證明：對(duì) a, b (0,1) ,且0ab1時(shí),有:a f xdx a b f (x)dx 0ba證明：令Fx 1x ft)t 0 xfx連續(xù),得Fx可導(dǎo), 則x 0 xFxf xx2f f x x f 2 f x f ,(0 x) xxxf (x) 在 0 x f x f Ft 0 F x 在(0,1 上單調(diào)減少,則對(duì)任意0 a b 1,有F (a) F (b) ,即1 a f 1 b f a 0b 0f b f0b f(3.2)a結(jié)合(3.1)式和(3.2)式可得 1 a f

19、x 1 b f x a0ba即 a f a b f x證畢0ba3.2.36 f (x在ab上連續(xù),f x 0 試證：bba f(x)xbb1 dx(ba)2f(x)xax3.1 中我們給出了本題利用函數(shù)的凹凸性證明的過(guò)程,xax證明: 構(gòu)造輔助函數(shù) xf tdtdtf xa2, 則x f x x dtf dt2xa x f xdt x f t dt x2dtxa f txf xa f ta f xax f xf b a f t f x2t 0,bba所以 x是單調(diào)遞增的,即 b a 0 baf xx1f xdxba2證畢例 3.2.47 設(shè) f x在a,b上連續(xù)且單調(diào)增加,證明：b xf x

20、dx a b b f xdx 證明: 原不等式即為a2ab xf xdx a b b f xdx 0 ,構(gòu)造輔助函數(shù)a2aF t xf xdx a t t f xdx , t a, b,a2a則Ft tf t 1 t f xdx a tf 1af t f xdx2a222 1 a f f a,t2a因?yàn)閍 tf x單調(diào)增加,所以Ft0故F在b上單調(diào)遞增,且Fa0, 所以對(duì)x(ab,有Fx F0當(dāng)xbFb0即b xf xdxab b f xdx0,故原不等式成立,證畢a2a通過(guò)以上幾道題目的觀察我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)已知被積函數(shù)連續(xù)時(shí),我們可以把積分的上限或者是下限作為變量,從而構(gòu)造一個(gè)變限積分,然后

21、利用輔助函數(shù)的單調(diào)性加以證明輔助函數(shù)法實(shí)際上是一種將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題的方法在解題時(shí)通常表現(xiàn)為不對(duì)問(wèn)題本身求解而是對(duì)與問(wèn)題相關(guān)的輔助函數(shù)進(jìn)行求解,從而得出原不等式的結(jié)論利用重要積分不等式2 Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推廣形式的證明過(guò)程,實(shí)際上 Cauchy-Schwarz 不等式的應(yīng)用也很廣泛,利用它可以解決一些復(fù)雜不等式的證明.在這一小節(jié)中我們將通過(guò)具體的例子來(lái)加以說(shuō)明它在證明積分不等式中的應(yīng)用3.3.18 f x在f f 0 0 ,1f2 xx 11f2xx0證明：由 f x1可得14 0 x10ftt f 0f x xx1f t dt f 122x 22xx

22、xx002 001f xftdt1 dtf00dt xfx x,(x,2),2121 212121f xx ft1 tx ftt 1x)0 fx,(x,1 ) 1因此 2 f 2 1 1f 2,(3.3)08 01 f2 xdx 11 f2 xdx(3.4)81082將(3.3式和(3.4式相加即可以得到1 f2 xx 11 f2xx證畢ba04 ba2b2bf xgx在b0m f xM,g xdx 0 ,則以下兩個(gè)積分不等式b fxgxdxf2bg2xdxm2a g 2 xdx 及bfxgxdxba2 M m 2 f2aaabg 2 xdx 成立baM m aab證明：取hx1,由bg xd

23、x 0 及定理 2.2 知ab f 2 xdxabaf xgxbabgxfxdxbaab g 2 xbaaf xdxba0baa f x0b aaaabbb2 bb2aaababa因此baf 2xdxg2xdxa f x g2xdxa f xgxdx 0 bfbfxgxdxaaf 2xdxg2xdx1b2bg2 xdxba fbg2 xdxb由mf x可知a f x2ba2 ,b2因而b fxgxdxb2f2xdxbg2xdxm2a g 2 xdx aaaMma M m 2由于0 m f x M ,因此 f x2b化簡(jiǎn)得 f 2 x Mm M m f x,b 22兩邊同時(shí)積分得bf2xdxaM

