2022年中山市重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回地依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（ ）A310 B35 C12某中學(xué)在高二下學(xué)期開設(shè)四門數(shù)學(xué)選修課，分別為數(shù)學(xué)史選講.球面上

2、的幾何.對稱與群.矩陣與變換現(xiàn)有甲.乙.丙.丁四位同學(xué)從這四門選修課程中選修一門，且這四位同學(xué)選修的課程互不相同，下面關(guān)于他們選課的一些信息：甲同學(xué)和丙同學(xué)均不選球面上的幾何，也不選對稱與群：乙同學(xué)不選對稱與群，也不選數(shù)學(xué)史選講：如果甲同學(xué)不選數(shù)學(xué)史選講，那么丁同學(xué)就不選對稱與群若這些信息都是正確的，則丙同學(xué)選修的課程是（）A數(shù)學(xué)史選講B球面上的幾何C對稱與群D矩陣與變換3若是第一象限角，則sin+cos的值與1的大小關(guān)系是（ ）Asin+cos1Bsin+cos=1Csin+cos1D不能確定4一個三位數(shù)的百位，十位，個位上的數(shù)字依次是，當且僅當時稱為“凹數(shù)”，若，從這些三位數(shù)中任取一個，則

3、它為“凹數(shù)”的概率是ABCD5設(shè)全集，則等于（）ABCD6已知，則“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個水果，且從這周的第二天開始，每天所吃水果的個數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個”或“持平”或“少一個”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個數(shù)的不同選擇方案共有（ ）A種B種C種D種8拋物線的焦點為，點是上一點，則（ ）ABCD9已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（ ）ABCD10設(shè)非零向量，滿足，則與的夾角為（ ）ABCD11函數(shù)的圖象是（ ）ABCD12在

4、ABC中，若AB=2，AC=3，A=60，則BC的長為（）ABC3D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，則=_14科目二，又稱小路考，是機動車駕駛證考核的一部分，是場地駕駛技能考試科目的簡稱.假設(shè)甲每次通過科目二的概率均為，且每次考試相互獨立，則甲第3次考試才通過科目二的概率為_15連續(xù)拋擲同一顆骰子3次，則3次擲得的點數(shù)之和為9的概率是_16曲線與坐標軸及所圍成封閉圖形的面積是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設(shè)是橢圓上的兩點，已知向量，若且橢圓的離心率，短軸長為2，為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的焦點（為

5、半焦距），求直線的斜率的值；（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.18（12分）已知橢圓：在左、右焦點分別為，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標原點）.19（12分）己知，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若函數(shù)，且存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.20（12分）設(shè)函數(shù)，其中.已知.（1）求；（2）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最值.21（12分）被嘉定著名學(xué)者錢大昕贊譽為“國朝算學(xué)第一”的清朝

6、數(shù)學(xué)家梅文鼎曾創(chuàng)造出一類“方燈體”，“燈者立方去其八角也”，如圖所示，在棱長為的正方體中，點為棱上的四等分點.（1）求該方燈體的體積；（2）求直線和的所成角；（3）求直線和平面的所成角22（10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若對恒成立，求的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：因為第一次摸到紅球的概率為35，則第一次摸出紅球且第二次摸出紅球的概率為35考點：1、條件概率；2、獨立事件2、D【解析】列舉出所有選擇可能，然后根據(jù)三個信息，確定正確的選項.【詳解

7、】個同學(xué)，選門課，各選一門且不重復(fù)的方法共種，如下：種類甲乙丙丁1數(shù)學(xué)史選講球面上的幾何對稱與群矩陣與變換2數(shù)學(xué)史選講球面上的幾何矩陣與變換對稱與群3數(shù)學(xué)史選講對稱與群球面上的幾何矩陣與變換4數(shù)學(xué)史選講對稱與群矩陣與變換球面上的幾何5數(shù)學(xué)史選講矩陣與變換球面上的幾何對稱與群6數(shù)學(xué)史選講矩陣與變換對稱與群球面上的幾何7球面上的幾何數(shù)學(xué)史選講對稱與群矩陣與變換8球面上的幾何數(shù)學(xué)史選講矩陣與變換對稱與群9球面上的幾何對稱與群數(shù)學(xué)史選講矩陣與變換10球面上的幾何對稱與群矩陣與變換數(shù)學(xué)史選講11球面上的幾何矩陣與變換對稱與群數(shù)學(xué)史選講12球面上的幾何矩陣與變換數(shù)學(xué)史選講對稱與群13對稱與群數(shù)學(xué)史選講球面

