初中數學 八年級上冊 直角三角形

1、 “直角三角形（第一課時）”教學設計設計者：深圳市龍崗區(qū)深圳大學附屬坂田學校譚健老師一、教材的地位與作用“直角三角形（第一課時）”選自義務教育課程標準實驗教科書（北師大版）數學八年級下冊第一章第二節(jié)。本課是直角三角形(第1課時)的教學內容，是在學生學習和掌握了直角三角形相關知識的基礎上，進步探討直角三角形的性質定理以及判定定理。教學內容主要為勾股定理及其逆定理的證明方法，了解逆命題、互逆命題、逆定理的概念，讓學生經歷和了解勾股定理及其逆定理的證明方法，進一步理解證明的必要性，并通過具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立。本節(jié)通過觀察、操作、推理、交流等

2、數學活動進一步探索直角三角形的性質和判定。以直觀認識為基礎進行簡單的說理,將直觀與簡單推理相結合，體現具體-抽象-具體的過程，培養(yǎng)學生學習數學的興趣，提高他們應用所學知識解決問題的能力。 二、學情分析在圖形的學習中，學生已經歷觀察、畫圖、推理、合作等活動體驗，具備了本節(jié)課所需的探索、交流和演繹推理能力。本節(jié)課在學生已經認識了直角三角形的性質和判定方法的基礎上，將進一步探索直角三角形的性質和判定的證明方法。讓學生對命題的條件和結論經歷觀察、歸納出他們的共性，以得出互逆命題、逆命題的概念。并能解決一些簡單的實際問題。同時注重培養(yǎng)學生尋找生活中蘊含數學知識的例子。在活動中引導學生主動參與、相互合作，

3、讓他們感受到數學的樂趣、魅力和成功的快樂。讓學生參與知識的產生和發(fā)展教學過程，注重培養(yǎng)他們的自主學習的能力。三、教學目標1.知識與能力目標（1）掌握直角三角形的性質定理及判定定理，了解勾股定理的證明，理解勾股定理逆定理的證明方法，并能應用定理解決與直角三角形有關的問題.（2）結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立.2.過程與方法目標（1）經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維。（2）進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力.3.情感、態(tài)度、價值觀目標（1）積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲。（2

4、）在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。四、教學重點與難點1.教學重點：探索勾股定理及其逆定理的證明方法；結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立2.教學難點：勾股定理及其逆定理的證明方法五、教學關鍵以學生為主體，通過學生自己的觀察、討論與探索，了解勾股定理與逆定理的證明方法，體會幾何證明的必要性，發(fā)展學生嚴謹的演繹推理能力。六、教學方法以探索導學法為主，啟發(fā)引導式等多種教法相互穿插、綜合運用。七、教具學具準備課件、三角尺等八、教學設計（一）創(chuàng)設情境 激活思維活動過程：讓學生感受數學家大會的巨大魅力。生活實例：2002年國際數學

5、家大會在我國北京召開，大會會徽是根據中國古代數學家趙爽的“弦圖”設計的,它是由四個全等的直角三角形圍成。 同學們回憶一下，什么是直角三角形？我們曾經學直角三角形的性質有哪些？直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形。直角三角形的性質：（1）直角三角形的兩銳角互余（2）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（3）在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半設計意圖：在我國舉辦的世界數學家大會，利用了我國古代數學的偉大成就趙爽的“弦圖”作為會徽，學生會因中國古代數學文明而感到驕傲和自豪，對數學學習產生極強的自信心，向往數學殿堂，使他們樹立攀登

6、數學高峰的遠大理想；學生在觀察會徽的時候，會發(fā)現其中的直角三角形，為探索勾股定理及其逆定理的證明過程做鋪墊。通過知識再現，為探究直角三角形的性質及判定的推理證明方法做準備。（二）問題探究 思維生長活動1：直角三角形的性質: 直角三角形的兩個銳角為什么互余？ 活動過程：教師引導學生獨立完成推理證明的書面表達過程。已知：如圖(1) 所示，在中，.求證：. 證明：在中， . 又，即：直角三角形的兩個銳角互余.設計意圖：探究并能獨立完成直角三角形在角上性質的證明?；顒?：直角三角形的判定:反之，如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎？為什么？活動過程：教師鼓勵學生認真思考，大膽猜想，

7、獨立進行證明，然后互相交流.已知：如圖（2）所示，在中，求證：是直角三角形證明：在中，. 又， . 是直角三角形.即：有兩個角互余的三角形是直角三角形.設計意圖：探究并能獨立完成直角三角形在角上判定的證明。歸納：直角三角形的性質與判定活動過程：教師引導學生概括出直角三角形在角上的性質及判定方法，并描述出他們的幾何語言。直角三角形的性質定理：直角三角形的兩個銳角互余.直角三角形的判定定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形. 幾何語言： 幾何語言：在中， 在ABC中， . 是直角三角形.設計意圖：概括出直角三角形在角上的性質及判定方法，并能熟練運用其幾何語言活動3：直角三角形的性質:在上學期，我們

