矩量法在電磁散射中應(yīng)用介紹

1、矩量法在電磁散射中的應(yīng)用介紹矩量法在電磁散射中的應(yīng)用介紹矩量法在電磁散射中的應(yīng)用介紹矩量法在電磁散射中的應(yīng)用一矩量法在電磁散射問題中的應(yīng)用電磁散射問題是電磁學(xué)中的一個重要研究領(lǐng)域，研究電磁波的散射機(jī)理以及計算其散射場強(qiáng)的大小與散布，擁有十分重要的實質(zhì)意義。矩量法作為一種有效的數(shù)值計算方法在此中有著寬泛的應(yīng)用。但作為一種計算方法它也有著自己的缺點，為認(rèn)識決這些問題，人們提出了各樣方案，矩量法在這個過程中也獲取了很大的發(fā)展。MoM(MethodofMoments)本來是一種近似求解線性算子方程的方法，經(jīng)過它能夠?qū)⑺阕臃匠剔D(zhuǎn)變?yōu)橐痪仃嚪匠?，從而?jīng)過求解此矩陣方程獲取最后的近似解。MoM最早是由兩位數(shù)

2、學(xué)家和V.IKrylov提出的，后出處KKMei引入計算電磁學(xué)，最后被RF.Harryington在其著作計算電磁場中的矩量法中加以系統(tǒng)描繪。利用矩量法求解電磁問題的主要長處是：它嚴(yán)格地計算了各個子系統(tǒng)間的互耦，而算法自己又從根本上保證了偏差系統(tǒng)整體最小而不產(chǎn)生數(shù)值色散。現(xiàn)在MoM被寬泛應(yīng)用于計算電磁學(xué)中，固然它不可以辦理電大尺寸目標(biāo)的電磁問題，但鑒于MoM的各樣加快方法仍遇到極大重視，如多層快速多極子方法MLMFA等。電磁散射問題是電磁學(xué)中的一個重要研究領(lǐng)域，研究電磁波的散射機(jī)理以及計算其散射場強(qiáng)的大小與散布，擁有十分重要的實質(zhì)意義。在實質(zhì)生活中，碰到的散射目標(biāo)常常不單擁有復(fù)雜的幾何形狀，并

3、且組成的資料也各不同樣。所以對復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射特征進(jìn)行快速、高效的剖析，擁有重要的理論意義和適用價值。電磁散射問題只有在相對簡單的狀況下才能夠用嚴(yán)格的分析法來求解，比方對很少量形狀規(guī)則的物體。關(guān)于電大物體，能夠用高頻近似方法，比如幾何光學(xué)法(GO)、物理光學(xué)法(PO)、幾何繞射理論(GTD)、物理繞射理論(PTD)、一致性幾何繞射理論(UTD)、復(fù)射線法(CT)等來求解散射場。反之，關(guān)于電小物體，能夠用準(zhǔn)靜態(tài)場來進(jìn)行剖析。介乎這二者之間的物體，一般采納數(shù)值方法。當(dāng)前剖析電磁散射問題的數(shù)值方法主要有微分方程法和積分方程法。微分方程法有有限差分法(FDM)、時域有限差分法(FDTD)、頻域有限差

4、分法(FDFD)、時域平面波法(PWTD)、時域多分辨剖析法(MRTD)、有限元法(FEM)、傳輸線矩陣法(TLM)等，積分方程法有表面積分方程法(SIEM)、矩量法(MOM)、界限元法(BEM)、體積分方程法(VIEM)、快速多極子法(FMM)、時域積分方程法(IETD)等。這些方法各有優(yōu)弊端，有的是為了防止矩陣求逆，有的是為了加快收斂，有的是為了提升精度，還有的是為了減少儲存等。它們被寬泛應(yīng)用于求解復(fù)雜的工程電磁場問題中。應(yīng)用微分方程法求解電磁散射問題時，由于散射體的外空間為無窮大，需要人為設(shè)置截斷界限使求解地區(qū)有限，這類截斷界限的引入會致使非物理的反射現(xiàn)象。矩量法是一種將連續(xù)方程失散化成

