2022年湖南省長沙市岳麓區(qū)湖南師大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題

2、卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是ABCD2已知雙曲線的一條漸近線與軸所形成的銳角為，則雙曲線的離心率為（ ）ABC2D或23的展開式中，的系數(shù)為（ ）ABC30D4已知：，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD5已知XB(5,14)，則A54B72C36已知函數(shù)，若與的圖象上分別存在點(diǎn)、，使得、關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD7已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（ ）ABCD8 （ ）A9B12C15D39已知函數(shù)g（x）=loga（x3）+2（a0，a1

3、）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)M，若冪函數(shù)f（x）=x的圖象過點(diǎn)M，則的值等于（）A1B12C2D10某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABC3D11的展開式存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）A5B6C7D1412在極坐標(biāo)中，點(diǎn)到圓的圓心的的距離為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，則_.14已知棱長為的正方體中，分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為_15某高中十佳校園主持人比賽上某一位選手得分的莖葉統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為_16在空間四邊形中，若分別是的中點(diǎn)，是上點(diǎn)，且，記，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明

4、、證明過程或演算步驟。17（12分）已知命題p：函數(shù)的定義域?yàn)镽；命題q：雙曲線的離心率，若“”是真命題，“”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18（12分）如圖，已知橢圓與橢圓的離心率相同（1）求的值；（2）過橢圓的左頂點(diǎn)作直線，交橢圓于另一點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)在之間）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；設(shè)的中點(diǎn)為，橢圓的右頂點(diǎn)為，直線與直線的交點(diǎn)為，試探究點(diǎn)是否在某一條定直線上運(yùn)動(dòng)，若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由19（12分）已知集合，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20（12分）設(shè)命題：方程表示雙曲線；命題：“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”. （1）若和均為

5、真命題，求的取值范圍;（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21（12分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍22（10分）設(shè)函數(shù).（1）化簡：；（2）已知：，求的表達(dá)式；（3），請用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：由題意求出，則，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)詳解：由雙曲線，可得，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是選C.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】轉(zhuǎn)化條件得，再利用即可得解.【詳解】由題意可知雙曲線的漸近線為，又 漸近線與軸所形成的銳角為，雙

6、曲線離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】將二項(xiàng)式表示為，利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，可得出，再利用完全平方公式計(jì)算出展開式中的系數(shù)，乘以可得出結(jié)果.【詳解】，其展開式通項(xiàng)為，由題意可得，此時(shí)所求項(xiàng)為，因此，的展開式中，的系數(shù)為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，解題時(shí)要將三項(xiàng)視為兩項(xiàng)相加，借助二項(xiàng)展開式通項(xiàng)求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.4、A【解析】若恒成立,則的最小值大于,利用均值定理及“1”的代換求得的最小值,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號成立,因?yàn)楹愠闪?則,即,解得,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式中

7、“1”的代換的應(yīng)用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立問題.5、B【解析】利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望，計(jì)算出EX，再利用期望的性質(zhì)求出E【詳解】XB5,14，E故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與期望的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵就是利用二項(xiàng)分布的期望公式以及期望的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。6、A【解析】先求得關(guān)于對稱函數(shù)，由與圖像有公共點(diǎn)來求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)上一點(diǎn)為，關(guān)于對稱點(diǎn)為，將其代入解析式得，即.在同一坐標(biāo)系下畫出和的圖像如下圖所示，由圖可知，其中是的切線.由得，而，只有A選項(xiàng)符合，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)關(guān)于直線對稱函數(shù)解析式的求法，考查兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)

8、問題的求解策略，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7、B【解析】是定義在上的偶函數(shù)，即，則函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故兩邊同時(shí)平方解得，故選8、A【解析】分析：直接利用排列組合的公式計(jì)算.詳解：由題得.故答案為A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查排列組合的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2) 排列數(shù)公式 ：=(，且)組合數(shù)公式：=(，且)9、B【解析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到點(diǎn)M（4，2）在冪函數(shù)f（x）=x的圖象上，由此先求出冪函數(shù)f（x），從而能求出的值【詳解】y=loga（x3）+2（a0，a1）的圖象過定點(diǎn)M，M（4，2），點(diǎn)

9、M（4，2）也在冪函數(shù)f（x）=x的圖象上，f（4）=4=2，解得=12故選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用10、D【解析】分析：作出三視圖的直觀圖，然后根據(jù)組合體計(jì)算體積即可.詳解：如圖所示：由一個(gè)三棱柱截取G-DEF三棱錐后所剩下的圖形，故該幾何體的體積為：，故答案為選D.點(diǎn)睛：考查三視圖還原為直觀圖后求解體積的計(jì)算，對直觀圖的準(zhǔn)確還原是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.11、C【解析】化簡二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為零，根據(jù)為正整數(shù)，求得的最小值.【詳解】，令，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為7.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通

