《航天制導(dǎo)與控制基礎(chǔ)》作業(yè)2021

1、 8/8航天制導(dǎo)與控制基礎(chǔ)作業(yè)2021 參考資料：【1】衛(wèi)星軌道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制，章仁為，北京航空航天 大學(xué)出版社。 【2】航天器控制原理，周軍，西北工業(yè)大學(xué)出版社。 第二章 作 業(yè) 一、設(shè)剛體B 相對(duì)某參考坐標(biāo)系的姿態(tài)可用方向余弦陣A 表示，角 速度矢量為，試證明： (1) AA T =E (2) |A |=1 (3) dA/dt = -?A 證明：設(shè) ? ? ?=3332 31 232221 131211 A A A A A A A A A A (1) ? ? ?=3323 13 322212312111 3332 31 232221 131211 A A A A A A A A A A

2、A A A A A A A A AA T ? ? ? ? ? ?+=233 23223123 332232213113331232113133233222312122322222113 231222112133133212311123 132* 13212211A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA T 根據(jù)A 陣的性質(zhì)，可知 ? ? ? ?=100010001T AA (2) 由于方向余弦陣A 描述的坐標(biāo)系皆為右手正交坐標(biāo)系，由此可以驗(yàn)證（代入 變

3、換矩陣公式即可驗(yàn)證） A T = A * 又由于 A T = A -1 因此，由 A -1= A */|A | 可以推知 |A |=1 (3) 令姿態(tài)相對(duì)參考坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)軸為e ，則= e 。如在t 時(shí)刻姿態(tài) 矩陣為A (t ) ，在t +?t 時(shí)刻為A (t +?t )。如用A 表示姿態(tài)的變化，則有 A (t +?t ) =A A (t ) 利用Euler 軸/角與姿態(tài)矩陣間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以寫出 cos (1cos )sin T A I ee e ?=?+-? 當(dāng)0t ?時(shí)， A I t ?=-? 因此，有 A (t +?t ) = A (t )-? ?t A (t ) t t A t

4、 t A dt dA t ?-?+=?) ()(lim /0= -? A (t ) 二、試推導(dǎo)方向余弦陣與Euler 軸/角間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 解：設(shè)轉(zhuǎn)軸為e ，轉(zhuǎn)角為，對(duì)任意矢量a ，旋轉(zhuǎn)后所對(duì)應(yīng)的矢量為a ，如圖1所示。 圖1 定義 1 sin a ?= =?e a u e a e a (1) =?v e u (2) 則 cos sin =+u u v (3) cos sin a a =+a e u (4) 將式(1)式(3)代入式(4)可得， (1cos )()cos sin ()=-?+?a e a e a e a (5) 參考坐標(biāo)系軸r x 經(jīng)歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)得出對(duì)應(yīng)的本體坐標(biāo)軸b x ，則 (

5、1cos )()cos sin ()b r r r =-?+?x e x e x e x (6) 根據(jù)姿態(tài)矩陣的定義，將本體系各軸按式(6)展開并代入，可得 2 2 2cos (1cos )(1cos )sin (1cos )sin (,)(1cos )sin cos (1cos )(1cos )sin (1cos )sin (1cos )sin cos (1cos )cos (1cos )si x x y z x z y x y x y y z x x z y y z x z T e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ? +-+-? ? =-+-

6、+? ?-+-+-? ? =+-A e I ee n ? e 由上式可得 12sin yz zy zx xz xy yx A A A A A A ? -?=-? ?-?e 1 cos 12 tr =-A 證畢。 e 三、設(shè)固連于某剛體的坐標(biāo)系Oxyz 相對(duì)參考坐標(biāo)系OXYZ 的姿態(tài)可 用2-3-1Euler 角描述，。 (1) 試畫出兩個(gè)坐標(biāo)系的相對(duì)旋轉(zhuǎn)關(guān)系； (2) 試求出對(duì)應(yīng)的姿態(tài)矩陣及其逆矩陣； (3) 試推導(dǎo)以2-3-1Euler 角描述的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。 解：(1) 假設(shè)從坐標(biāo)系Oxyz 到坐標(biāo)系OXYZ 經(jīng)過三次旋轉(zhuǎn)： 繞Oxyz 的Oy 軸旋轉(zhuǎn)角度，得到坐標(biāo)系Ox 1y 1z 1

