數列求和課件

1、數列求和的技巧一、公式求和法1.等差數列前n項和公式Sn=Sn=n(a1+an)22.等比數列前n項和公式na1(1-q )1-q = a1 - anq 1-q na1（q=1）（q=1）=na1+n(n-1)d2例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)解：1，1/a,1/a21/an是首項為1，公比為1/a的等比數列，原式=原因：上述解法錯誤在于，當公比1/a=1即a=1時，前n 項和公式不再成立。例1求和： 1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)2.bn: Sn=練習:求下列各數列的前n項和Sn:1.an:1,3,5,2n-1,Sn=n21- , + n 1 例2.求

2、數列 + 2 3 , + 的前n和 。 , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 n 解： =(1+2+3+ +n) Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+(+) 2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 ) n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1二、分組求和法（分組轉化法）二、分組求和法（分組轉化法） , + n 1 例2.求數列 + 2 3 , + 的前n項和 。 . , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 ncn=an+bn(an、bn為等差或等比數列。）項的特征反思與小結：要善于從通項公式中看本質：一個等差n 一個等比

3、2n ，另外要特別觀察通項公式，如果通項公式沒給出，則有時我們需求出通項公式，這樣才能找規(guī)律解題。（請見下一張相應的例題） 練習:1.求數列 2+3, 2 +3 , 2 +3 , , 2 +3 , 的前n項和。 .2233nn.Sn=2 + -n+1n+132272.求Sn=1 +2 +3 + +n 。 123122n 12. 1 23.求數列9，99，999，.的前n項和n通項：10n -14.求數列5，55，555，.的前n項和n通項:5(10n -1)/9aSn=a +2a +3a + +(n-1)a +na.234nn+1 解:由Sn=a+2a +3a + +(n-1)a +na .2

4、3n-1n得兩式相減得 (1-a)Sn= a+a +a + +a +a -na.23n-1nn+1=n+1a(1-a )n1-a 2(1-a )a(1-a )n- naSn= nan+11-a 例3.求Sn= a+2a +3a + +(n-1)a +na (a1) nn-1.32三、錯位相減求和法aSn=a +2a +3a + +(n-1)a +na.234nn+1三、錯位相減求和法 例3 求Sn= a+2a +3a + +(n-1)a +na (a= 1) .23n-1ncn=anbn(an為等差數列,bn為等比數列)項的特征練習2n1.求Sn=1 + + + + +423322nn-1n+

5、12. 2 2nSn= 3-n+32四、裂項相消求和法（裂項法）125例4Sn= + + + + +1251581811.1(3n-4)(3n-1)1(3n-1)(3n+2)1 21 5=-1 3( )1251 2=1 7( )+1 5=+1 13( )1 51 8158=1 19( + )1 81 1118111581 3( - )1 51 8=18111 3( - )1 81 11=.1(3n-4)(3n-1)=13n-413n-113( - )1(3n-1)(3n+2)=13n+213n-113( - )解： Sn= + + + + +1251581811.1(3n-4)(3n-1)1(

6、3n-1)(3n+2)13n-413n-1- .13n+213n-1- 1 81 11- 1 51 8- 1 21 5-13= ( + + + + + ) 12= ( - ) 13n+213n6n+4= 1(3n-1)(3n+2)=13n+213n-113( - )cn=1 3( )1 81 11- + + .= + + + 1 3( )1 21 5-1 51 8- 1 3( )13n-413n-1- 13n+213n-1- 13n-413n-113( - )13n+213n-113( - )125求Sn= + + + + +1251581811.1(3n-4)(3n-1)1(3n-1)(3n

7、+2)1 21 5=-1 3( )1581 3( - )1 51 8=18111 3( - )1 81 11=.1(3n-4)(3n-1)=13n-413n-113( - )1(3n-1)(3n+2)=13n+213n-113( - )（數列an是等差數列）項的特征四、拆項相消求和法（裂項法） 練習：求Sn= + + + + 112123134.1 n(n+1)n (n+1)Sn= 拆通項注意裂項相消法的關鍵： 將數列的每一項拆成二項或多項使數列中的項出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項，進而達到求和的目的。常見的拆項公式：練習：（求和）五、倒序相加法教材P40等差數列前n項的和公式推導即為此法！例5：已知lg

8、(xy)=a,求lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn與首尾兩項等距的兩項之和等于首尾兩項之和，則可先將Sn順著寫，再將Sn倒著寫，最后將兩個Sn相加。lgyn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+lgxn2lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n (n+1)lg(xy)n n(n+1)lgxyn(n+1)a/2項的特征a1+an=a2+an-1=a3+an-2=例6：1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=？局部重組轉化為常見數列6.并項求和交錯數列，并項求和（-1）n bn型函數形式為n的一次或二次函數形式或（-1）n+1練習10：已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=-21數列求和方法小結一、公式求和法:二、分組求和法（分組轉化法）：三、錯位相減求和法：四、拆項相消求和法（裂項法）：cn=an+bn(an,bn為等差或等比數列)cn=anbn(an為等差數列,bn為等比數列)五、倒序相加法:（數列an是等差數