8、上的幾何矩陣與變換14對稱與群數(shù)學(xué)史選講矩陣與變換球面上的幾何15對稱與群球面上的幾何數(shù)學(xué)史選講矩陣與變換16對稱與群球面上的幾何矩陣與變換數(shù)學(xué)史選講17對稱與群球面上的幾何數(shù)學(xué)史選講矩陣與變換18對稱與群球面上的幾何矩陣與變換數(shù)學(xué)史選講19矩陣與變換數(shù)學(xué)史選講對稱與群球面上的幾何20矩陣與變換數(shù)學(xué)史選講球面上的幾何對稱與群21矩陣與變換球面上的幾何對稱與群矩陣與變換22矩陣與變換球面上的幾何矩陣與變換對稱與群23矩陣與變換對稱與群數(shù)學(xué)史選講球面上的幾何24矩陣與變換對稱與群球面上的幾何數(shù)學(xué)史選講滿足三個信息都正確的，是第種.故本小題選D.【點睛】本小題主要考查分析與推理，考查列舉法，屬于基礎(chǔ)

9、題.3、A【解析】試題分析：設(shè)角的終邊為OP，P是角的終邊與單位圓的交點，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sin=MP=|MP|，cos=OM=|OM|，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，得出結(jié)論解：如圖所示：設(shè)角的終邊為OP，P是角的終邊與單位圓的交點，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sin=MP=|MP|，cos=OM=|OM|OPM中，|MP|+|OM|OP|=1，sin+cos1，故選A考點：三角函數(shù)線4、C【解析】先分類討論求出所有的三位數(shù)，再求其中的凹數(shù)的個數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】先求所有的三位數(shù)，個位有4種排

10、法，十位有4種排法，百位有4種排法，所以共有個三位數(shù).再求其中的凹數(shù)，第一類：凹數(shù)中有三個不同的數(shù)，把最小的放在中間，共有種，第二類，凹數(shù)中有兩個不同的數(shù)，將小的放在中間即可，共有種方法，所以共有凹數(shù)8+6=14個，由古典概型的概率公式得P=.故答案為：C【點睛】本題主要考查排列組合的運用，考查古典概型的概率，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.5、B【解析】直接利用補集與交集的運算法則求解即可【詳解】解：集合，由全集，故選：B【點睛】本題考查了交、并、補集的混合運算，是基礎(chǔ)知識的考查6、B【解析】首先判斷充分性可代特殊值，然后再判斷必要性.【詳解】當時，令，此時，所以不是充分條件

11、；反過來，當時，可得，且，即，所以是必要條件，是的必要不充分條件，故選B.【點睛】本題考查必要不充分條件，根據(jù)必要不充分條件的判斷方法判斷即可.7、D【解析】試題分析：小明共有6次選擇，因為第一天和第七天均吃3個水果，所以在這6次選擇中“多一個”和“少一個”的次數(shù)應(yīng)相同、“持平”次數(shù)為偶數(shù)當6次選擇均為“持平”時，共有種方案；當6次選擇中有4次“持平”時，選擇“多一個”和“少一個”各一次，共有種方案；當6次選擇中有2次“持平”時，選擇“多一個”和“少一個”各2次，共有種方案；當6次選擇中有0次“持平”時，選擇“多一個”和“少一個”各3次，共有種方案.綜上可得小明在這一周中每天所吃水果個數(shù)的不同

12、選擇方案共有種方案,故D正確.考點：排列組合，考查分類討論思想.8、B【解析】根據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】由題意可得： ，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 .本題選擇A選項.點睛：1二項展開式的通項是展開式的第k1項，這是解決二項式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ)在利用通項公式求指定項或指定項的系數(shù)要根據(jù)通項公式討論對k的限制2因為二項式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項展開式各項系數(shù)和的一種重要方法3二項式定理的應(yīng)用主要是對二項展開式正用、逆用，要充分

