排隊(duì)論模型及實(shí)例

1、排隊(duì)論模型及實(shí)例第1頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三排隊(duì)現(xiàn)象是由兩個(gè)方面構(gòu)成，一方要求得到服務(wù)，另一方設(shè)法給予服務(wù)。我們把要求得到服務(wù)的人或物（設(shè)備）統(tǒng)稱為顧客, 給予服務(wù)的服務(wù)人員或服務(wù)機(jī)構(gòu)統(tǒng)稱為服務(wù)員或服務(wù)臺(tái)。顧客與服務(wù)臺(tái)就構(gòu)成一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，或稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。 顯然缺少顧客或服務(wù)臺(tái)任何一方都不會(huì)形成排隊(duì)系統(tǒng).對(duì)于任何一個(gè)排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)，每一名顧客通過排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)總要經(jīng)過如下過程：顧客到達(dá)、排隊(duì)等待、接受服務(wù)和離去，其過程如下圖所示: 顧客總體隊(duì) 伍輸出輸入 服務(wù)臺(tái)服務(wù)系統(tǒng)第2頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三輸入過程顧客源總體：顧客的來源可

2、能是有限的，也可 能是無限的 2. 排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念到達(dá)的類型：顧客是單個(gè)到達(dá)，或是成批到達(dá)相繼顧客到達(dá)的間隔時(shí)間：通常假定是相互獨(dú)立、同分布的，有的是等距間隔時(shí)間，有的是服從Poisson分布，有的是服從k階Erlang分布輸入過程是描述顧客來源及顧客是按怎樣的規(guī)律抵達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)第3頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三排隊(duì)規(guī)則損失制排隊(duì)系統(tǒng)：顧客到達(dá)時(shí),若有服務(wù)臺(tái)均被占,服務(wù)機(jī)構(gòu) 又不允許顧客等待, 此時(shí)該顧客就自動(dòng)辭去 2. 排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念等待制排隊(duì)系統(tǒng)：顧客到達(dá)時(shí)若所有服務(wù)臺(tái)均被占，他們 就排隊(duì)等待服務(wù)。在等待制系統(tǒng)中,服務(wù) 順序又分為：先到先服務(wù),即顧

3、客按到達(dá) 的先后順序接受服務(wù)；后到先服務(wù) .混合制排隊(duì)系統(tǒng)：損失制與等待制的混合，分為隊(duì)長(zhǎng)(容量) 有限的混合制系統(tǒng)，等待時(shí)間有限的混 合制系統(tǒng)，以及逗留時(shí)間有限制的混合 系統(tǒng).排隊(duì)規(guī)則是指服務(wù)允許不允許排隊(duì)，顧客是否愿意排隊(duì)第4頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)臺(tái)的數(shù)目: 在多個(gè)服務(wù)臺(tái)的情形下，是串 聯(lián)或是并聯(lián)； 2. 排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念顧客所需的服務(wù)時(shí)間服從什么樣的概率分布，每個(gè)顧客所需的服務(wù)時(shí)間是否相互獨(dú)立，是成批服務(wù)或是單個(gè)服務(wù)等。常見顧客的服務(wù)時(shí)間分布有：定長(zhǎng)分布、負(fù)指數(shù)分布、超指數(shù)分布、k階Erlang分布、幾何分布、一般分布等.第5頁(yè)，共4

4、7頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 3.符號(hào)表示排隊(duì)論模型的記號(hào)是20世紀(jì)50年代初由D. G. Kendall (肯達(dá)爾)引入的，通常由35個(gè)英文字母組成，其形式為其中A表示輸入過程，B表示服務(wù)時(shí)間，C表示服務(wù)臺(tái)數(shù)目，n表示系統(tǒng)空間數(shù)。例如: M/M/S/ 表示輸入過程是Poisson流, 服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布, 系統(tǒng)有S個(gè)服務(wù)臺(tái)平行服務(wù), 系統(tǒng)容量為無窮的等待制排隊(duì)系統(tǒng).(2) M/G/1/ 表示輸入過程是Poisson流，顧客所需的服務(wù)時(shí)間為獨(dú)立、服從一般概率分布，系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)，容量為無窮的等待制系統(tǒng).第6頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期