7、； 繞坐標(biāo)系Ox 1y 1z 1的Oz 1軸旋轉(zhuǎn)角度，得到坐標(biāo)系Ox 2y 2z 2； 繞坐標(biāo)系Ox 2y 2z 2的Ox 2軸旋轉(zhuǎn)角度?，得到坐標(biāo)系OXYZ ； 相對(duì)旋轉(zhuǎn)關(guān)系如下圖所示： Y X X (2)經(jīng)過“2-3-1”旋轉(zhuǎn)，就可以完成Oxyz 到OXYZ 的轉(zhuǎn)化，變換矩陣R 為： ? ? ? ?+-+-=? ? ? ?-?-?-=? ? ? cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos cos 0sin

8、 010sin 0cos 100 0cos sin 0sin cos cos sin 0sin cos 0001 R 因?yàn)樽儞Q矩陣R 是正交矩陣，因此：T 1R R =-。 (3) 231132 ?()1()3()21 00cos sin 00cos 0sin 00cos sin 0sin cos 000100sin cos 0001sin 0cos 0R R R =+? ?-? ? ?=+-+ ? ? ? ? ?-? ? =&1000cos sin 0000cos sin 0sin cos 000sin cos 0010sin sin cos cos cos sin cos ? ?+-? ?

9、 ? ?-?+?=+? ?-? & 四、試寫出描述剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的Euler 方程，并分析在什么情況 下，可以使三軸運(yùn)動(dòng)解耦。 解：剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的Euler 方程式(1)所示 ?+=J J M 當(dāng)體坐標(biāo)軸與慣性主軸重合時(shí)，上式可寫為： ? ?=-=-=-z x y y x z z y x z x z y y x z y z y x x M J J J M J J J M J J J )()()(& & 顯然，當(dāng)x y z J J J =時(shí)，三軸運(yùn)動(dòng)解耦。 第四章 作 業(yè) 一、證明在僅有二體引力的作用下，航天器機(jī)械能守恒。(參見講義P33) 【周軍p 22】 證明：設(shè)r 為二體之間的位置關(guān)

10、系矢量，根據(jù)二體問題的力學(xué)方程，可得到如下關(guān)系式： 03 =+ r r r & 用0=r &與上式點(diǎn)乘，可得： 03 =?+ ?r r r r &r 根據(jù)矢量運(yùn)算法則a a &=?a a ，故上式可寫為： 03 =+ r r r r r & 對(duì)上式進(jìn)行積分，可得 C r r =- 22 & 由上式可知航天器的機(jī)械能守恒。 證畢。 二、證明在二體問題中，航天器的運(yùn)動(dòng)軌道始終處于空間中的一個(gè)固 定平面內(nèi)。(參見講義P32) 【章仁為p2】 證明：在地心第一赤道坐標(biāo)系中，航天器運(yùn)動(dòng)方程為： 3 33r z z r y y r x x -=-=- =& 將上式的第二方程乘以z 減去第三個(gè)方程乘以y ，

11、可得： 0=-y z z y & 即 A y z z y =-& 同理可得： C x y y x B z x x z =-=-& 其中，A ，B ，C 是積分常數(shù)。進(jìn)一步整理，可以得到： 0=+Cz By Ax 故航天器在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。 證畢。 三、證明開普勒第二、第三定律。 證明：首先證明開普勒第二定律。【章仁為p3】 由上圖，可以寫出三角形OBB 的面積為 ?=?sin 2 1 r r A 因此，有 ? =?=?sin 21sin 21t r r t r r t A 進(jìn)而可得 h r t r r t A A t t 2 121sin 21lim lim 200=?=?=?& 上式表明，航

12、天器在單位時(shí)間掃過的面積是相等的。 下面證明開普勒第三定律?！菊氯蕿閜5】 由于 h ab T 2= 這里ab 是整個(gè)橢圓的面積，T 為周期。因?yàn)檐壍朗菣E圓軌道，可得： p h ap e a c a b =-=-=)1(2222 從而，可得： 2/32a T = 即： 2 3 24=a T 上式表明，衛(wèi)星軌道周期的平方和橢圓軌道半長(zhǎng)軸的三次方成正比。 證畢。 四、設(shè)某地球衛(wèi)星質(zhì)心到地心的距離為r ，橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a ， 偏心率為e ，偏近點(diǎn)角為E ，試證明)cos 1(E e a r -=。 證明：【章仁為p6】 由上圖，可以寫出： f r ae E a cos cos += 由軌道運(yùn)動(dòng)方

