橋梁結(jié)構(gòu)理論與計(jì)算方法 第十二章 薄壁箱梁畸變理論課件

1、薄壁箱梁的畸變理論畸變荷載用靜力平衡法推導(dǎo)直腹板箱梁畸變微分方程用能量變分法推導(dǎo)斜腹板箱梁的畸變微分方程畸變微分方程的邊界條件及其求解方法小結(jié)本章參考文獻(xiàn) 畸變是伴隨扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的，由于畸變的存在，截面發(fā)生翹曲而在縱向產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力 和翹曲剪應(yīng)力 ，同時(shí)在橫向還產(chǎn)生橫向框架應(yīng)力畸變荷載 箱形梁在偏心荷載作用下會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)，能引起這種變形的荷載不外乎是豎直偏心荷載、水平偏心荷載和在自重作用下由于支點(diǎn)傾側(cè)（所謂三條腿）產(chǎn)生的扭矩等三種荷載。這三種荷載都可以通過荷載分解得到剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載。 (1) 直腹板箱梁 如下圖所示的豎向反對(duì)稱荷載為 ，經(jīng)荷載分解所得的剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載 豎向

2、反對(duì)稱荷載的分解 圖所示的水平向偏心荷載 ，設(shè)其與截面扭轉(zhuǎn)中心的距離為 ，則按力學(xué)原理。扭矩 可用角點(diǎn)反對(duì)稱荷載來代替。經(jīng)分解后得到剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載為 水平荷載的分解 （2） 斜腹板箱梁如圖所示的斜腹板箱梁上承受反對(duì)稱角點(diǎn)荷載，經(jīng)分解后也可得到剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載。在假定剪應(yīng)力沿板厚均勻分布下，箱梁中剪力流為斜腹板箱梁豎向反對(duì)稱載的分解 剛性扭轉(zhuǎn)荷載： 畸變荷載：相應(yīng)于畸變翹曲的內(nèi)外力稱為各板元的平面內(nèi)力系。用以計(jì)算畸變位移的物理量如圖所示，角點(diǎn)位移為 及 ，若令箱梁、畸變荷截與畸變位移則得到畸變角 與畸變位移的關(guān)系為此畸變角是畸變分析唯一獨(dú)立變量此外，在結(jié)構(gòu)分析中還假定：組成箱形梁的

3、各板沿自身平面的撓曲滿足平截面假定，可應(yīng)用初等梁理論計(jì)算其撓度和撓曲應(yīng)力；翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布。（2） 各板元平面內(nèi)力系分析沿縱向從箱形梁中取出的一微段單元，并把截?cái)嗵幱孟鄳?yīng)的內(nèi)力代替，如下圖所示。根據(jù)平截面假定，箱梁截面的翹曲應(yīng)力可視為各板元平面內(nèi)的撓曲應(yīng)力，并沿周邊直線變化，如圖a)所示。令 為翹曲應(yīng)力，由于翹曲應(yīng)力在截面內(nèi)自相平衡，故應(yīng)滿足以下條件平面內(nèi)平 衡條件式各板元平面內(nèi)力系 a)翹曲應(yīng)力 b)各板元平面內(nèi)力系因截面對(duì)稱于 軸，而應(yīng)力反對(duì)稱于 軸，所以平衡條件式的第一、三式自然滿足，并且上、下板中點(diǎn)處的翹曲應(yīng)力為零。令左腹板頂點(diǎn)翹曲應(yīng)力 與底點(diǎn)翹曲應(yīng)力之比為 ，根據(jù)平衡

4、條件式第二式得令 ，則 各板元平面內(nèi)彎矩和剪力如圖b)所示，根據(jù)各板元在其自身平面內(nèi)的受力平衡條件，可以得到下列公式頂板：由 、 得令 則得底板：由 、 得左腹板：由 、 得 令 則得消去T1，T2有而再消去Qi并整理得由于角點(diǎn)處頂板與腹板、底板與腹板具有相同的翹曲應(yīng)力。根據(jù)初等梁理論的撓曲應(yīng)力公式，可得到角點(diǎn)翹曲回代并消去M1，M2整理得到 根據(jù)基本假定，箱形梁各板元沿自身平面的橫向撓曲滿足初等梁理論，所以得到各板元內(nèi)彎矩和位移的關(guān)系為 根據(jù)畸變角 和畸變位移的關(guān)系可得到在上式中消去M1，M2得從而得到板元平面彎矩和畸變角的關(guān)系式為 經(jīng)兩次微分得 消去M3得 此方程是根據(jù)箱形梁在畸變荷載作用