5、三GI/M/1/表示輸入過程為顧客獨(dú)立到達(dá)且相繼到達(dá)的間隔時(shí)間服從一船概率分布，服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立、服從負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)，容量為無窮的等待制系統(tǒng) 3. 符號(hào)表示(4) Ek/G/1/K表示相繼到達(dá)的間隔時(shí)間獨(dú)立、服從k階Erlang分布，服務(wù)時(shí)間為獨(dú)立、服從一般概率分布，系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)，容量為K的混合制系統(tǒng).(5) D/M/S/K表示相繼到達(dá)的間隔時(shí)間獨(dú)立、服從定長(zhǎng)分布、服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立、服從負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)中有S個(gè)服務(wù)臺(tái)平行服務(wù)，容量為K的混合制系統(tǒng).第7頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 4. 描述排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo) 隊(duì)長(zhǎng)與等待隊(duì)長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng)(通

6、常記為L(zhǎng)S)是指在系統(tǒng)中的顧客的平均數(shù)(包括正在接受服務(wù)的顧客),而等待隊(duì)長(zhǎng)(通常記為L(zhǎng)q)是指系統(tǒng)中排隊(duì)等待的顧客的平均數(shù)，它們是顧客和服務(wù)機(jī)構(gòu)雙方都十分關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)。顯然隊(duì)長(zhǎng)等于等待隊(duì)長(zhǎng)加上正在被服務(wù)的顧客數(shù). 顧客的平均等待時(shí)間與平均逗留時(shí)間顧客的平均等待時(shí)間(通常記為Wq)是指從顧客進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)刻起直到開始接受服務(wù)止的平均時(shí)間。平均逗留時(shí)間(通常記為Ws)是指顧客在系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間之和。平均等待時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間是顧客最關(guān)心的數(shù)量指標(biāo).第8頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 4. 描述排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo) 系統(tǒng)的忙期與閑期 從顧客到達(dá)空閑的

7、系統(tǒng)，服務(wù)立即開始，直到系統(tǒng)再次變?yōu)榭臻e，這段時(shí)間是系統(tǒng)連續(xù)繁忙的時(shí)間，我們稱為系統(tǒng)的忙期，它反映了系統(tǒng)中服務(wù)機(jī)構(gòu)的工作強(qiáng)度，是衡量服務(wù)機(jī)構(gòu)利用效率的指標(biāo)，即與忙期對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)的閑期，即系統(tǒng)連續(xù)保持空閑的時(shí)間長(zhǎng)度.服務(wù)機(jī)構(gòu)工作強(qiáng)度用于服務(wù)顧客的時(shí)間服務(wù)設(shè)施總的服務(wù)時(shí)間用于服務(wù)顧客的時(shí)間服務(wù)設(shè)施總的服務(wù)時(shí)間第9頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 5. Little（利特爾）公式用 表示單位時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)的平均數(shù),表示單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)完畢離去的平均顧客數(shù)，因此1/ 表示相鄰兩顧客到達(dá)的平均時(shí)間，1/ 表示對(duì)每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間.J. D. C. Little給出了如下公式

8、：第10頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 6. 與排隊(duì)論模型有關(guān)的LINGO函數(shù)(1) peb (load, S)該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load, 服務(wù)系統(tǒng)中有S個(gè)服務(wù)器且允許排隊(duì)時(shí)系統(tǒng)繁忙的概率,也就是顧客等待的概率.(2) pel (load, S)該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load, 服務(wù)系統(tǒng)中有S個(gè)服務(wù)器且不允許排隊(duì)時(shí)系統(tǒng)損失概率, 也就是顧客得不到服務(wù)離開的概率.(3) pfs (load, S, K)該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load, 顧客數(shù)為K,平行服務(wù)器數(shù)量為S時(shí), 有限源的Poisson服務(wù)系統(tǒng)等待或返修顧客數(shù)的期望值.第11頁(yè)，共47頁(yè)