10、項(xiàng)公式，考查與正整數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】分析：先把點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的方程都化成直角坐標(biāo)方程，再求點(diǎn)到圓心的距離得解.詳解：由題得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，所以圓心的坐標(biāo)為（2,0），所以點(diǎn)到圓心的距離為，故答案為：C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查兩點(diǎn)間的距離的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平. （2）極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將分子化為，然后在分式的分子和分母中同時(shí)除以，利用弦化切的思想進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用弦化切思想進(jìn)行求值，弦化切一般適用于以下兩種情況：（1）分

11、式是關(guān)于角的次分式齊次式，在分式的分子和分母中同時(shí)除以，可將分式化為切的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算；（2）角弦的二次整式，先除以，將代數(shù)式化為角的二次分式齊次式，然后在分式的分子和分母中同時(shí)除以，可將代數(shù)式化為切的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算.14、1【解析】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，代入向量點(diǎn)到平面的距離公式，即可求解【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，可得，故，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，連接，則是平面的斜線段，所以點(diǎn)到平面的距離【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應(yīng)用，對于利用空

12、間向量求解點(diǎn)到平面的距離的步驟通常為：求平面的法向量；求斜線段對應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點(diǎn)到平面的距離空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由題意，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為83，84，85，86，87，先求出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此能求出所剩數(shù)據(jù)的方差【詳解】解：某高中十佳校園主持人比賽上某一位選手得分的莖葉統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為：83，84，85，86，87，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，所剩數(shù)據(jù)的方差為：故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查方差的求法，考查莖葉圖、平均數(shù)、方差等基礎(chǔ)知

13、識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題16、【解析】由條件可得【詳解】因?yàn)椋謩e是的中點(diǎn)所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是空間向量的線性運(yùn)算，較簡單.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、或【解析】分別求出p，q真時(shí)的a的范圍，再根據(jù)p真q假或p假q真得到a的范圍取并集即可【詳解】解：若命題p真，則在上恒成立則有，解得；若命題q真，則，解得由“”是真命題，“”是假命題，知p與q必為一真一假，若p真q假，則，得；若p假q真，則，得綜合得a的范圍為或【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查對數(shù)函數(shù)、雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題18、（1）；（2）；點(diǎn)在定直線

14、上【解析】（1）利用兩個(gè)橢圓離心率相同可構(gòu)造出方程，解方程求得結(jié)果；（2）當(dāng)與軸重合時(shí)，可知不符合題意，則可設(shè)直線的方程：且；設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程可求得，則可將所求面積表示為：，利用換元的方式將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的求解，從而求得所求的最大值；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，則可得直線的方程；聯(lián)立直線與橢圓方程，從而可求解出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線方程，與直線聯(lián)立解得坐標(biāo)，從而可得定直線.【詳解】(1) 由橢圓方程知：， 離心率：又橢圓中， ，又，解得：（2）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，三點(diǎn)共線，不符合題意故設(shè)直線的方程為：且設(shè)，由（1）知橢圓的方程為：聯(lián)立方程消去得：即：解得：，又令，此時(shí)面積的最大值為：由知

15、： 直線的斜率：則直線的方程為：聯(lián)立方程消去得：，解得： 則直線的方程為：聯(lián)立直線和的方程，解得：點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的三角形面積最值的求解、橢圓中的定直線問題；解決定直線問題的關(guān)鍵是能夠通過已知條件求得所求點(diǎn)坐標(biāo)中的定值，從而確定定直線；本題計(jì)算量較大，對于學(xué)生的運(yùn)算與求解能力有較高的要求.19、 (1) .(2) .【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結(jié)論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據(jù)集合關(guān)系求解.詳解：(1), 則 (2)，因?yàn)椤啊笔恰啊?/p>

16、的必要不充分條件，所以且 由，得，解得 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是 點(diǎn)睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)雙曲線方程和橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，可得同時(shí)成立，從而求出；（2）為真命題，為假命題，則、一真一假，再根據(jù)集合的交、補(bǔ)運(yùn)算求得或.【詳解】（1）若為真命題，則，解得：或.若為真命題，則，解得：.若和均為真命題時(shí)，則的取值范圍為.（2）若為真命題，為假命題，則、一真一假.當(dāng)真假時(shí)，解得：或當(dāng)假真時(shí)，無解綜上所述：的取值范圍為或.【點(diǎn)睛】本題以橢圓、雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

17、為背景，與簡易邏輯知識進(jìn)行交會，本質(zhì)考查集合的基本運(yùn)算.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用分段討論法去掉絕對值，求出不等式f（x）-f（2x+4）2的解集；（2）由絕對值不等式的意義求出f（x）+f（x+3）的最小值，得出關(guān)于m的不等式，求解即可【詳解】解：（1）由題知不等式，即，等價(jià)于，或，或；解得或或，即或，原不等式的解集為，；（2）由題知，的最小值為3，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，【點(diǎn)睛】本題考查了含有絕對值的不等式解法與應(yīng)用問題，也考查了不等式恒成立問題，是基礎(chǔ)題22、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）利用組合數(shù)公式化簡后可得出結(jié)果；（2）由（1）得出，令可得，化簡得出