環(huán)流與旋度精品課件

1、環(huán)流與旋度第1頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。 第2頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C 的線積分，即第3頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四 過點(diǎn)M 作一微小曲面S，它的邊

2、界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M 處沿方向n的環(huán)流面密度。 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。 特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向n有關(guān)。2、矢量場(chǎng)的旋度（ ） （1）環(huán)流面密度第4頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面 密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法 線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度第5頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，

3、星期四旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系第6頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零第7頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四3、Stokes定理 Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第8頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四4、散度和旋度的區(qū)別 第9頁，共18頁，2022

4、年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四1、矢量場(chǎng)的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場(chǎng)在該點(diǎn)的散度； 旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)第10頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四2、矢量場(chǎng)按源的分類（1）無旋場(chǎng)性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度

5、表示為例如：靜電場(chǎng)第11頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四（2）無散場(chǎng) 僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)第12頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四（3）無旋、無散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分無旋場(chǎng)部分無散場(chǎng)部分第13頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1、拉普拉斯運(yùn)算 標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念： 拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第14頁，共18頁，2022年，5月20

6、日，16點(diǎn)22分，星期四 矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：第15頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四2. 格林定理 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及 滿足下列等式。 根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中S 為包圍V 的閉合曲面， 為標(biāo)量場(chǎng) 在 S 表面的外法線 en 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。SV,第16頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。 格林定理說明了區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。 此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。 格林定理廣泛地用于電磁理論。第17頁，共18頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)22分，星期四亥姆霍茲定理: 若矢量場(chǎng)在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)