9、，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 10. 2 等待制排隊(duì)模型等待制排隊(duì)模型中最常見的模型是即顧客到達(dá)系統(tǒng)的相繼到達(dá)時(shí)間間隔獨(dú)立，且服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布(即輸入過程為Poisson過程), 服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間也獨(dú)立同分布, 且服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，而且系統(tǒng)空間無限，允許永遠(yuǎn)排隊(duì).第12頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 1. 等待制排隊(duì)模型的基本參數(shù)(1) 顧客等待的概率Pwait其中S是服務(wù)臺(tái)或服務(wù)員的個(gè)數(shù)，load是系統(tǒng)到達(dá)負(fù)荷，即 load=/=R*T, 式中R表示, T表示1/, R表示,在下面的程序中，因此，R或是顧客的平均到達(dá)率，是顧客的平均被

10、服務(wù)數(shù)，T 就是平均服務(wù)時(shí)間.第13頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 1. 等待制排隊(duì)模型的基本參數(shù)(2) 顧客的平均等待時(shí)間Wq其中T/(S-load)是一個(gè)重要指標(biāo)，可以看成一個(gè)“合理的長(zhǎng)度間隔”。注意，當(dāng)loadS時(shí)，此值趨于無窮。也就是說，系統(tǒng)負(fù)荷接近服從器的個(gè)數(shù)時(shí)，顧客平均等待時(shí)間將趨于無窮.當(dāng)load S時(shí), 上式Wq無意義。其直觀的解釋是：當(dāng)系統(tǒng)負(fù)荷超過服從器的個(gè)數(shù)時(shí), 排隊(duì)系統(tǒng)達(dá)不到穩(wěn)定的狀態(tài),其隊(duì)將越排越長(zhǎng).第14頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 1. 等待制排隊(duì)模型的基本參數(shù)顧客的平均逗留時(shí)間Ws、隊(duì)長(zhǎng)Ls和等待隊(duì)長(zhǎng)Lq這

11、三個(gè)值可由Little公式直接得到第15頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 2. 等待制排隊(duì)模型的計(jì)算實(shí)例 S=1的情況(M/M/1/) 即只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)或一名服務(wù)員服務(wù)的情況.例10.2 某維修中心在周末現(xiàn)只安排一名員工為顧客提供服務(wù)。新來維修的顧客到達(dá)后，若已有顧客正在接受服務(wù)，則需要排隊(duì)等待。假設(shè)來維修的顧客到達(dá)過程為Poisson流，平均4人/小時(shí)，維修時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6分鐘。試求該系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)。解 按照式上面分析, 編寫LINGO程序，其中R=4,T=6/60, load=R.T,S=1. 程序名:exam1002.lg4.第16頁(yè)，共47頁(yè)

12、，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 2. 等待制排隊(duì)模型的計(jì)算實(shí)例由此得到：(1) 系統(tǒng)平均隊(duì)長(zhǎng) Ls=0.6666667,(2) 系統(tǒng)平均等待隊(duì)長(zhǎng) Lq=0.2666667,(3) 顧客平均逗留時(shí)間 Ws=0.1666667(小時(shí))=10(分鐘)(4) 顧客平均等待時(shí)間 Wq=0.06666667(小時(shí))=4(分鐘)(5) 系統(tǒng)繁忙概率 P wait=0.4第17頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三在商業(yè)中心處設(shè)置一臺(tái)ATM機(jī)，假設(shè)來取錢的顧客平均每分鐘0.6個(gè)，而每個(gè)顧客的平均取錢的時(shí)間為1.25分鐘，試求該ATM機(jī)的主要數(shù)量指標(biāo).解 只需將上例LINGO

13、程序作如下改動(dòng)：R=0.6,T=1.25 即可得到結(jié)果.程序名:exam1003.lg4.計(jì)算結(jié)果見運(yùn)行 例10.3即平均隊(duì)長(zhǎng)為3人，平均等待隊(duì)長(zhǎng)為2.25人，顧客平均逗留時(shí)間5分鐘，顧客平均等待時(shí)間為3.75分鐘，系統(tǒng)繁忙概率為0.75.第18頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 S1的情況(M/M/S/) 表示有多個(gè)服務(wù)臺(tái)或多名服務(wù)員服務(wù)的情況例10. 設(shè)打印室有3名打字員, 平均每個(gè)文件的打印時(shí)間為10分鐘，而文件的到達(dá)率為每小時(shí)15件，試求該打印室的主要數(shù)量指標(biāo).解 按照上面分析, 編寫LINGO程序, 程名:exam1004.lg4.計(jì)算結(jié)果分析：即在打字室內(nèi)現(xiàn)