24、mf xdx ,aaaaa2b f2xdxa b f2xdxaaa于是aa b f 2xdx2M m24Mma f xdx則1b fxdx2bg2xdxb2baa f xbabf2xdxbbg 2 xdxbba aaab f2 xdxaa2 4Mmb f 22 M mbb g 2 xdx a2 M m2 a(3.6)aa由式(3.5)和式aaa f xgxM m f 2 xdxg2xdx證畢Cauchy-Schwarz Cauchy-Schwarz f x與gx,有時(shí)還需對(duì)積分進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃卫梅e分中值定理積分中值定理展現(xiàn)了將積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,或者是將復(fù)雜函數(shù)積分轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)積分的方法.其在

25、應(yīng)用中最重要的作用就是將積分號(hào)去掉或者是將復(fù)雜的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為相比較而言較為簡(jiǎn)單的被積函數(shù),從而使得問(wèn)題能夠簡(jiǎn)化.因此合理的利用積分中值定理能夠有效的簡(jiǎn)化問(wèn)題.下面將通過(guò)兩道例題來(lái)說(shuō)明定理 3.3 （積分第一中值定理） f x) 在ab上可積且 m f (x M bu,M使af(xxuba)成立.特別地,當(dāng) f(x)在a,b上連續(xù),則存在ca,b,使bbaf(x)dxf(cba成立b3.4（積分第一中值定理的推廣） f xgx在區(qū)間f x連gx在上不變號(hào),則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn) ,使得下式成立b f f b aa積分第二中值定理的推廣）f xgx在區(qū)間f x為單調(diào)函數(shù),則在積分區(qū)間上至少

26、存在一個(gè)點(diǎn) ,使得下式成立bbf fagxdx fbgxdx 3.4.1 f x在區(qū)間ab ,且0 a b 1時(shí),有a f xdx a b f (x)dx ,其中 f x 0 0ba3.2.2 可以用積分第一中值定理來(lái)證明,下面我們將給出證明過(guò)程證明：由積分中值定理知a011 f xdx f a , a011,a；b f xx f ba,a, b；a22因?yàn)?2 f xf f ,a22即1 a fxdx1b f xdx 1 b f xdx,a0baaba0故a f xdx a b f x0b3.4.2 f x在上連續(xù)且單調(diào)增加,b xf xdx a b b f xdx a2a同樣地，在之前的證

27、明中我們給出了此題利用輔助函數(shù)法證明的過(guò)程,仔細(xì)分析觀察這道題目我們還可以發(fā)現(xiàn)它可以用積分第一、第二中值定理的推廣形式來(lái)證明,接著我們將給出此題在這兩種方法下的證明過(guò)程證法一baba b abb ab22a xf xdx2a xf xdx 2ab xf xdx 23.4 可知,分別存在 aa b a b b ,1222a b 2222aba b 22a b 使得a x 2 f xdx f 1a x dx ,b x a b f xdx f b x a b dx ,2ab 22bab2ab22 ab 2因此 ax2 f xdx8f f f 單調(diào)增加的, 且012 1,所以有f 2 f 10從而 b

28、x ab f xdx0,故原不等式成立,證畢a 2證法二證明:由定理 3.5 可知：存在 a, b,使得bxab f xdx f x abdx f b x a b dxa 2a 2 2f a f babf x單調(diào)增加及 abf f b 0 a 0 b 0 可得 bx ab f xdx0,故原不等式成立,證畢a 2通過(guò)上述兩道題目我們可以了解到積分中值定理在實(shí)際應(yīng)用中起到的重要作用就是能夠使積分號(hào)去掉,或者是將復(fù)雜的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為相對(duì)而言較簡(jiǎn)單的被積函數(shù),從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.因此,對(duì)于證明有關(guān)結(jié)論中包含有某個(gè)函數(shù)積分的不等式,或者是要證明的結(jié)論中含有定積分的,可以考慮采用積分中值定理,從而去掉積

29、分號(hào),或者化簡(jiǎn)被積函數(shù)利用積分的性質(zhì)關(guān)于積分的性質(zhì)在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)學(xué)到了很多,我們可以利用它來(lái)證明許多問(wèn)題.在這里我們主要利用定積分的比較定理和絕對(duì)值不等式等性質(zhì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析處理例 3.5.19 設(shè) f x在0,1上導(dǎo)數(shù)連續(xù),試證： x 0,1,1有f x0 fx f xx1證明：由條件知f x在上連續(xù),則必有最小值, 即存在0 0,f 0 f x,x由ftt f x f 0 f x f 0 xf t dt ,00 xx1xxf x f 0 xx0ftt f 0 0ftt f 0 0 ftdt111110 1f 0 dt0ftdt 0f tdt0 ftdt 0 f tft0 fxf

