數(shù)學探究-楊輝三角的性質與應用【上課小助手】高二數(shù)學同步備課(人教A版2019選擇性必修第三冊)-

1、數(shù)學探究楊輝三角的性質與應用一般地，對于n N*有二項定理:二項展開式中的二項式系數(shù)指的是哪些？共有多少個？45 下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質？我們先通過觀察n為特殊值時，二項式系數(shù)有什么特點？相關知識閱讀楊輝三角的歷史沿革北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算楊輝，字謙光，南宋時期杭州人在他1261年所著的詳解九章算法一書中，記錄了如上所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引自11世紀中葉(約公元1050年)賈憲的釋鎖算術，并繪畫了“古法七乘方圖”故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”元朝數(shù)學家朱世杰在四元玉鑒(1303年)擴充了“賈憲三角”成“古法七

2、乘方圖”意大利人稱之為“塔塔利亞三角形”(Triangolo di Tartaglia)以紀念在16世紀發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的塔塔利亞在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學家帕斯卡在31歲時發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角”布萊士帕斯卡的著作Trait du triangle arithmtique(1655年)介紹了這個三角形帕斯卡搜集了幾個關于它的結果，并以此解決一些概率論上的問題，影響面廣泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亞伯拉罕棣美弗(1730年)都用帕斯卡來稱呼這個三角形21世紀以來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinese t

3、riangle)歷史上曾經(jīng)獨立繪制過這種圖表的數(shù)學家有：賈憲中國北宋11世紀釋鎖算術楊輝中國南宋1261詳解九章算法記載之功朱世杰中國元代1299四元玉鑒級數(shù)求和公式阿爾卡西阿拉伯1427算術的鑰匙阿皮亞納斯德國1527米歇爾斯蒂費爾德國1544綜合算術二項式展開式系數(shù)薛貝爾法國1545B帕斯卡法國1654論算術三角形其實，中國古代數(shù)學家在數(shù)學的許多重要領域中處于遙遙領先的地位中國古代數(shù)學史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.計算(a+b)n展開式的二項式系數(shù)并填入下表 n(a+b)n展開式的二項式系數(shù)123456161520156115101051146411331

4、12111對稱性詳解九章算法中記載的表楊 輝楊輝三角(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關系嗎？ 3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+ 展開式的二項式系數(shù)依次是： 從函數(shù)角度看， 可看成是以r為自變量的函數(shù) ,其定義域是： 當 時，其圖象是右圖中的7個孤立點（1）對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等這一性質可直接由公式 得到圖

5、象的對稱軸：（2）增減性與最大值 由于：所以 相對于 的增減情況由 決定 由： 可知，當 時，二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。 因此，當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù) 取得最大值； 當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù) 、相等，且同時取得最大值。（2）增減性與最大值 （3）各二項式系數(shù)的和 在二項式定理中，令 ，則： 這就是說， 的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：例： 證明：在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。在二項式定理中，令 ，則： 總結：第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4

6、行 1 4 6 1第5行 1 5 1第6行 1 6 15 6 1第n-1行 11 第n行 11 第7行 1 7 21 21 7 11035+=3551520104“斜線和”= 125第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第7行 1 7 21 35 35 21 7 1第1行 1 1第0行1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1138132134如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 從第三個數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個數(shù)的和， 這就是著名的斐波那契數(shù)列 ，也稱為兔子數(shù)列。斐波那契數(shù)

7、列斐波那契 （11701250） 意大利商人兼數(shù)學家,他的著作算盤書中,首先引入阿拉伯數(shù)字，將“十進制”介紹給歐洲人認識，對歐洲的數(shù)學發(fā)展有深遠的影響。數(shù)學之美：楊輝三角(帕斯卡三角)的奇特性質楊輝三角(也稱帕斯卡三角)相信很多人都不陌生，它是一個無限對稱的數(shù)字金字塔，從頂部的單個1開始，下面一行中的每個數(shù)字都是上面兩個數(shù)字的和楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書中出現(xiàn)在歐洲，帕斯卡(16231662)在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形帕斯卡的發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年就是這個看上去平平無奇的數(shù)字

8、三角形，卻有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文將一一為您揭曉1最外層的數(shù)字始終是12第二層是自然數(shù)列3第三層是三角數(shù)列什么是三角數(shù)列，看一下圖就明白了，這個數(shù)列中的數(shù)字始終可以組成一個完美的等邊三角形4三角數(shù)列相鄰數(shù)字相加可得方數(shù)數(shù)列什么又是方數(shù)數(shù)列呢？雷同與三角數(shù)列，就是它的數(shù)字始終可以組成一個完美的正方形5每一層的數(shù)字之和是一個2倍增長的數(shù)列6.斐波那契數(shù)列沒錯，如果按照一定角度將直線上的數(shù)字相加，我們也可以從楊輝三角中找到斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列是指從 0，1 兩個數(shù)開始，每一位數(shù)始終是前兩位的和這個數(shù)列有個神秘的特性，即越往后，相鄰兩數(shù)的比值越來越逼近黃金分割數(shù) 0.618(或1.618，兩數(shù)互為倒數(shù))斐波那契數(shù)列和黃金分割數(shù)不但在大自然中處處可見，在人類的藝術設計中也是應用非常廣泛7素數(shù)素數(shù)