14、有的平均文件數(shù)為6.011件，等待打印平均文件數(shù)3.511件，每份文件在打字室平均停留時(shí)間為0.400小時(shí)（24分鐘），排隊(duì)等待打印的平均時(shí)間0.234小時(shí)(14分鐘),打印室不空閑的概率0.702.第19頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三某售票點(diǎn)有兩個(gè)售票窗口，顧客按參數(shù)=8人/分鐘的Poisson流到達(dá)，每個(gè)窗口的售票時(shí)間均服從參數(shù)=5人/分鐘的負(fù)指數(shù)分布，試比較以下兩種排隊(duì)方案的運(yùn)行指標(biāo).(1) 顧客到達(dá)后,以1/2的概率站成兩個(gè)隊(duì)列，如右圖所示： 例10.5(2) 顧客到達(dá)后排成一個(gè)隊(duì)列, 顧客發(fā)現(xiàn)哪個(gè)窗口空時(shí), 他就接受該窗口的服務(wù)，如下圖所示:第20頁(yè)，共4

15、7頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三解 (1) 實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)獨(dú)立的M/M/1/系統(tǒng),其參數(shù)S=1,R=1=2=4, T=1/=1/5=0.2, 編寫其LINGO程序，程序名: exam1005a.lg4. 計(jì)算結(jié)果見運(yùn)行 例10.5(2) 是兩個(gè)并聯(lián)系統(tǒng), 其參數(shù)S=2,R=8, T=1/=1/5=0.2, 編寫其LINGO程序, 程序名: exam1005b.lg4. 計(jì)算結(jié)果見運(yùn)行兩種系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果第21頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三從上表中所列的計(jì)算結(jié)果可以看出,在服務(wù)臺(tái)的各種性能指標(biāo)不變的情況下,采用不同的排隊(duì)方式,其結(jié)果是不同的. 從表得到,

16、采用多隊(duì)列排隊(duì)系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)為4,而采用單排隊(duì)系統(tǒng)總隊(duì)長(zhǎng)為4.444, 也就是說每一個(gè)子隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)為2.222,幾乎是多列隊(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的1/2, 效率幾乎提高了一倍. 例10.5比較分析第22頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 10. 3 損失制排隊(duì)模型損失制排隊(duì)模型通常記為當(dāng)S個(gè)服務(wù)器被占用后，顧客自動(dòng)離去。其模型的基本參數(shù)與等待制排隊(duì)模型有些不同, 我們關(guān)心如下指標(biāo)：(1) 系統(tǒng)損失的概率其中l(wèi)oad是系統(tǒng)到達(dá)負(fù)荷,S是服務(wù)臺(tái)或服務(wù)員的個(gè)數(shù). 1.損失制排隊(duì)模型的基本參數(shù)第23頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三(2)單位時(shí)間內(nèi)平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)(e

17、或Re)(3)系統(tǒng)的相對(duì)通過能力Q與絕對(duì)通過能力A(4)系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)占用服務(wù)臺(tái)(或服務(wù)員)的均值Ls注意: 在損失制排隊(duì)系統(tǒng)中, Lq=0, 即等待隊(duì)長(zhǎng)為0.第24頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三(5)系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)（或服務(wù)員）的效率(6)顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時(shí)間(由于Wq=0, 即為Ws）注意: 在損失制排隊(duì)系統(tǒng)中, Wq=0, 即等待時(shí)間為0.在上述公式中, 引入e (或Re)是十分重要的, 因?yàn)楸M管顧客的以平均(或R)的速率到達(dá)服務(wù)系統(tǒng), 但當(dāng)系統(tǒng)被占滿后, 有一部分顧客會(huì)自動(dòng)離去, 因此,真正進(jìn)入系統(tǒng)的顧客輸入率是e ,它小于.第25頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，

