自動控制原理3市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

1、5.4 乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（1）乃氏判據(jù)是依據(jù)開環(huán)頻率特征判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性一個幾何判據(jù)。（2）乃氏判據(jù)不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)特征根，當系統(tǒng)一些步驟（延遲）無法用分析法寫出時，能夠經(jīng)過試驗法取得系統(tǒng)開環(huán)頻率特征來判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。（3）乃氏判據(jù)能給出系統(tǒng)穩(wěn)定裕量（幅值裕量、相位裕量）來描述系統(tǒng)相對穩(wěn)定性，能指出提升和改進系統(tǒng)動態(tài)性能路徑，因而這種方法在工程上取得廣泛應(yīng)用。（4）依據(jù)：映射（幅角）原理和系統(tǒng)穩(wěn)定條件。5.4.1 引言乃氏判據(jù)特點：本節(jié)主要內(nèi)容：乃氏判據(jù)、穩(wěn)定裕量及計算。第1頁先看下面對應(yīng)關(guān)系所以，可稱GH中(-1,j0)點為使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定開環(huán)臨界點。第2頁5.4.2 幅角原理映射原理(1

2、) 輔助函數(shù)F(s)設(shè)則：GK(s)=Dk(s)=N1(s)N2(s)第3頁引入輔助函數(shù)復變函數(shù)F (s)特點：其零點是閉環(huán)極點，其極點是開環(huán)極點，所以F(s)零、極點個數(shù)（用Z表示）相同。系統(tǒng)穩(wěn)定條件是閉環(huán)全部極點即 F (s)全部零點全部位于s左半平面。第4頁5(2) 幅角原理（映射原理） 對于s內(nèi)任一封閉曲線s ，在F(s)內(nèi)都能映射出另一封閉曲線F；當s包圍F(s)Z個零點和P個極點，且s不經(jīng)過F(s)任何零、極點時，則當s順時針方向沿 s轉(zhuǎn)一圈時，F(xiàn) 逆時針包圍其坐標原點N圈，且N=P-Z。 以下列圖說明： sjs0FjF(s)0Z iP lF(s)零點（Z個） 極點（P個）N圈第5

3、頁6(3) 乃氏路徑及映射 選取s右半平面邊界限為s，稱為乃氏路徑。如圖有：=-j0-0+j-j 即：乃氏路徑=虛軸+半徑為半圓而半徑為半圓可表示為：因nm，所以此時有：或1+K 可見：s內(nèi)乃氏路徑即s曲線在F(s)內(nèi)映射即F曲線只決定于虛軸，即=-j0-0+j部分。而此時F即F(j)曲線。第6頁 尤其說明：在奈氏路徑中，= -0- 和= 0+是關(guān)于實軸對稱，所以普通只需畫出=0+虛軸及其在F(s)平面映射部分即可，為使奈氏判據(jù)使用起來簡單，下面討論均指=0+虛軸及其映射部分。 (4) F(s)與GH 映射關(guān)系F(s)=1+ G(s)H(s) G(s)H(s)= -1+ F(s) F(s)坐標

4、原點 GH 即為（-1, j0）點 所以： 當=0+改變時，F(xiàn)(s)內(nèi)F逆時針包圍其坐標原點圈數(shù)N=乃氏曲線G(j)H(j)逆時針包圍GH 內(nèi)（-1，j0）點圈數(shù)。即有下面對應(yīng)關(guān)系：s F GH =0+s第一象限邊界限 乃氏曲線G(j)H(j) F(j)曲線對應(yīng)=0+部分第7頁8 由此，幅角原理能夠敘述為： 假如某系統(tǒng)在s右半平面中含其閉環(huán)傳遞Z個極點和開環(huán)傳函P個極點時，則s右半平面包絡(luò)線在GH中映射就是系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線G(j)H(j)，而且當=0+改變時，奈氏曲線G(j)H(j)逆時針方向包圍（-1, j0）點圈數(shù)為：其中： N F (s)內(nèi)F逆時針包圍其坐標原點圈數(shù)，即GH 內(nèi)乃氏曲線逆

5、時針包圍（-1，j0）點圈數(shù)。 P s內(nèi)F (s)極點數(shù)即s右半平面開環(huán)極點數(shù)。 Z s內(nèi)F (s)零點數(shù)，即 s右半平面閉環(huán)極點數(shù)。 顯然Z=0時系統(tǒng)穩(wěn)定。此時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件可表述為：N = P/2。 第8頁 0型系統(tǒng) 特點：系統(tǒng)開環(huán)傳函不含0極點，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 奈氏判據(jù)：當=0改變時，開環(huán)奈氏曲線逆時針包圍（-1, j0）點圈數(shù)N = P/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；不然不穩(wěn)定，此時不穩(wěn)定閉環(huán)特征根個數(shù)為Z = P-2N。 設(shè)P為系統(tǒng)開環(huán)傳函右半平面極點數(shù)，N為乃氏曲線逆時針包圍臨界點（-1，j0）圈數(shù)。則乃氏穩(wěn)定判據(jù)為：5.4.3 乃氏穩(wěn)定判據(jù) 非0型系統(tǒng) 特點：系統(tǒng)開環(huán)傳函含有0極點，