5、代數(shù)方程組的方法，常常被看作數(shù)值“精準(zhǔn)解”。它既合用于電磁場積分方程又合用于微分方程，因為已經(jīng)有有效的數(shù)值計算方法求解微分方程，所以當(dāng)前矩量法多半用來求解積分方程。因為此方法能解決界限比較復(fù)雜的一些問題，因此獲取了寬泛的應(yīng)用。需要注意的是，固然矩量法中求解阻抗矩陣的表達(dá)式較為簡單，但其計算工作量很大，關(guān)于以積分方程為基礎(chǔ)的失散方程，其系數(shù)矩陣往常為滿矩陣，全部元素都需大批的數(shù)值計算。特別跟著目標(biāo)電尺寸的增大，矩量法獲取的系數(shù)矩陣將快速增大，這將給計算機(jī)內(nèi)存和CPU帶來深重的負(fù)擔(dān)。為了克服這些困難，人們對傳統(tǒng)矩量法進(jìn)行了一些改良，提出了一些快速、有效的方法，如快速多極子方法(FMM)和多層快速多

6、極子方法(MLFMM)，阻抗矩陣局部化(IML)方法和壓縮或稀少化阻抗矩陣的小波分解法，(鑒于快速Fourier變換的CGFFT法、稀少矩陣規(guī)則網(wǎng)格(SMCG)法和自適應(yīng)積分法(AIM)，來降低計算機(jī)內(nèi)存和計算量的需求。在這些快速剖析方法中，需要的計算量和內(nèi)存分別降為D(NlogW)和0(N)，N為未知變量數(shù)。可是，這些改良的方法仍舊受傳統(tǒng)矩量法失散尺寸的限制。采納整域基函數(shù)取代分域基函數(shù)能夠降低矩量法系數(shù)矩陣的維數(shù)。但是，在絕大部分狀況下，難以找到適合的整域基函數(shù)。為此，最近幾年來，人們又相繼睜開了一些鑒于部分域(子域或塊)觀點來降低矩陣維數(shù)的研究，如多層矩量法(MMM)、子域多層法(SMA

7、)、合成基函數(shù)(SBF)法等。這些方法經(jīng)過對問題的部分域進(jìn)行剖析來結(jié)構(gòu)宏基函數(shù)，宏基函數(shù)的域比傳統(tǒng)矩量法的大，所以能夠降低未知變量數(shù)。這幾種方法是經(jīng)過迭代的方式遞歸地修正互耦項來改良解的收斂性。特點基函數(shù)法(CBFM)是近兩年提出來的一種新的求解電磁散射問題的有效方法。二矩量法的基來源理矩量法是將算子方程轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃嚪匠?，而后求解該矩陣方程的方法，因為在求解方程過程中，需要計算廣義矩量，所以我們稱這類方法稱為矩量法，其實質(zhì)是內(nèi)域基加權(quán)余量法。(一)失散化過程已知算子方程：LfgL程g已知，f獨一確立。設(shè)fnfn（n是系數(shù)，fn是基函數(shù)）。其n中fn不必定是齊備的，n越大，不必定越好，只有fn齊備

8、，n越大越靠近真值。方程失散為：nLfngn此過程的主要目的在于將算子方程轉(zhuǎn)為代數(shù)方程，詳細(xì)步驟以下：(1)在算子L的定義域內(nèi)適合的選擇一組基函數(shù)，f1,f2,f3.fn，他們應(yīng)當(dāng)是線性沒關(guān)的。將未知函數(shù)f(x)表示為該組基函數(shù)的線性組合，并取有限項近似，即:f(x)N(2-1)nfnfNxnfnn1n1(3)將公式（2-1）利用算子的線性，可將算子方程化為代數(shù)方程，即:N(2-2)nL(fn)gn1于是，待求f(x)的問題化解為求解fn的系數(shù)n的問題。(二)取樣查驗過程為了使f(x)的近似函數(shù)fNx之間的偏差極小，一定進(jìn)行抽樣查驗，在抽樣點上使加權(quán)均勻偏差為零，從而確立未知系數(shù)n，這一過程的

9、基本步驟以下：(1)在算子L的值域內(nèi)取適合的選擇一組加權(quán)函數(shù)w1,w2,w3.wn，他們也是線性沒關(guān)的。(2)將wm與式（2-2）取內(nèi)積進(jìn)行抽樣查驗，因為要確立N個未知數(shù)，需要進(jìn)行N次抽樣查驗，則NnL(fn),wmg,wm(m1,2,3.N)（2-3）n1(3)利用算子的線性和內(nèi)積的性質(zhì)，將（2-3）式轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃嚪匠?，?N（2-4）nL(fn),wmg,wm(m1,2,3.N)（選配過程）n1將它寫成矩陣形式：lmnngn(2-5)于是，求解代數(shù)方程問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩仃嚪匠痰膯栴}。(三)矩陣求逆一旦求得了矩陣方程，經(jīng)過慣例的矩陣求逆或求解線性方程組，就能夠獲取矩陣方程的解。假如lmn是非奇怪