18、5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 2. 損失制排隊(duì)模型的計(jì)算實(shí)例 S=1的情況(M/M/1/1)例10.6 設(shè)某條電話線，平均每分鐘有0.6次呼喚，若每次通話時(shí)間平均為1.25分鐘，求系統(tǒng)相應(yīng)的參數(shù)指標(biāo)。解 按照上面分析, 編寫LINGO程序，其中S=1,R=0.6,T=1/=1.25, 程序名:exam1006.lg4，結(jié)果見運(yùn)行系統(tǒng)的顧客損失率為43%, 即43%的電話沒有接通, 有57%的電話得到了服務(wù),通話率為平均每分鐘有0.195次, 系統(tǒng)的服務(wù)效率為43%. 對(duì)于一個(gè)服務(wù)臺(tái)的損失制系統(tǒng), 系統(tǒng)的服務(wù)效率等于系統(tǒng)的顧客損失率,這一點(diǎn)在理論上也是正確的.第26頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，

19、5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 S1的情況(M/M/S/S)例10.7 某單位電話交換臺(tái)有一臺(tái)200門內(nèi)線的總機(jī)，已知在上班8小時(shí)的時(shí)間內(nèi)，有20%的內(nèi)線分機(jī)平均每40分鐘要一次外線電話，80%的分機(jī)平均隔120分鐘要一次外線。又知外線打入內(nèi)線的電話平均每分鐘1次. 假設(shè)與外線通話的時(shí)間為平均3分鐘, 并且上述時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布,如果要求電話的通話率為95%, 問該交換臺(tái)應(yīng)設(shè)置多少條外線？解 (1) 電話交換臺(tái)的服務(wù)分成兩類,第一類內(nèi)線打外線, 其強(qiáng)度為:第二類是外線打內(nèi)線，其強(qiáng)度為2=1*60=60.因此，總強(qiáng)度為=1+2=140+60=200.第27頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日

20、，14點(diǎn)59分，星期三(2) 這是損失制服務(wù)系統(tǒng), 按題目要求, 系統(tǒng)損失的概率不能超過5%, 即(3) 外線是整數(shù)，在滿足條件下，條數(shù)越少越好。由上述三條，寫出相應(yīng)的LINGO程序，程序名：exam1007a.lg4. 例10.7經(jīng)計(jì)算得到, 即需要15條外線, 在此條件下, 交換臺(tái)的顧客損失率為3.65%, 有96.35%的電話得到了服務(wù), 通話率為平均每小時(shí)185.67次, 交換臺(tái)每條外線的服務(wù)效率為64.23%.第28頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三在前面談過，盡量選用簡(jiǎn)單的模型讓LINGO軟件求解，而上述程序是解非線性整數(shù)規(guī)劃(盡管是一維的), 但計(jì)算時(shí)間可

21、能會(huì)較長(zhǎng), 因此, 我們選用下面的處理法, 分兩步處理.第一步, 求出概率為5%的服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù), 盡管要求服務(wù)臺(tái)是整數(shù), 但pel()可以給出實(shí)數(shù)解.寫出LINGO程序, 程序名：exam1007b1.lg4. 例10.7第二步, 注意到pel(load, S)是S的單調(diào)遞減函數(shù), 因此, 對(duì)S取整(采用只入不舍原則)就是滿足條件的最小服務(wù)臺(tái)數(shù), 然后再計(jì)算出其他的參數(shù)指標(biāo)。寫出LINGO程序, 程序名：exam1007b2.lg4.比較兩種方法的計(jì)算結(jié)果，其答案是相同的，但第二種方法比第一種方法在計(jì)算時(shí)間上要少許多.第29頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 10. 4

22、 混合制排隊(duì)模型混合制排隊(duì)模型通常記為即有S個(gè)服務(wù)臺(tái)或服務(wù)員,系統(tǒng)空間容量為K, 當(dāng)K個(gè)位置已被顧客占用時(shí), 新到的顧客自動(dòng)離去,當(dāng)系統(tǒng)中有空位置時(shí), 新到的顧客進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)等待。對(duì)于混合制排隊(duì)模型,LINGO軟件并沒有提供特殊的計(jì)算函數(shù),因此需要混合制排隊(duì)模型的基本公式進(jìn)行算, 為此, 先給出其基本公式.第30頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三設(shè)pi(i=1,2, , K)是系統(tǒng)有i個(gè)顧客的概率, p0表示系統(tǒng)空閑時(shí)的概率, 因此有:設(shè)i(i=1,2, K)為系統(tǒng)在i時(shí)刻的輸入強(qiáng)度,i (i=1,2 , K) 為系統(tǒng)在i時(shí)刻的服務(wù)強(qiáng)度, 在平衡過下,可得到平衡方程 1