6、開環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。 說明：開環(huán)傳函含有零極點因子，相當于s 經(jīng)過了F(s)零極點，這不符合幅角原理要求，所以不能直接應(yīng)用奈氏判據(jù)，需要做一些數(shù)學處理。 第9頁 如圖所表示，可用半徑為無窮小1/4圓弧“代替”s=0極點。這1/4圓弧可表示為： 開環(huán)傳函含有0極點因子數(shù)學處理： 此時，開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為： 可見，當s 沿半徑為無窮小圓弧從j0改變到j(luò)0+時，奈氏曲線則在無窮遠處由0改變到-90，即順時針方向改變角度為90。 所以，若開環(huán)系統(tǒng)含有個積分步驟，在應(yīng)用奈氏判據(jù)時，應(yīng)先繪出=0+奈氏曲線，再從=0+開始逆時針補畫一個半徑為，相角為90大圓弧增補線（至=0處），作為奈氏曲線起始部分，然

7、后再依據(jù)0型系統(tǒng)奈氏判據(jù)方法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 第10頁乃氏穩(wěn)定判據(jù)使用說明：(1) 乃氏曲線 0型系統(tǒng)乃氏曲線在= 0點是封閉（加上實軸一部分），無需作輔助線；對于非0型系統(tǒng)，乃氏曲線= 0點不封閉，需做輔助線，方法是從=0+開始逆時針作半徑為，角度為90圓弧至=0。(2) 開環(huán)右半平面極點數(shù)P可依據(jù)已知開環(huán)傳函確定。(3) 乃氏曲線逆時針包圍(-1，j0)點時，N為正；反之N 為負。(4) 乃氏曲線穿過（-1，j0）點時，閉環(huán)臨界穩(wěn)定，此時N是不定。第11頁乃氏穩(wěn)定判據(jù)中N簡易判斷方法 穿越法 因為開環(huán)奈氏曲線逆時針包圍(-1, j0)點一圈，則其必定由上向下穿越(-1, j0)左邊負實軸一

8、次，所以可利用=0改變時開環(huán)奈氏曲線上、下穿越(-1, j0)點左邊負實軸次數(shù)來計算N，從而判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。 將開環(huán)奈氏曲線從上而下，即逆時針穿越(-1, j0)左邊負實軸稱為正穿越一次，用N+表示，反之稱為負穿越一次，用N- 表示。假如奈氏曲線起始或終止于(-1, j0)點以左負實軸上，則稱為半次穿越，一樣有+0.5次穿越和-0.5次穿越。 第12頁 則開環(huán)奈氏曲線在=0改變時，逆時針方向包圍(-1, j0)點圈數(shù)為： N = N+ - N- 【例題分析】見P138-140例5-75-10。練習：P159習題5-7。作業(yè)：P159-160習題5-6，5-8。本節(jié)結(jié)束！第13頁5.5 控制

9、系統(tǒng)相對穩(wěn)定性即：穩(wěn)定裕量及指標1. 開環(huán)頻率特征圖上系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點（線） (-1，j0)為乃氏圖上使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定開環(huán)臨界點。 對應(yīng)Bode圖上為兩條臨界穩(wěn)定線：幅頻臨界限相頻臨界限第14頁2. 定義兩個主要頻率： 截止頻率 c：開環(huán)乃氏圖上對應(yīng)于幅值為臨界值1點頻率或 幅頻Bode圖與臨界限0db線（軸）交點頻率。表示式為：A(c)=1或L(c)=0dB。穿越頻率 x：開環(huán)乃氏圖上對應(yīng)于相位為臨界值-180點頻率或相頻Bode圖與-180臨界限交點頻率。 表示式為： ( x)= -180 。3. 穩(wěn)定裕量定義：在頻率特征圖中，穩(wěn)定裕量是指系統(tǒng)穩(wěn)定運行點到臨界穩(wěn)定點（臨界穩(wěn)定線）之間“距離”。

10、在實際工程系統(tǒng)中慣用相位裕量和增益裕量h表示。第15頁 相位裕量又稱相角裕量(Phase Margin) ：定義：相位裕量是指在截止頻率 c處，使系統(tǒng)到達不穩(wěn)定時所需要附加相角滯后量。 定義表示式：物理意義： 幅值裕量又稱增益裕量(Phase Margin)h：定義：增益裕量是指在穿越頻率 x處，使系統(tǒng)到達不穩(wěn)定時，開環(huán)頻率特征幅值還能夠增加倍數(shù)。物理意義：第16頁0Kg1乃氏圖上相位裕度與幅值裕度（a）穩(wěn)定系統(tǒng)-1MN1負相位裕度（b）不穩(wěn)定系統(tǒng)MN0Kg1M點N點第17頁Bode圖上相位裕度與幅值裕度0dB20lgh0dB（a）穩(wěn)定系統(tǒng)( c x)0dB20lgh0dB（b）不穩(wěn)定系統(tǒng)(