8、通過數方格和割補法得到了勾股定理，你能說一說勾股定理的內容嗎？活動過程1：教師引導學生結合課堂開始設計的“弦圖”，回顧出勾股定理的內容及幾何語言表達形式，并探索趙爽的證明方法。勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語言：在中，.活動過程2：師生共同合作探索趙爽證明勾股定理的方法。中國古代的數學家們不僅很早就發(fā)現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。趙爽創(chuàng)制的“勾股圓方圖”如圖：大正方形的面積可以表示為,也可以用4個直角三角形和中間小

9、正方形的面積之和表示為 設計意圖：引導學生觀察“弦圖”中的直角三角形，再現勾股定理的內容并證明。增強師生探索勾股定理證法的合作能力?；顒?：直角三角形的判定: 反之：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方, 那么這個三角形是直角三角形嗎？活動過程：先讓學生提前預習認真思考，參與討論；教師重點分析證法的構思，需要用到的數學原理、方法和表達過程。已知：如圖所示，在中，.求證：是直角三角形證明：如圖 ,作,使則（勾股定理）. ，.(SSS). (全等三角形的對應角相等）.因此，是直角三角形.設計意圖：讓學生能夠接受直角三角形在邊上判定的證明方法和過程，即勾股定理的逆定理.歸納：直角三角形的判定活

10、動過程：教師引導學生概括出直角三角形在邊上的判定方法，并描述出他們的幾何語言。判定定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.幾何語言：在中， 是直角三角形.設計意圖：概括出直角三角形在邊上的判定方法，并能熟練運用其幾何語言?；顒?：命題的互逆關系活動過程：教師引導學生觀察這幾對命題的結論與條件之間的關系，相互交流，并歸納出它們的共性，已得到互逆命題、逆命題的概念；其中第一、二組為特殊的命題即定理，從而也可以得到互逆定理、逆定理的概念議一議：觀察下面各組命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系？直角三角形的兩個銳角互余有兩個角互余的三角形是直角三角形.直角三角形兩條

11、直角邊的平方和等于斜邊的平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎一個三角形中相等的邊所對的角相等一個三角形中相等的角所對的邊相等歸納：在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題強調：互逆命題是一對命題的稱呼，其中一個命題稱原命題，另一個命題稱原命題的逆命題想一想：逆命題一定是真命題嗎？你能寫出命題“如果有兩個有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎？它們都是真命題嗎？鼓勵學生回答：如果兩個有理數的平方相等,那

12、么這兩個有理數相等. 原命題是真命題，它的逆命題是假命題.學生嘗試運用“互逆”，并能舉“互逆定理”的例子歸納：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，我們把這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理你還能舉一些互逆定理的例子嗎？設計意圖：結合事例認識互逆命題、逆命題、互逆定理和逆定理的概念，會識別兩個互逆命題，互逆定理，并能意識到一對互逆命題的真假性不一定一致。（三）典型例題，鞏固新知活動1：基礎鞏固。教師引導學生自主完成兩道例題。例題1.說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假（1）兩直線平行，同旁內角互補：逆命題： ，原命題是 命題，逆命題是 命題（2）

13、如果兩個角是對頂角，那么它們相等逆命題： ，原命題是 命題，逆命題是 命題例題2.如圖所示，在中，于點,.（1）求CD、AD的長；（2）判斷的形狀，并說明理由.解：（1）在中，由勾股定理可知： 同理可得：(2)是直角三角形，理由如下：由（1）可知：在中，由勾股定理的逆定理可知：是直角三角形 設計意圖：通過兩道例題，讓學生掌握逆命題的概念，熟練運用勾股定理以及逆定理。 （四）歸納小結，反思提高活動過程：師生共同回憶本節(jié)課所學知識.，談談本節(jié)課最大的收獲。設計意圖：鞏固知識，增強學生梳理、分類和掌握零散知識的能力。（五）分層作業(yè)，深化新知1.必做題：(1)一個三角形三邊長為15、20、25，則最大

14、邊上的高為 (2)如圖，以中的三邊向外作正方形，其面積分別,則_；(3)如圖，在四邊形中,為上的一點,且 .(4)一個直角三角形房梁如圖所示，其中，垂足分別為那么=_；2.選做題：（1）在正方形ABCD中，如圖所示，F為DC的中點，E為BC上一點，且ECBC.求證：EFA90（2）趙爽創(chuàng)制的“勾股圓方圖”如圖：請?zhí)骄浚汗?股滿足什么關系時？中間的小正方形面積最小。當勾對應的銳角為30時，此圖最和諧美麗，請問此時大正方形的面積和中間小正方形的面積有何關系？ 設計意圖：作業(yè)分為必做題和選做題，體現分層教學的理念。九、教學反思在課堂教學中，創(chuàng)設的情境“弦圖”很快把學生的積極性調動了起來。他們迫切于探究“弦圖”中直角三角形的奧秘。在證明定理直角三角形的兩個銳角互余，有兩個角互余的三角形是直角三角形時，學生都能獨立的主動完成。學生積極參與了我分析講解的定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角