5、下，產(chǎn)生軸向翹曲位移及相應(yīng)的力系（各板元平面內(nèi)力系）平衡條件推導(dǎo)得到的畸變微分方程。 各板元平面外力系 a)框架變形； b)平面外力系 底板力矩平衡得腹板力矩平衡得 整理得上列兩式合并，得到 和 的關(guān)系為框架中的節(jié)點(diǎn)是剛性固結(jié)的，因此組成框架的各板元相當(dāng)于兩端嵌固的梁。根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)的坡度撓度公式，可得到橫向彎矩 與橫向撓曲位移的關(guān)系式中： 沿軸向單位長(zhǎng)度的板橫向抗彎慣 性矩， 。 、 框架 、 節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角由 得到 由 得到上列兩式合并整理得將 、 分別代入 和 的表達(dá)式中有將mAD，mBC代入qy整理得框架抗彎剛度 令 得 則（4） 畸變平衡微分方程由箱形梁各板元組成的框架抵抗橫向撓曲作用（即各

6、板元平面外力系）推導(dǎo)得到代入微分方程并經(jīng)整理得引入畸變雙力矩的概念，則稱為箱形梁畸變翹曲剛度箱形梁的畸變雙力矩用能量變分法推導(dǎo)斜腹板箱梁的畸變微分方程取如下圖所示的箱梁橫截面，坐標(biāo)系同第上節(jié)，則當(dāng)梁受偏心荷載發(fā)生畸變時(shí)，各板在自身平面內(nèi)發(fā)生翹曲，產(chǎn)生畸變翹曲應(yīng)變能。同時(shí)橫向框架有橫向翹曲，產(chǎn)生框架畸變應(yīng)變能。（1） 畸變應(yīng)變能 （a）橫截面框架畸變應(yīng)變能現(xiàn)取沿跨徑方向單位長(zhǎng)度 一段箱梁分析，并設(shè)角點(diǎn)2處的畸變角為 ?？蚣苡捎诨兘?所具有的應(yīng)變能與梁上板發(fā)生的水平位移 a 所產(chǎn)生的應(yīng)變能是等同的。當(dāng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱，而外部影響因素（例如位移）是反對(duì)稱的，框架中由于水平位移引起的橫向彎矩也是反對(duì)稱的，如

7、下下圖b)所示。 斜腹板單室箱梁 框架求解 用圖乘法知 由圖知， 點(diǎn)的水平位移 為水平位移及豎向位移求解 但由于水平位移為 作用力是則角點(diǎn) 的橫向彎矩為 分別為單位長(zhǎng)度上各板的慣性矩因此，橫向框架畸變應(yīng)變能式中：（b）畸變翹曲應(yīng)變能 符拉索夫采用虛功原理分析薄壁多箱式直桿時(shí)，曾做了三個(gè)基本假定，它們是： 薄壁桿所屬各板在橫截面內(nèi)的長(zhǎng)度不變 橫截面內(nèi)各板的法向位移沿該板的橫向長(zhǎng)度服從線性變化規(guī)律 在橫截面上各板的法向應(yīng)力 與剪應(yīng)力 沿板厚認(rèn)為是常量 因?yàn)榛儜?yīng)力在水平與豎向軸的力矩均為零，故翹曲應(yīng)力也是自相平衡的，故有設(shè) ，則由下圖知即 兩邊懸臂長(zhǎng)度之和翹曲應(yīng)力 、 已知 同理 ,即整理后解得

8、在角點(diǎn)處，由于頂板與腹板，底板與腹板存在翹曲應(yīng)力。 ， , 的關(guān)系式可寫成如下表達(dá)式，下圖所示為板塊慣矩如果各板塊沿周向的變位為 ， ， ， ，看作是板梁翹曲時(shí)在自身平面內(nèi)的撓度，根據(jù)初等梁的彎曲理論，則將畸變角 用 方向的位移表示（圖示）翹曲應(yīng)力引起的彎矩 經(jīng)過整理后，則有將上式求導(dǎo)，并將v1，v2，v3，v4式代入，整理后得到 則翹曲應(yīng)變能為已知?jiǎng)t 為對(duì)于頂板對(duì)于底板對(duì)于腹板 令 +（c）荷載勢(shì)能 （d）結(jié)構(gòu)畸變總勢(shì)能當(dāng)忽略剪切變形的應(yīng)變能時(shí)，箱梁在畸變荷載作用下的總勢(shì)能可由周邊橫向彎曲應(yīng)變能 ，板平面內(nèi)翹曲應(yīng)變能和荷載勢(shì)能 三個(gè)部分組成，即（2） 畸變微分方程（a） 的極值條件如果總勢(shì)能