13、程 f e e a f e p r cos 1) 1(cos 12+-=+= 可得 e r e a f r -=)1(cos 2 將上式代入第1式，并整理可得： )cos 1(E e a r -= 證畢。 五、什么是軌道六要素，它們是如何確定航天器在空間中位置的？【章 仁為p7】 解：航天器運(yùn)行的軌道形狀和其在空間的位置，可以通過6個(gè)參數(shù)來表示，簡(jiǎn)稱軌道要素。軌道六要素是描述和確定航天器軌道特征的量。 1、軌道傾角i ：航天器運(yùn)行軌道所在的平面與赤道面的夾角。 2、升交點(diǎn)赤經(jīng)：以地球自轉(zhuǎn)方向?yàn)檎?，從春分點(diǎn)方向軸量起的升交點(diǎn)的經(jīng)度。 3、近地點(diǎn)角距：投影在天球上的橢圓軌道近地點(diǎn)于升交點(diǎn)對(duì)地心所張

14、的角度，從升交點(diǎn)順航天器運(yùn)行方向量到近地點(diǎn)。 4、橢圓軌道的長(zhǎng)半軸a 。 5、橢圓軌道的偏心率e 。 6、航天器過近地點(diǎn)的時(shí)刻t p 。 這就是航天器的軌道六要素，它們是怎樣確定航天器軌道的呢？ 首先，軌道傾角i 和升交點(diǎn)赤經(jīng)確定航天器軌道平面在空間中的方位； 其次，近地點(diǎn)角距確定橢圓長(zhǎng)軸在軌道平面上的指向； 第三，長(zhǎng)半軸a 和偏心率e 確定橢圓軌道的形狀和大小； 第四，航天器過近地點(diǎn)時(shí)刻t p 把時(shí)間和空間聯(lián)系起來，確定了航天器在軌道上的位置。 六、設(shè)對(duì)地定向的某三軸穩(wěn)定衛(wèi)星沿近圓軌道運(yùn)動(dòng)，軌道角速度為 0。固連于星體的本體坐標(biāo)系為慣量主軸坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣 為J =diag(J x ,

15、J y , J z )，衛(wèi)星相對(duì)軌道坐標(biāo)系的姿態(tài)可用2-3-1Euler 角描述。(參見講義P41) (1)試推導(dǎo)衛(wèi)星完整的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型； (2)在小角度假設(shè)下，對(duì)上述模型進(jìn)行線性化； (3)試定量分析軌道高度分別為2000km 和200km 時(shí)各姿態(tài)通道間耦合的強(qiáng)弱，并分析產(chǎn)生耦合的原因。 解：航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程可表示為： ? ?-+=-+-+=? ?2 002 00)()()()(x y x z y z z y y z y x z y x x I I I I I I M I M I I I I I I M & 當(dāng)I x I y I z 完全相同時(shí)，可得： ?+=-=? ? &00 x

16、z z y y z x x I I M I M I I M 由上式可知，俯仰通道和滾轉(zhuǎn)、偏航通道是沒有耦合的。滾轉(zhuǎn)通道和偏航通 道之間是耦合的，其耦合強(qiáng)弱與航天器的軌道角速度有關(guān)。由于航天器的軌道是圓軌道，有： 30/r = 因此，軌道高度為2000km 與軌道高度為200km 的耦合強(qiáng)度之比為： 3 3200 /2000/ 即，10-3/2。 產(chǎn)生耦合的原因主要是由于軌道角速度的存在，使得航天器的滾動(dòng)軸和偏航軸經(jīng)過四分之一周期出現(xiàn)交替，從而出現(xiàn)耦合。 七、利用歐拉動(dòng)力學(xué)方程分析10-5Nm 數(shù)量級(jí)的常值干擾力矩對(duì)自由 飛行狀態(tài)下的航天器的姿態(tài)影響。 解：解耦后，航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化方程為： ?=z z y y x x M I M I M I ?& & & 可見，航天器的