23、. 混合制排隊(duì)模型的基本公式第31頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三對(duì)于混合制排隊(duì)模型M/M/S/K, 有 1. 混合制排隊(duì)模型的基本公式第32頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三對(duì)于混合制排隊(duì)模型，人們關(guān)心如下參數(shù)：(1) 系統(tǒng)的損失概率 2. 混合制排隊(duì)模型的基本參數(shù)(2) 系統(tǒng)的相對(duì)通過能力Q和單位時(shí)間平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)e(3)平均隊(duì)長(zhǎng)Ls和平均等待隊(duì)長(zhǎng)Lq第33頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三(4) 顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時(shí)間Ws 和平均排隊(duì)等待時(shí)間Wq , 這兩個(gè)時(shí)間可由Little公式得到注意:上面兩公式中，是

24、除e而不是, 其理由與損失制系統(tǒng)相同. 2. 混合制排隊(duì)模型的基本參數(shù)第34頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 S=1 的情況(M/M/1/K)例10.8 某理發(fā)店只有1名理發(fā)員, 因場(chǎng)所有限, 店里最多可容納4名顧客, 假設(shè)來理發(fā)的顧客按Poisson過程到達(dá), 平均到達(dá)率為每小時(shí)6人, 理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布, 平均12分鐘可為1名顧客理發(fā), 求該系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)指標(biāo).解 按照上面分析, 其參數(shù)S=1,K=4,R=6,T=1/=12/60,再計(jì)算相應(yīng)的損失概率pK 及各項(xiàng)參數(shù)指標(biāo), 編寫出LINGO程序，程序名:exam1008.lg4，結(jié)果見運(yùn)行即理發(fā)店的空閑率為1

25、3.4%, 顧客的損失率為27.9%, 每小時(shí)進(jìn)入理發(fā)店的平均顧客數(shù)為4.328人,理發(fā)店內(nèi)的平均顧客數(shù)(隊(duì)長(zhǎng))為2.359人,顧客在理發(fā)店的平均逗留時(shí)間是0.545小時(shí)(32.7分鐘), 理發(fā)店里等待理發(fā)的平均顧客數(shù)(等待隊(duì)長(zhǎng))為1.494人,顧客在理發(fā)店的平均等待時(shí)間為0.345小時(shí)(20.7分) 3. 混合制排隊(duì)模型的計(jì)算實(shí)例第35頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 S1的情況(M/M/S/K)例10.9 某工廠的機(jī)器維修中心有9名維修工,因?yàn)閳?chǎng)地限制,中心內(nèi)最多可以容納12臺(tái)需要維修的設(shè)備,假設(shè)待修的設(shè)備按Poisson過程到達(dá),平均每天4臺(tái),維修設(shè)備服從負(fù)指數(shù)

26、分布,每臺(tái)設(shè)備平均需要2天時(shí)間, 求該系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)指標(biāo).解 其參數(shù)S=9,K=12,R=4,T=1/=2,再計(jì)算相應(yīng)的損失概率pK 及各項(xiàng)參數(shù)指標(biāo),編寫出LINGO程序，程序名:exam1009.lg4，結(jié)果見運(yùn)行經(jīng)計(jì)算得到：維修中心的空閑率p0=0.033%$,設(shè)備的損失率Plost=8.61%, 每天進(jìn)入維修中心需要維修的設(shè)備e=3.66臺(tái),維修中心內(nèi)的平均維修的設(shè)備(隊(duì)長(zhǎng)) Ls=7.87臺(tái),待修設(shè)備在維修中心的平均逗留時(shí)間Ws= 2.15天,維修中心內(nèi)等平均待維修的設(shè)備(等待隊(duì)長(zhǎng))Lq=0.561天, 待修設(shè)備在維修中心的平均等待時(shí)間Wq=0.153天.第36頁(yè)，共47頁(yè)，2022年