9、的表達(dá)式為根據(jù)歐拉拉格朗日（Euler-Lagrange）條件式， 取得極值的必要條件為很明顯， 、 、 及 均為跨徑方向 函數(shù)（b）常截面控制微分方程將上列諸式代入歐拉拉格朗日條件式中得到令 則有如果引入畸變雙力矩的概念，則（c）變截面控制微分方程同樣利用歐拉拉格朗日的條件式，不過 也是 的變量，則故變截面畸變控制微分方程式為 對(duì)于如圖所示的雙室矩形箱梁，其畸變微分方程式亦為 雙室矩形箱梁 (d)雙室矩形箱梁其畸變微分方程畸變微分方程的邊界條件及其求解方法(1) 邊界條件在工程上，常用的邊界條件有：支點(diǎn)為剛性固定支承，則 簡(jiǎn)支梁端部設(shè)置剛性橫隔梁時(shí)，則自由懸臂端且無隔梁時(shí)，則(2) 求解建議

10、 （a）常截面畸變應(yīng)力可用彈性基礎(chǔ)梁比擬法（簡(jiǎn)稱 ）求解。 （b）變截面畸變應(yīng)力也能用B.E.F比擬法求解。但是由于地基的彈簧是變的，會(huì)遇到求解的困難。用加權(quán)殘值法的配點(diǎn)原理可獲得近似解。 （c）根據(jù)不同邊界條件，用加權(quán)殘值法求解時(shí)， 建議如下： 對(duì)剛性固定支座， 可取 對(duì)自由懸臂端且無橫隔梁時(shí)，可取 對(duì)簡(jiǎn)支梁端部設(shè)置剛性橫隔梁時(shí)，可取事實(shí)上，為求得近似解，只取級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)就能滿足解答的要求，有時(shí)甚至取級(jí)數(shù)首項(xiàng)也能得到近似的答案?，F(xiàn)以剛性固定支座為例，取 將上列微分諸式代入變截面畸變控制微分方程中，則殘余值 為利用配點(diǎn)法令 可以根據(jù)各截面具體數(shù)據(jù)擬合成一曲線方程，然后通過二次微分求 。代入上式

11、得 ，進(jìn)而求出的應(yīng)力值 。如果取 ，其效果可能更好。(3) 用彈性地基梁比擬法（ ）求解常截面箱梁的畸變應(yīng)力 由于常截面箱梁畸變控制微分方程 與彈性地基梁撓曲的控制微分方程具有完全相似的表達(dá)式，因此解彈性地基梁的撓度 就等于解箱梁的畸變角 。比擬法在解工程問題上常被采用下表給出彈性地基梁與箱梁畸變兩種物理模型之間的相似關(guān)系。 彈性地基梁彎曲和箱形梁畸變的相似關(guān)系 彈性地基梁彎曲箱形梁畸變微分方程相似的物理量 彈性地基梁抗彎慣矩（m4） 彈性地基梁抗彎剛度（kNm2） 彈性地基梁地基彈性系數(shù)kN/m2） 彈性地基梁的分布荷載（kNm） 彈性地基梁的撓度（m） 彈性地基梁的彎矩 箱形梁抗畸變翹曲慣

12、矩（m6） 箱形梁抗畸變翹曲剛度（kNm4） 箱形梁抗畸變框架剛度（kNm4） 箱形梁上分布的畸變垂直分力的力偶（kNm/m） 箱形梁的畸變角（弧度） 箱形梁的畸變雙力矩 邊界條件相似關(guān)系 本章介紹了（1）偏心荷載作用下薄壁箱形梁的畸變計(jì)算理論，分別用（2）靜力平衡法推導(dǎo)了單箱單室直腹板等截面箱形梁的畸變微分方程，用（3）能量變分原理推導(dǎo)了斜腹板箱形梁的畸變微分方程， 為求符號(hào)統(tǒng)一起見。所定義的畸變角 雖不在同一角上。但采用了同一符號(hào)。 由結(jié)果可見，無論直、斜腹板箱形梁，其畸變微分方程具有相似的表達(dá)形式。對(duì)微分方程的求解，雖然都可采用彈性地基梁比擬法，但此法求解變截面梁時(shí)全遇到計(jì)算上的困難，建議采用加權(quán)殘值法求解。 另外，分析變截面梁的畸變效應(yīng)還可以采用等代梁法，這方面內(nèi)容可參考有關(guān)文獻(xiàn) 小結(jié)本章參考文獻(xiàn) 1郭金瓊.箱形梁設(shè)計(jì)理論.北京：人民交通出版社.1991. 2杜國(guó)華等.橋梁結(jié)構(gòu)分析.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，19