上海市第六十中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是()ABCD2函數(shù)的最小正周期為（ ）ABCD3對(duì)于平面上點(diǎn)和曲線，任取上一點(diǎn)，若線段

2、的長(zhǎng)度存在最小值，則稱該值為點(diǎn)到曲線的距離，記作，若曲線是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為（ ）ABCD4已知雙曲線mx2-yAy=24xBy=25設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于( )AB2iCD06定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A2B4C6D87已知，則的值( )A都大于1B都小于1C至多有一個(gè)不小于1D至少有一個(gè)不小于18曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）ABCD9如圖，在中, ,是上的一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為( ) ABCD10從甲地去乙地有3班火車，從乙地去丙地有2班輪船，則從甲地去丙地可選擇的旅行方式有（ ）A5種B6種C7種D8種11若

3、關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）ABCD12從一個(gè)裝有3個(gè)白球，3個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球的袋中隨機(jī)抓取3個(gè)球，記事件為“抓取的球中存在兩個(gè)球同色”，事件為“抓取的球中有紅色但不全是紅色”，則在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，對(duì)于任意，都存在，使得，則的最小值為_(kāi).14行列式的第2行第3列元素的代數(shù)余子式的值為_(kāi).15已知函數(shù)，則在處的切線方程為_(kāi).16已知平面向量，滿足|=1，|=2，|=，則在方向上的投影是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）某中學(xué)學(xué)生會(huì)由8名同學(xué)組成，其

4、中一年級(jí)有2人，二年級(jí)有3人，三年級(jí)有3人，現(xiàn)從這8人中任意選取2人參加一項(xiàng)活動(dòng).（1）求這2人來(lái)自兩個(gè)不同年級(jí)的概率；（2）設(shè)表示選到三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18（12分）如圖為某一幾何體的展開(kāi)圖，其中是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)及共線.(1)沿圖中虛線將它們折疊起來(lái)，使四點(diǎn)重合，請(qǐng)畫出其直觀圖，試問(wèn)需要幾個(gè)這樣的幾何體才能拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體?(2)設(shè)正方體的棱的中點(diǎn)為，求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.(3)在正方體的邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上的射影為，且是邊長(zhǎng)為的正三

5、角形.（1）求；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，設(shè)的面積為的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值.20（12分）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.21（12分）由中央電視臺(tái)綜合頻道（）和唯眾傳媒聯(lián)合制作的開(kāi)講啦是中國(guó)首檔青春電視公開(kāi)課。每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對(duì)于生活和生命的感悟，給予中國(guó)青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問(wèn)題，同時(shí)也在討論青春中國(guó)的社會(huì)問(wèn)題，受到青年觀眾的喜愛(ài)，為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的喜愛(ài)程度，電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了、兩個(gè)地區(qū)的100名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：非常滿意滿意合計(jì)30合計(jì)已知在被調(diào)

6、查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾是地區(qū)當(dāng)中“非常滿意”的觀眾的概率為，且.（）現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿意”的、地區(qū)的人數(shù)各是多少；（）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系；（）若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從地區(qū)隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為，求的分布列和期望.附：參考公式：22（10分）在中，角，的對(duì)邊分別為，且. （1）求角的值；（2）若，且的面積為，求邊上的中線的大小.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解

7、析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A2、B【解析】先利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后利用周期公式可求答案【詳解】函數(shù)的最小正周期為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，屬基礎(chǔ)題3、D【解析】根據(jù)可畫出滿足題意的點(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域；分別求解區(qū)域各個(gè)構(gòu)成部分的面積，加和得到結(jié)果.【詳解】由定義可知，若曲線為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則滿足題意的點(diǎn)構(gòu)成如下圖所示的陰影區(qū)域其中， ， 又 又陰影區(qū)域面積為：即點(diǎn)集所表示的圖形的面積為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算的問(wèn)題，關(guān)鍵

8、是能夠根據(jù)定義，找到距離等邊三角形三邊和頂點(diǎn)的最小距離小于等于的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略三角形內(nèi)部的點(diǎn)，造成區(qū)域缺失的情況.4、A【解析】x21m-y2=1,c=1m+1=35、B【解析】利用復(fù)數(shù)除法和加法運(yùn)算求解即可【詳解】 故選B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6、B【解析】根據(jù)f（x）的周期和對(duì)稱性得出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和對(duì)稱軸得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)【詳解】f（x+1）f（x），f（x+1）f（x+1）f（x），f（x）的周期為1f（1x）f（x1）f（x+1），故f（x）的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱又g（x）（）|x1|（1x3）的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，作出f（x）的函數(shù)圖象如

9、圖所示：由圖象可知兩函數(shù)圖象在（1，3）上共有4個(gè)交點(diǎn)，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象變換，考查了函數(shù)對(duì)稱性、周期性的判斷及應(yīng)用，考查了函數(shù)與方程的思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題7、D【解析】先假設(shè)，這樣可以排除A，B.再令，排除C.用反證法證明選項(xiàng)D是正確的.【詳解】解:令，則，排除A，B.令，則，排除C.對(duì)于D，假設(shè)，則，相加得，矛盾，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了反證法的應(yīng)用，應(yīng)用特例排除法是解題的關(guān)鍵.8、C【解析】求導(dǎo)，把分別代入導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)，得到斜率和切點(diǎn)，再計(jì)算切線方程.【詳解】將代入導(dǎo)函數(shù)方程，得到 將代入曲線方程，得到切點(diǎn)為：切線方程為：故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線