13、利用二項展開式的特點和式子間的聯(lián)系10、B【解析】由，且，可得，展開并結(jié)合向量的數(shù)量積公式，可求出的值，進而求出夾角.【詳解】由，且，得，則，即，故，則，故.又，所以.故選：B【點睛】本題考查向量夾角的求法，考查向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)的單調(diào)性及極值，比照四個答案函數(shù)的圖象，可得答案【詳解】，令得；當時，即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，可排除B,D；又時，排除C，故選A.【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，分析出函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題.12、D【解析】在中，由，以及的值，利用余弦定理，即可求解，

14、得到答案.【詳解】由題意，在中，由，由余弦定理可得，則，故選D.【點睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，以及余弦定理是解答特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，其中熟練掌握余弦定理是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再由即可得【詳解】，則，【點睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題14、 【解析】甲第3次考試才通過科目二，則前兩次都未通過，第3次通過，故所求概率為.填15、；【解析】利用分步計數(shù)原理，連續(xù)拋擲同一顆骰子3次，則總共有：666=216種情況，再列出滿足條件的所有基本

15、事件，利用古典概型的計算公式計算可得概率.【詳解】每一次拋擲骰子都有1，2，3，4，5，6，六種情況，由分步計數(shù)原理：連續(xù)拋擲同一顆骰子3次，則總共有：666=216種情況，則3次擲得的點數(shù)之和為9的基本事件為25種情況即：(1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，(2,1,6)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，(3,1,5)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(3,5,1)，(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，(6,1

16、,2)，(6,2,1)，共25個基本事件，所以.【點睛】本題考查分步計數(shù)原理和古典概型概率計算，計數(shù)過程中如果前兩個數(shù)固定，則第三個數(shù)也相應(yīng)固定.16、【解析】分析：首先利用定積分表示曲邊梯形的面積，然后計算定積分詳解：曲線與兩坐標軸及所圍成的圖形的面積為即答案為點睛：本題考查了定積分的運用求曲邊梯形的面積；正確利用定積分表示是關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）；（）；（）三角形的面積為定值1【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得，再設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即，根據(jù)，求得

17、和的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得點的橫坐標和縱坐標的絕對值，進而求得AOB的面積的值；當直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.試題解析：（1）由題可得：，所以，橢圓的方程為設(shè)的方程為：，代入得：，即： 即，解得：（2）直線斜率不存在時，即， ，即 又點在橢圓上 ，即 ， ，故的面積為定值1當直線斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立得：， 所以三角形的面積為定值1.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的定值問題，解題時要注意解題技巧的運用，如常用的設(shè)而不求，整體代換的方法；探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：從特

18、殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個這個值與變量無關(guān)；直接推理、計算，借助韋達定理，結(jié)合向量所提供的坐標關(guān)系，然后經(jīng)過計算推理過程中消去變量，從而得到定值.18、解（1）；（2）或.【解析】（1）由是面積為的等邊三角形，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 的方程組，求出 、，即可得結(jié)果;（2）先證明直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長公式可得 ，化簡得.原點到直線的距離為，的面積，當最大時，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，從而，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，當軸時，則為橢圓的短軸，故有，三點共線，不

19、合題意.所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點，點，聯(lián)立方程組消去，得，所以有，則 ，即，化簡得.因為，所以有且.原點到直線的距離為，的面積，所以當最大時，的面積最大.因為，而，所以當時，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.【點睛】求橢圓標準方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出從而寫出橢圓的標準方程解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.19、（1）；（2）【解析】（1）零點分段解不等式即可（2）等價

20、于，由，得不等式即可求解【詳解】（1）當時，當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得.綜上可知，原不等式的解集為.（2）.存在使得成立，等價于.又因為，所以，即.解得，結(jié)合，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題20、（1）；（2）最小值為，最大值.【解析】（1）利用輔助角公式化簡，并利用解方程，解方程求得的值.（2）求得圖像變換后的解析式，根據(jù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法，求得的最大值和最小值.【詳解】（1）因為.由題設(shè)知，所以，故，又，所以.（2）由（1）得.所以.，所以當，即時，取得最小值，當，即時，取得最大值.【點睛】本小題主要考查輔助角公式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)的