線性代數(shù)前四章復(fù)習(xí)市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

1、行列式性質(zhì)性質(zhì)2 行列式中某一行全部元素公因子能夠提到行列式記號(hào)外面.（倍乘）性質(zhì)1 行列式與它轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)4 對(duì)換兩行, 行列式值反號(hào). （對(duì)調(diào)改變符號(hào)）性質(zhì)3 若行列式某一行元素都是兩數(shù)之和, 則該行拆開(kāi), 原行列式能夠表為對(duì)應(yīng)兩個(gè)行列式之和.性質(zhì)6 把行列式某一行各元素乘以同一數(shù)加到另一行對(duì)應(yīng)元素上去, 行列式值不變. （倍加不改變行列式）性質(zhì)5 若有兩行元素對(duì)應(yīng)成百分比, 則行列式值為零. 設(shè) A, B 為 n 階矩陣, 則有 | AB | = | A | | B | . 行列式第1頁(yè)Laplace 按行列展開(kāi)定理 行列式等于某一行(列)元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和. 即 設(shè)

2、 A = (aij)為 n 階方陣, 則有第2頁(yè)矩陣1. 矩陣定義一些特殊矩陣：零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、三角陣、對(duì)角陣、數(shù)量陣、單位陣第3頁(yè)2. 矩陣基本運(yùn)算矩陣相等:同型矩陣：兩個(gè)矩陣行數(shù)相等、列數(shù)也相等兩個(gè)矩陣同型，且對(duì)應(yīng)元素相等矩陣加（減）法、數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘：乘法滿足：矩陣乘法不滿足：交換律、消去律第4頁(yè) A是n 階方陣， 方陣冪：方陣多項(xiàng)式：而且（m,k為正整數(shù)）方陣行列式：滿足:第5頁(yè)轉(zhuǎn)置矩陣:一些特殊矩陣: 把矩陣 行換成同序數(shù)列得到 新矩陣，叫做 轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .滿足：對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣：冪等矩陣： 為n階方陣，且第6頁(yè)伴隨矩陣：若若若第7頁(yè)3. 逆矩陣定義

3、：A為n階方陣，若存在n階方陣,使得則稱矩陣A是可逆（非奇異、非退化、滿秩）矩陣B稱為矩陣A逆矩陣。唯一性： 若A是可逆矩陣，則A逆矩陣是唯一.判定定理:n階方陣A可逆且推論：設(shè)A、B為同階方陣，若則A、B都可逆，且第8頁(yè)滿足規(guī)律：逆矩陣求法：（1）待定系數(shù)法（2）伴隨矩陣法（3）初等變換法分塊矩陣運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣運(yùn)算規(guī)則相類似4. 分塊矩陣第9頁(yè)5. 初等變換對(duì)調(diào)變換、倍乘變換、倍加變換三種初等變換都是可逆，且其逆變換是同一類型初等變換矩陣等價(jià)：假如矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與矩陣B等價(jià)。記作初等矩陣： 由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到方陣 稱為初等矩陣. 與矩陣相同、

4、協(xié)議相互比較定理：第10頁(yè)解矩陣方程初等變換法(A、B可逆)矩陣方程解第11頁(yè)、秩（A）：A不等于0子式最高階數(shù)。、秩基本關(guān)系式：、關(guān)于秩主要結(jié)論：6、矩陣秩第12頁(yè)、秩求法：1）初等變法：2）若P可逆，則4 )當(dāng) 時(shí)，5 )第13頁(yè)4) 矩陣秩等式證實(shí)（1）證思緒（2）證思緒則則有r階子式不為0全部r+1階子式全為0第14頁(yè)比如：設(shè) 為 階矩陣，為 階單位矩陣。證實(shí)：證：綜上，第15頁(yè)一. 向量組線性相關(guān)性1. 向量間線性運(yùn)算：加法、數(shù)乘。2. 線性組合、線性表示(1) 判斷向量 可由向量組 線性表示慣用方法方法1：只要證出就可得出向量組線性相關(guān)性第16頁(yè)(2) 在判斷或證實(shí)中，慣用到兩個(gè)主

5、要結(jié)論結(jié)論1：向量 可由向量組 線性表示結(jié)論2：若向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量 必能由向量組 線性表示，且表示式唯一。方法2：證以下非齊次線性方程組有解方法3：利用矩陣初等行變換行最簡(jiǎn)形矩陣第17頁(yè)(2) 利用慣用結(jié)論：1個(gè)零向量線性相關(guān)；一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)。2個(gè)非零向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)分量成百分比n1個(gè)n維向量線性相關(guān)。部分相關(guān) 整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān) 部分無(wú)關(guān)。3. 線性相關(guān)性判別方法(1) 普通方法：設(shè)數(shù)使得成立轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組是否有非零解問(wèn)題。原向量組無(wú)關(guān)，維數(shù)增加后得到新向量組依然無(wú)關(guān)；原向量組相關(guān)，維數(shù)降低后得到新向量組依然相關(guān)。第18頁(yè)(3) 利用向量組秩判斷：設(shè)向量組

6、秩為當(dāng) 時(shí)， 線性無(wú)關(guān)。當(dāng) 時(shí)， 線性相關(guān)；4. 極大無(wú)關(guān)組選取或證實(shí)(1) 初等變換法（最慣用）將列向量組寫(xiě)成矩陣初等行變換行階梯或行最簡(jiǎn)形矩陣一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，比如：求向量組并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。第19頁(yè)解：是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組而且考慮：還有那些極大無(wú)關(guān)組？初等行變換一定要化成最簡(jiǎn)型不能用列變換第20頁(yè)(2) 極大無(wú)關(guān)組證實(shí)方法1：利用定義線性無(wú)關(guān)；其它向量都可由線性表示。（即向量組中任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān)）方法2：已知是向量組A一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，又A中部分組與等價(jià)，則也是A一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。比如：設(shè)是向量組A極大無(wú)關(guān)組，且證實(shí) 也是A極大無(wú)關(guān)組。第21頁(yè)證實(shí)： （即證 與 等價(jià)）向量組 可由向量組 線性表示。又向量組 可由向量組 線性表示。兩個(gè)向量組等價(jià)也是極大無(wú)關(guān)組。第22頁(yè)二