27、，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 10. 5 閉合式排隊(duì)模型設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有M個(gè)服務(wù)臺(tái)(或服務(wù)員),顧客到達(dá)系統(tǒng)的間隔時(shí)間和服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間均為負(fù)指數(shù)分布, 而系統(tǒng)的容量和潛在的顧客數(shù)都為K,又顧客到達(dá)率為, 服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)率為,這樣的系統(tǒng)稱為閉合式排隊(duì)模型,記為第37頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三對(duì)于閉合式排隊(duì)模型，我們關(guān)心的參數(shù)：(1) 平均隊(duì)長(zhǎng) 1. 閉合式排隊(duì)模型的基本參數(shù)其中l(wèi)oad是系統(tǒng)的負(fù)荷,其計(jì)算公式為即 系統(tǒng)的負(fù)荷=系統(tǒng)的顧客數(shù) X 顧客的到達(dá)率 X 顧客的服務(wù)時(shí)間(2) 單位時(shí)間平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)e或Re.第38頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20

28、日，14點(diǎn)59分，星期三(3)顧客處于正常情況的概率(5)每個(gè)服務(wù)臺(tái)(服務(wù)員)的工作強(qiáng)度(4)平均逗留時(shí)間Ws、平均等待隊(duì)長(zhǎng)L q和 平均排隊(duì)等待時(shí)間Wq ,這三個(gè)值可由Little公式得到第39頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 S=1 的情況(M/M/1/K/K)例10.10 設(shè)有1名工人負(fù)責(zé)照管6臺(tái)自動(dòng)機(jī)床.當(dāng)機(jī)床需要加料、發(fā)生故障或刀具磨損時(shí)就自動(dòng)停車, 等待工人照管. 設(shè)平均每臺(tái)機(jī)床兩次停車的時(shí)間間隔為1小時(shí), 停車時(shí)需要工人照管的平均時(shí)間是6分鐘, 并均服從負(fù)指數(shù)分布, 求該系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo).解 這是一個(gè)閉合式排隊(duì)模型M/M/1/6/6, 其參數(shù)為S=1,K=

29、6,R=1,T=1/=6/60,計(jì)算出平均隊(duì)長(zhǎng),再計(jì)算出其他各項(xiàng)指標(biāo),寫出LINGO程序,程序名:exam1010.lg4,結(jié)果見運(yùn)行.機(jī)床的平均隊(duì)長(zhǎng)為0.845臺(tái),平均等待隊(duì)長(zhǎng)為0.330臺(tái), 機(jī)床的平均逗留時(shí)間為0.164小時(shí)(9.84分鐘),平均等待時(shí)間為0.064小時(shí)(3.84分鐘),機(jī)床的正常工作概率為85.91%,工人的勞動(dòng)強(qiáng)度為0.515.第40頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 S1 的情況例10.11 (繼例10.10) 將例中的條件改為由3名工人聯(lián)合看管20臺(tái)自動(dòng)機(jī)床, 其他條件不變, 求該系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)。解 這是M/M/3/20/20閉合式排隊(duì)模型

30、, 其參數(shù)為S=3,K=20,其余不變,寫出LINGO程序,程序名:exam1011.lg4,結(jié)果見運(yùn)行. 2. 閉合式排隊(duì)模型的計(jì)算實(shí)例第41頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三從上表可以看出,在第二種情況下,盡管每個(gè)工人看管的機(jī)器數(shù)增加了,但機(jī)器逗留時(shí)間和等待維修時(shí)間卻縮短了,機(jī)器的正常運(yùn)轉(zhuǎn)率和工人的勞動(dòng)強(qiáng)度都提高了。 例10.10和例10.11的計(jì)算結(jié)果比較第42頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)59分，星期三 10. 6 排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化模型排隊(duì)系統(tǒng)中的優(yōu)化模型，一般可分為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的優(yōu)化和系統(tǒng)控制的優(yōu)化。前者為靜態(tài)優(yōu)化，即在服務(wù)系統(tǒng)設(shè)置以前根據(jù)一定的質(zhì)量指標(biāo)，找出參數(shù)的最優(yōu)值，從而使系統(tǒng)最為經(jīng)濟(jì)。后者稱動(dòng)態(tài)