等腰三角形存在性問題及真題典例分析含解析

1、等腰三角形存在性問題幾何圖形存在性問題是中考二次函數(shù)壓軸題一大常見類型，等腰三角形、直角三角形、 平行四邊形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列從等腰三角形開始，逐一介紹各種問 題及常規(guī)解法.等腰三角形存在性問題【問題描述】如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,3),在x軸上取點(diǎn)C使得 ABC是等腰三角形. 1yBA * *AOx【幾何法】兩圓一線”得坐標(biāo)(1)以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C,有AB=AC;(2)以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C,有BA=BC;(3)作AB的垂直平分線，與 x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn) C,有CA=

2、CB.【注意】若有三點(diǎn)共線的情況，則需排除.作圖并不難，問題是還需要把各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)算出來，可通過勾股或者三角函數(shù)來求.AvAC1AvAC1=AB= (4-1)2+(3-1)2= 13作AH x軸于H點(diǎn)，AH=1CiH=C2H= 13-1=2 3C1(1-2 3,0)C2(1+2 3,0)C3、C4同理可求，下求C5.222 222 (3-x)2+22=x2顯然垂直平分線這個(gè)條件并不太適合這個(gè)題目，如果A、B均往下移一個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn) A坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,2）時(shí)，可構(gòu)造直角三角形勾股解：而對于本題的C5,而對于本題的C5,或許代數(shù)法更好用一些.設(shè)AC5=x,貝U BC5=x, C5H=

3、3-x一 13解得：x=一 6 19故C5坐標(biāo)為（,0）【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等(1)表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn) C5坐標(biāo)為(m, 0),又A點(diǎn)坐標(biāo)(1,1)、B點(diǎn)坐標(biāo)(4,3),(2)表示線段： AC5 J(m 1 )2(0 1)2 , BC5 J(m 4)(0 3)2(3)分類討論：根據(jù) AC5 BC5 ,可得：J(m 1)2 12 而 4)2 32 ,(4)求解得答案：解得： m 絲，故C5坐標(biāo)為23,0 .66【小結(jié)】幾何法：(1)兩圓一線”作出點(diǎn)；(2)利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點(diǎn)坐標(biāo).代數(shù)法：(1)表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo) A、B、C;(2)由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC;

4、(3)根據(jù)題意要求取 AB=AC、AB=BC、AC=BC;(4)列出方程求解.問題總結(jié)：(1)兩定一動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)可在直線上、拋物線上；(2) 一定兩動(dòng)：兩動(dòng)點(diǎn)必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長度列方程求解;(3)三動(dòng)點(diǎn)：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口.【中考真題解析】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y ax2 bx c交x軸于點(diǎn)A( 4,0)、B(2,0),交y軸于點(diǎn)C(0,6),在y軸上有一點(diǎn) E(0, 2)，連接AE .(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求ADE面積的最大值；(3)拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn) P,使 AEP為等腰三角形？若存在， 請直接寫出所

5、有P點(diǎn) 的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.【分析】(1) y3x2 x 6;42(2)可用鉛垂法，當(dāng)點(diǎn) D坐標(biāo)為(2,6)時(shí)，4ADE面積最大，最大值為 14;(3)這個(gè)問題只涉及到 A、E兩點(diǎn)及直線x=-1 (對稱軸)當(dāng)AE=AP時(shí)，以A為圓心，AE為半徑畫圓，與對稱軸交點(diǎn)即為所求P點(diǎn). AE=2押，AR=24,又 AH=3, PH jii ,故 Pi ( 1, .11 ) P2 ( 1, 11),P點(diǎn).,(2包12屈,P點(diǎn).P點(diǎn).,(2包12屈,P點(diǎn).2(m 2)過點(diǎn)E作EM垂直對稱軸于 M點(diǎn)，則EM=1 , P3M P4M故 P3 ( 1, 2 .19)、P4( 1, 2 ,19),當(dāng)PA=P

6、E時(shí)，作AE的垂直平分線，與對稱軸交點(diǎn)即為所求2,、22設(shè) R( 1,m), RA2 ( 1 4) (m 0), F5E2 = ( 1 0)22 m 9 (m 2) 1,解得：m=1 .故 F5( 1,1),綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為P綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為P1( 1,布)、P2( 1,而)、P3(1,-19)P4( 1, 2P5( 1,1).【補(bǔ)充】“代數(shù)法”用點(diǎn)坐標(biāo)表示出線段，列方程求解亦可以解決.【補(bǔ)充】“代數(shù)法”用點(diǎn)坐標(biāo)表示出線段，列方程求解亦可以解決.【中考真題(刪減)】如圖，拋物線y ax2 bx 4交x軸于A( 3,0) , B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C ,連接AC ,BC .點(diǎn)P是