30、 xx.故原不等式成立,證畢利用泰勒公式在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中泰勒公式有著重要的地位,它在不等式的證明、求極限以及求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值等方面有著重要的作用.關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用已經(jīng)有很多專家學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究,下面我們將舉例說(shuō)明利用泰勒公式也是證明積分不等式的一種重要方法定理 3.6(帶有拉格朗日型余項(xiàng)的Taylor 公式) 設(shè)函數(shù) f ( x) 在點(diǎn)x0 處的某鄰域內(nèi)具有n 1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則對(duì)該鄰域內(nèi)異于x0 的任意點(diǎn)x ,在x0 與x 之間至少存在一點(diǎn) ,使得：f (x) f (x ) f (x )(x x ) f (x0 )(x x )2 ) (x x )n R (x)(1)0f n (x

31、0n!f (f n (x0n!02!00nR (x(x x )n1 （ 在x 與x 之間）稱為拉格朗日型余項(xiàng),(1)式稱為泰勒公n(n1)!00式 3.6.110 f x ab f f b 0 xa,bb試證:bf xdx b a 312證明：對(duì)x a, b,由泰勒公式得2f a f x fxax 1 f ax2 ,a,x,2f b f x fxbx1 f bx2 ,x,b,2兩式相加得f x fxx ab 1f ax2 f bx2 ,242兩邊積分得f b fxx abx1 b f ax2 f bx2 x,a4a bb2其中b fxx abdx bxab xbb2f x dx ,a2a 2a

32、于是有b f xx 1 b f ax2 f bx2x,a8a 故b f xx Mb ax2 bx2x M ba3 證畢a8 a 例 3.6.26 設(shè) f x在a, b上有二階導(dǎo)數(shù),且 f x 0 ,求證b f xdxaf aba2f x在 a b 處作泰勒展開得到2ababa bababf x f 2 f2x 22 f x2 , 2因?yàn)閒 x0,所以可以得到f x f ab fabx ab,222對(duì)不等式兩邊同時(shí)積分得到aab f xdx f a b b a f a b b x a b aa222222因?yàn)?bxabdx0,所以有 b f xdxaf ab證畢a 2a2通過(guò)這兩道題目我們大致可

33、以了解到當(dāng)題目中出現(xiàn)被積函數(shù)在積分區(qū)間上有意義且有二階及二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí),是提示我們用泰勒公式證明的最明顯的特征一般情況下我們選定一個(gè)點(diǎn)xo ,并寫出 f x在這個(gè)點(diǎn)xo 處的展開公式,然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s或與介值定理相結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題利用重積分在一些積分不等式的證明中,由于被積函數(shù)的不確定,從而我們不能求出其具體的數(shù)值,這時(shí)我們可以將定積分轉(zhuǎn)換為二重積分再利用其性質(zhì)來(lái)求解以下列舉了 3 種利用重積分來(lái)證明積分不等式的方法,這種技巧在高等數(shù)學(xué)中雖然不常見,但卻是很重要的,下面我們將通過(guò) 3 道例題來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明直接增元法命題一11：若在區(qū)間abf (x g(xba f(xxbba g(xx b例

34、3.7.111 設(shè) f ( x) , g(x) 在a, b上連續(xù),且滿足：xxbbbbaftt a gtt xa,baftt a gtt a f(xxag(xxxx證明：由題得aftt a gtt ,bxbxbxb從而可以得到adxa ftdt adxa gtdt,即axa ft)gtt 0b左式a dxa ft)gtdt ft)gtt (其中D (x,t)|a xb,at )Dbba dtt ft)gtdx a btft)gtbbbbbbbbft)ta gt)ta tft)ta tgt)ta tft)ta tgt)t0bbb則a ft)ta gt)t 0,即a f(x)xa g(x)xbbb