10、，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、C【解析】先根據(jù)共線關(guān)系用基底表示，再根據(jù)平面向量基本定理得方程組解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】如下圖，三點(diǎn)共線，即,又，對(duì)比，由平面向量基本定理可得：【點(diǎn)睛】本題考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.10、B【解析】由分步計(jì)數(shù)原理得，可選方式有236種故選B考點(diǎn)：分步乘法計(jì)數(shù)原理11、B【解析】恒成立等價(jià)于恒成立，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求其最大值，進(jìn)而得到答案 ?！驹斀狻亢愠闪⒌葍r(jià)于恒成立，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，則，所以當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減且，所以在上單調(diào)遞增，在上的單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以 故選B【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函

11、數(shù)解答恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于一般題。12、C【解析】根據(jù)題意，求出和，由公式即可求出解答.【詳解】解：因?yàn)槭录椤白ト〉那蛑写嬖趦蓚€(gè)球同色”包括兩個(gè)同色和三個(gè)同色，所以 事件發(fā)生且事件發(fā)生概率為： 故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率求法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：由知，；由f（m）=g（n）可化為；故；令，t1；則，則；故在（-，1上是增函數(shù)，且y=0時(shí)，t=0；故在t=0時(shí)有最小值，故n-m的最小值為1；考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題；全稱命題14、-11【解析】根據(jù)代數(shù)余子式列式，再求行列式得結(jié)果【詳解】故答案為：-11

12、【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)余子式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】求導(dǎo)數(shù)，令，可得，求出，即可求出切線方程。【詳解】；又；在處的切線方程為，即；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。16、【解析】分析：根據(jù)向量的模求出=1，再根據(jù)投影的定義即可求出詳解：|=1，|=2，|=，|2+|22=3，解得=1，在方向上的投影是=，故答案為點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和投影的定義，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、 (1).(2)見(jiàn)解析.【解析】（1）正難則反，先求這2人來(lái)自同一年級(jí)的概率，再用1減去這個(gè)概率

13、，即為這2人來(lái)自兩個(gè)不同年級(jí)的概率；（2）先求X的所有可能的取值，為0,1,2，再分別求 時(shí)對(duì)應(yīng)的概率P進(jìn)而得到分布列，利用 計(jì)算可得數(shù)學(xué)期望?！驹斀狻浚?）設(shè)事件表示“這2人來(lái)自同一年級(jí)”, 這2人來(lái)自兩個(gè)不同年級(jí)的概率為.（2）隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2, , , 所以的分布列為012【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率求解、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型。18、（1）直觀圖見(jiàn)解析，3個(gè)；（2）；（3）不存在【解析】（1）先還原為一個(gè)四棱錐，在正方體中觀察；（2）延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面的交線，作出二面角的平面角，計(jì)算即可；（3）假設(shè)點(diǎn)存在，作出點(diǎn)到平面

14、的垂線段，然后計(jì)算的長(zhǎng)，若，則點(diǎn)在邊上，否則不在邊上【詳解】（1）圖1圖1左邊是所求直觀圖，放到圖1右邊正方體中，觀察發(fā)現(xiàn)要3個(gè)這樣的四棱錐才能拼成一個(gè)正方體（2）圖2如圖（2）延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面的交線，作于，連接，平面，平面，又，平面，是二面角的平面角，是中點(diǎn)，即，是中點(diǎn)，正方體棱長(zhǎng)為6，中，（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，圖3如圖3，作于，平面，而，平面的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離，由，得，不在線段上，假設(shè)錯(cuò)誤，滿足題意的點(diǎn)不存在【點(diǎn)睛】本題考查多面體的展開(kāi)圖，考查二面角、點(diǎn)到平面的距離立體幾何中求角時(shí)要作出這個(gè)角的“平面角”，并證明，然后計(jì)算點(diǎn)到平面的距離可能通過(guò)作以平面的垂線

15、段計(jì)算，也可通過(guò)體積法求解19、（1）2；（2）16.【解析】（1）設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，利用解直角三角形可得 .（2）直線，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達(dá)定理可用關(guān)于的關(guān)系式表示，同理可用關(guān)于的關(guān)系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【詳解】（1）解：設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭钦切?，且，在中，所?（2）設(shè)，直線，由知，聯(lián)立方程：，消得.因?yàn)?，所以，所以，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最小值為.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的最值問(wèn)題，往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以為斜率或點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過(guò)基本不等式或?qū)?shù)等

16、求得.20、（1）3；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用斜率求出實(shí)數(shù)的值即可；（2）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，在定義域下，討論大于0、等于0、小于0情況下導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性。【詳解】（1）因?yàn)?，所以 ，即切線的斜率，又切線與直線平行，所以，即 ； （2）由（1）得，的定義域?yàn)?， 若，則 ，此時(shí)函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若，則，此時(shí)函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若，則當(dāng) 即 時(shí)，當(dāng)即時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在 上為單調(diào)遞減函數(shù)綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在 上為單調(diào)遞減函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分類討論的思想，屬于中檔題。21、 (1)3；4.(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析；沒(méi)有的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系.(3)分布列見(jiàn)解析；.【解析】分析：（1）先根據(jù)概率計(jì)算x的值，得出y+z=35，再計(jì)算y與z的值，根據(jù)比例得出應(yīng)抽取“滿意”的A、B地區(qū)的人數(shù)；（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式計(jì)算觀測(cè)值k2，從而得出結(jié)論；（3）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算分布列和數(shù)學(xué)期望詳解：（）由題意，得，所以，所以，因?yàn)椋?，地抽取，地抽?（）非常滿意滿意合計(jì)301545352055合計(jì)6535100的觀察值 所以沒(méi)有的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有