7、第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m .(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)過點(diǎn)P作PM x軸，垂足為點(diǎn) M , PM交BC于點(diǎn)Q .試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中, 是否存在這樣的點(diǎn) Q,使得以A, C, Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請 求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；【分析】(1) y- x2 1x4;33(2)當(dāng) CA=CQ 時(shí)， CA=5, CQ=5,考慮到CB與y軸夾角為45,故過點(diǎn)Q作y軸的垂線，垂足記為 H,則CH QH 述，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為5值,4亞. 222當(dāng)AC=AQ時(shí)，考慮直線 BC解析式為y=-x+4,可設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(m, -m+4),AQ(m 3) (

8、m 4 0),即 4m3f( m4了 5 ,解得：m=1 或 0 (舍)，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3).當(dāng)QA=QC時(shí)，作AC的垂直平分線，顯然與線段BC無交點(diǎn)，故不存在.綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為 2,4 述 或(1, 3). 22J i y【中考真題(刪減)】y kx k 2的圖像交于A、B兩點(diǎn),y kx k 2的圖像交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，直線 AB分別與x、y軸交于C、D兩點(diǎn)，其中k 0 .(1)求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)若 OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求 k的值.【分析】A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為1、2;(2)求k的值等價(jià)于求B點(diǎn)坐標(biāo)，B點(diǎn)橫坐標(biāo)始終為2,故點(diǎn)B可以看成是直線x=2上

9、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 滿足 OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，又A點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , 2),故OA而當(dāng)OA=OB時(shí)，即OB 卮記直線x=2與x軸交點(diǎn)為H點(diǎn)， OH=2, BH=1 ,故B點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 1)或(2, -1), k=-1或-3.當(dāng)AO=AB時(shí)，易知B點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 0), k=-2.綜上所述，k的值為-1或-2或-3.【中考真題(刪減)】 如圖，已知二次函數(shù)y ax2 bx c的圖像與x軸相交于A( 1,0) , B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn) C(0, 3).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；PH x軸于點(diǎn)H ,與線段BCPH x軸于點(diǎn)H ,與線段BC交P的坐標(biāo).于點(diǎn)M ,連接PC .當(dāng)PC

10、M是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)【分析】(1) y x2 2x 3； （2）當(dāng)PM = PC時(shí)，（特殊角分析）考慮/ PMC=45,PCM=45 ,即 PCM是等腰直角三角形，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-3）;當(dāng)MP=MC時(shí)，（表示線段列方程）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m,m2 2m 3）,則M點(diǎn)坐標(biāo)為（m,m 3）,故線段 PM （m 3） （m2 2m 3） m2 3m故點(diǎn)M作y軸的垂線，垂足記為 N ,則MN=m,考慮 MCN是等腰直角三角形，故 MC &m,m2 3m J2m,解得m 3點(diǎn)或0 （舍），故P點(diǎn)坐標(biāo)為（3v2,24 2故P點(diǎn)坐標(biāo)為（3v2,24 2)綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-3）或（3五

11、24/2).10bx cbx c經(jīng)過點(diǎn) A( 5,0)和點(diǎn) B(1,0).【中考真題(刪減)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)如圖，連接 AD、BD,點(diǎn)M在線段 AB上(不與 A、B重合)，作 DMN DBA ,MN交線段AD于點(diǎn)N ,是否存在這樣點(diǎn) M ,使得 DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長；若不存在，請說明理由.1111【分析】【分析】421620, 一(1) y-x2 x 20 ,頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(2,4)； 999(1) y(2)考慮到/ DAB = ZDBA=Z DMN,即有 BMD ANM (一線三等角).當(dāng) MD=MN 時(shí)，有 B

12、MDA ANM ,可得 AM=BD=5,故 AN=BM=1;當(dāng) NM=ND 時(shí)，則/ NDM = Z NMD=Z DAB , MADA DAB ,可得AM = 25 , 6BM116AN MADA DAB ,可得AM = 25 , 6BM116ANBMAM ,即BDAN7T625心5解得:55解得:55AN 36當(dāng)DM=DN時(shí)，/DNM = / DMN = / DAB,當(dāng)DM=DN時(shí)，/綜上，AN的值為1或曳.3612【中考真題(刪減)】如圖，直線y x 4與x軸交于點(diǎn)B ,與y軸交于點(diǎn)C ,拋物線yx2 bx c經(jīng)過B , C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A.點(diǎn)P以每秒 夜 個(gè)單位長度的速度在線段 BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn) 動(dòng)(點(diǎn)p不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)p作x軸垂線交x軸于點(diǎn)E,交 拋物線于點(diǎn)M.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，連接 AM交BC于點(diǎn)D ,當(dāng)PDM是等腰三角形時(shí)，直接寫出 t的值.【分析】(1) y x2 3x 4 ；(2)考慮到/ DPM=45,當(dāng) DP=DM 時(shí)，即/ DMP =45 , 直線 AM : y=x+1 ,聯(lián)立方程：x2 3x 4 x 1 ,解得：x1 3, x21 (舍).此時(shí)t=1 .13當(dāng) PD=PM 時(shí)，/ PM