11、c x)第18頁結(jié)論： 依據(jù)穩(wěn)定裕量指標可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 0，h1或20lgh 0dB時系統(tǒng)穩(wěn)定 0 ，h=1或20lgh= 0dB 時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定； 0，h1或20lgh 0dB 時系統(tǒng)不穩(wěn)定； 對最小相位系統(tǒng)，因為與h（20lgh）有唯一對應(yīng)關(guān)系，所以，可只用相位裕量來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。普通工程要求：=30 60； 20lgh=610dB。第19頁相對穩(wěn)定性在乃氏圖與Bode圖中比較（a）系統(tǒng)穩(wěn)定（b）系統(tǒng)臨界穩(wěn)定（c）系統(tǒng)不穩(wěn)定第20頁 兩種特殊情況 處理：（a）曲線與單位圓有三個交點，其相角裕度值各不相同；（b）曲線與負實軸有三個交點，其幅值裕度值也各不相同。 對以上兩種特殊情況，普通以

12、最壞情況考慮。第21頁 依據(jù)定義首先計算兩個截止頻率c和g： c計算： 方法1：依據(jù)開環(huán)傳函由各轉(zhuǎn)折頻率分段，寫出近似表示式，令A(yù)(c)=1c； 方法2：先繪幅頻Bode圖L() 三角形關(guān)系c。 x 計算： 方法1：令(x)=-180 x； 方法2：G(j) H(j)=P() +jQ() 令Q()=0 x。 分別計算和h：計算： 兩種穩(wěn)定裕量 計算：第22頁h計算：4. Bode圖與系統(tǒng)性能關(guān)系： 低頻段K，穩(wěn)態(tài)性能且K、e ss穩(wěn)態(tài)性能低頻段越高、越陡中頻段c和c處斜率及中頻寬動態(tài)性能ct s動態(tài)快速性且c t s快速性c處斜率相對穩(wěn)定性，要求為-20dB/dec且所占頻帶越寬，系統(tǒng)穩(wěn)定性越

13、好。第23頁- 20dB/dec系統(tǒng)一定穩(wěn)定且也較大。 - 40dB/dec系統(tǒng)可能穩(wěn)定也可能不穩(wěn)定，即使穩(wěn)定，也不大。 - 60dB/dec系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。 高頻段：反應(yīng)系統(tǒng)抗高頻噪聲能力。 高頻段越陡，抗干擾能力越強?！纠}分析】 已知單位負反饋系統(tǒng) ，試求和h。計算結(jié)果：c2.2s-1，0.4；x2.2s-1，h1(0dB)作業(yè)：P160習題5-12，5-17。第24頁5.8 閉環(huán)頻率特征與時域性能指標5.8.1 閉環(huán)頻率特征主要性能指標圖5.59 一單位負反饋系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特征與相頻特征為：閉環(huán)系統(tǒng)對數(shù)幅頻特征為：第25頁 M0=1時系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)，不然為有靜差系統(tǒng)。M(0)越靠近

14、1，則有差系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差越小。 零頻幅值M0定義：=0時閉環(huán)幅頻特征M()值。即:意義：零頻幅值M0表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能。 諧振峰值M r 和峰值頻率r 定義：Mr定義為閉環(huán)幅頻特征最大值 Mm與零頻幅值M0之比。即：第26頁意義：Mr表征系統(tǒng)相對穩(wěn)定性；r表征系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)速度。 Mr相對穩(wěn)定性；r快速性 。r是對應(yīng)于諧振峰值處頻率 。 帶寬頻率（帶寬） 定義：閉環(huán)幅頻特征幅值減小到0.707M0時頻率。 意義：反應(yīng)系統(tǒng)對噪聲濾波特征。b越大，頻帶越寬，表明系統(tǒng)能經(jīng)過信號頻率很寬，反應(yīng)速度快；b越小，表明系統(tǒng)只能經(jīng)過低頻信號，反應(yīng)速度慢，但抑制輸入信號高頻噪聲能力越強。 第27頁閉環(huán)幅頻特征、相頻特征為：5.8.2 二階系統(tǒng)頻域指標與時域指標第28頁 平穩(wěn)性指標：諧振峰值Mr與超調(diào)量 關(guān)系由圖能夠看出：Mr平穩(wěn)性而：第29頁 快速性指標：帶寬頻率b、諧振頻率r與ts、tp關(guān)系 經(jīng)過前面公