10、的，則它的逆矩陣lmn1是存在的，則矩陣方程的解為：1（2-6）nlmngm將求得的睜開系數(shù)n帶入到（2-1）式中，就能夠獲取本來算子方程的近似解為：NfNxnfn(x)(2-7)n1以上所述是矩量法求解算子方程的基本過程，在矩量法的全部應(yīng)用中，往常都要按照這個一致的過程。因為f(x)和fNx之間存在近似，故算子方程的左端近似值與右端精準(zhǔn)值之間存在以下關(guān)系：NxnL(fn(x)g(x)（2-8）n1三基函數(shù)與權(quán)函數(shù)的選擇矩量法的求解過程是簡單的，求解步驟是一致的，應(yīng)用起來比較方便。求解精度取決于好多要素，比如失散化的成都、基函數(shù)和權(quán)函數(shù)的選用和矩陣的求解過程等，此中基函數(shù)與權(quán)函數(shù)的選擇特別重要

11、，能夠直接影響到求解的精度。基函數(shù)能夠分為全域基和分域基，權(quán)函數(shù)能夠分為權(quán)函數(shù)、分域權(quán)和點般配，它們之間的不一樣組合便形成不一樣的方法。下邊簡單的對此進(jìn)行介紹。1、全域基函數(shù)：全域基函數(shù)是指算子L定義域內(nèi)的全域上存在一組基函數(shù)。他們應(yīng)當(dāng)知足界限條件。在矩量法求解的失散化過程中，選擇全域基函數(shù)作為睜開函數(shù)，實質(zhì)大將未知函數(shù)表示為全域存在的若干個失散化基函數(shù)的線性組合。2、分域基函數(shù)：分域基函數(shù)不是在算子L定義域的全域上存在的，而只是存在于算子定義域的各個分域上的函數(shù)。選擇分域基函數(shù)作為未知函數(shù)的睜開函數(shù)，在矩量法求解的失散化過程中是一種地區(qū)失散，即未知函數(shù)表示為各個分域上存在的函數(shù)線性組合。3、

12、全域權(quán)：在算子L的值域內(nèi)選擇一組權(quán)函數(shù)w1,w2,w3.wm，它是一組在L值域內(nèi)的全域上存在的權(quán)函數(shù)。在此方法中，如果選擇wnfn，即權(quán)函數(shù)等于基函數(shù)，則稱此方法為伽略金法。4、點般配:全域基、全域權(quán)的伽略金發(fā)是一種常用的求解方法。可是，假如算子自己是復(fù)雜的積分算子，或許選擇了比較復(fù)雜的基函數(shù)，因為內(nèi)積運算自己又是積分運算，從而使矩陣元素lmn和gm的形成十分困難。這時為了簡化，我們能夠利用函數(shù)的選擇性將函數(shù)作為權(quán)函數(shù)將使內(nèi)積計算得以簡化。四算例問題：計算帶電導(dǎo)體板的電容。正方形板，邊長為2a，位于z0。空間中隨意一點電位(x,y,z)aax,ydxdy，此中aa40RR(xx)2(yy)2(

13、zz)2。在板上V為常數(shù)，有Vaax,y，此中電荷散布x,y為待求，dxdy40RaaR(xx)2(yy)2，電容為：Cq1aady。計算當(dāng)a4時方板的歸一化電容C。dxx,yVVaa2a1選用分域基：方板各邊N平分，2b2a，此中MN2個子域。定義：N1，此中在Sn上為1，不然為0。將x,ynN2帶入fnnfn0n1Vadxadyx,y中，有aa40RnN2Vlmnn，n1此中l(wèi)mnadxady1。lmn是Sn上單位振幅的均aa40(xx)2(yy)2勻電荷密度在Sm的中心處產(chǎn)生的電位。所以有C1nN21SnnSnlmnVn1m,n物體的電容式其各小塊電容的總和加上每一對小塊間的互電容。Lf