35、xx在本題中我們將一元積分不等式a f(xdx a g(xdx的兩邊同時(shí)增加一個(gè)積分變量bax 法達(dá)到證明一元積分不等式的方法.b轉(zhuǎn)換法在利用重積分來(lái)證明積分不等式的時(shí)候，我們不但可以采用直接增元法，還可以采用轉(zhuǎn)換法.關(guān)于轉(zhuǎn)換法又分為將累次積分轉(zhuǎn)換為重積分，以及將常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分這兩種形式.下面我們將依次來(lái)介紹這兩種方法.將累次積分轉(zhuǎn)為重積分命題二11 若 f ( x) 在a, b 上可積, g( y) 在c, d 上可積,則二元函數(shù) f (x)g( y) 在平面區(qū)域 D ( x, y) | a x b, c y d 上可積,且bdbdf(x)g(y)y Df(x)xg(y)y f(x)xg(

36、x)dx 其中 D ( x, y) | a x b, c y d例 3.7.211 設(shè) p(x) , f ( x) , g(x) 是a, b 上的連續(xù)函數(shù),在a, b 上, p(x) 0 , f ( x) , g(x)為單調(diào)遞增函數(shù),試證：bbbba p(x)f(x)xa p(x)g(x)xa p(x)xa p(x)f(x)g(x)xbbbb證明：由ap(xf(x)xa p(x)g(x)xa p(x)xa p(xf(xg(x)x可知：bbbba p(x)xa p(x)f(x)g(x)xa p(x)f(x)xa p(xg(x)x0,bbbb令 I a p(x)dxa p(x) f (x)g(x)

37、dx a p(x) f (x)dxa p(x)g(x)dx ,下證 I 0 ；bbbI a p(x)xa p(x)f(x)g(x)xa p(x)f(x)xa p(xg(x)bbbbbba p(x)xa p(y)f(y)g(y)ya p(x)f(x)xa p(yg(y)bbbb bp(x)p(y)f(y)g(y)dxdyp(x) f (x) p( y)g y dxdyb ba aa ab bb ba a p(x)p(y)g(yf(y) f(xy(3.7)同理bbbbI a p(x)xa p(x)f(x)g(x)xa p(x)f(x)xa p(xg(x)bbba p(y)ya p(x)f(x)g(

38、x)xa p(y)f(y)ya p(xg(x)bbbb b aapyp(x)g(xf(x fyy (3.7) (3.8) 得b bb b2I a a p(x)p(yg(y)g(xf(y) f(xy,f xg(x同為單調(diào)增函數(shù),所以gy g(x) f y f (x 0又因?yàn)?p(x) 0 , p( y) 0 ,故b b2I a a p(x)p(yg(y)g(xf(y) f(xy 0,即I 0證畢將常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分的形式3.7.2 3.7.3 中我們將對(duì)常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分來(lái)進(jìn)行說(shuō)明我們可以發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)命題,若在二重積分中被積函數(shù)f (xy k ,則可得到kd k(b a)2 D xy| a x b

39、a y bDbb3.7.3 fx在ab上連續(xù),fx0試證：ba f(x)x1 dx(ba)2f(x)bb本題與前面的例 3.1 以及例 3.2.3 是同一道題目,在這里我們將利用重積分證明此題bb證明：原題即為a f(x)x1 dy f (y)d ,D移項(xiàng)可得( f (x) 1)d 0 ,Df (y)2( f (x) 1)d ( f (x) 1)d ( f ( y) 1)d 0 ,Df (Df (Df(x)所以即為證( f (x) fy2)d 0fx0fy0f (x)f ( y) 2 0 Df(y)f(x)f(y)f(x)故 ( f (xf y 2)d 0 bbf (x)dx1 dx(ba)2

40、成立,證畢Df(y)f(x)aa f(x)通過(guò)以上三道例題我們可以大致了解到，在這一類定積分不等式的證明過(guò)程中我們一般先將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為二次積分的形式,進(jìn)一步再轉(zhuǎn)換為二重積分,最后利用二重積分的性質(zhì)或其計(jì)算方法得出結(jié)論.這種方法克服了數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的高維數(shù)轉(zhuǎn)化為低維數(shù)的思維定勢(shì),豐富了將二重積分與定積分之間互化的數(shù)學(xué)思想方法利用微分中值定理微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的重要的一個(gè)基本定理,它是指羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理這四種定理.關(guān)于微分中值定理的應(yīng)用也是很廣泛的,證明不等式是微分中值定理最基本的應(yīng)用之一.在這里我們將對(duì)利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理證明積分不等式進(jìn)行研究.下面將通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)具體說(shuō)明這兩個(gè)定理在證明積分不等式中的應(yīng)用,以及不同的微分中值定理在證明不等式時(shí)的區(qū)別3.