14、Lx,yadxax,yVdyaa40(xx)2(yy)22取wm(xxm)(yym)lmnN2N2nN21VN21nN21lmn1V1SnnSn1Mlmn11M1CMMV3lmn的計算：lnn：由Sn自己面上的單位電荷密度在此中心處產(chǎn)生的電位（自作用單元）bblnnbdxb12bdyln1240 x2y20而互作用單元：lmndxdySnxm)2(yym)240(xnxm)2(ynym)2Sn40(x經(jīng)過計算模擬能夠發(fā)現(xiàn)當(dāng)N取值越大時，結(jié)果將趨近于一個定值。當(dāng)N為20時，計算獲取歸一化電容為40.29PF，特別靠近理論計算值40PF，偏差為0.725%，在偏差同意范圍內(nèi)。程序：#pragmao

15、nceclassMartixprivate:constintM;constintN;boolflag;double*array;public:Martix(double*_array,int_M,int_N):M(_M),N(_N)array=_array;flag=false;Martix(int_M,int_N):M(_M),N(_N)flag=true;array=newdouble*M;for(inti=0;iM;i+)arrayi=newdoubleN;for(inti=0;iM;i+)for(intj=0;jN;j+)arrayij=0;MartixGauss();voidshow

16、();voidswap(inti,intj);intMax(inti);Martixoperator+(Martix&T);Martixoperator-(Martix&T);Martixoperator*(Martix&T);Martixoperator*(doublet);friendMartixoperator*(doublet,constMartix&T)Martixsum(T.M,T.N);for(inti=0;iT.M;i+)for(intj=0;jarray;intGetM()returnthis-M;intGetN()returnthis-N;boolGetFlag()retu

17、rnthis-flag;Martix();#includeMartix.h#include#includeusingnamespacestd;voidMartix:show()for(inti=0;iM;i+)coutfixedright;for(intj=0;jN;j+)coutsetw(10)setprecision(6)arrayij;coutendl;MartixMartix:Gauss()Martixsum(M,N);for(inti=0;iN;i+)sum.arrayii=1;for(inti=0;iN;i+)if(abs(arrayii)=0.00001&iM-1)if(abs(

18、arrayMax(i)i)=0.00001)continue;intcount=Max(i);swap(i,count);sum.swap(i,count);elseif(abs(arrayii)0.00001&i=N-1)cout沒有逆矩陣endl;exit(0);/*cout變換前show();*/doubletemp=arrayii;for(intj=0;jN;j+)arrayij=arrayij/temp;sum.arrayij=sum.arrayij/temp;for(intk=i+1;k=0.00001)for(intj=0;jN;j+)arraykj=arraykj-temp*a

19、rrayij;sum.arraykj=sum.arraykj-temp*sum.arrayij;doublet=abs(array00);for(inti=1;iarrayii);if(abs(t)=0.0001)cout沒有逆矩陣=0;i-)for(intj=0;jN;j+)for(intk=i+1;kN;k+)sum.arrayij=sum.arrayij-arrayik*sum.arraykj;returnsum;voidMartix:swap(inti,intj)doubletemp=0;for(intk=0;kM,this-N);for(inti=0;iM;i+)for(intj=0

20、;jarrayij;returnsum;MartixMartix:operator+(Martix&T)Martixsum(T.M,T.N);if(M!=T.M|N!=T.N)cout錯誤endl;for(inti=0;iM;i+)for(intj=0;jarrayij+T.arrayij;returnsum;MartixMartix:operator-(Martix&T)Martixsum(T.M,T.N);if(M!=T.M|N!=T.N)cout錯誤endl;for(inti=0;iM;i+)for(intj=0;jarrayij-T.arrayij;returnsum;MartixMa

21、rtix:operator*(Martix&T)Martixsum(T.M,T.N);if(N!=T.M)cout錯誤endl;for(inti=0;iM;i+)for(intj=0;jT.N;j+)for(intk=0;karrayik*T.arraykj;returnsum;MartixMartix:operator*(doublet)Martixsum(this-M,this-N);for(inti=0;iM;i+)for(intj=0;jN;j+)sum.arrayij=this-arrayij*t;returnsum;intMartix:Max(inti)intcount=i;doubletemp=abs(arrayii);for(intk=i+1;kN;k+)if(tempabs(arrayki)temp=arrayki;while(temp!=abs(arraycounti)count+;returncount;Martix:Martix()#include#include#include#includeMartix.husingnamespacestd;constdoublepi=3.1