微擾理論課件

1、近似方法：微擾與變分微擾方法：與時間無關（定態(tài)微擾） 與時間有關（量子躍遷）定態(tài)微擾：簡并、非簡并第五章 微擾理論一、適用條件 求解定態(tài)薛定諤方程 比較復雜，無法直接求解，若可將其分成兩部分 5.1 非簡并的定態(tài)微擾的本征值和本征函數(shù)可以求出，則方程（1）就可以通過逐步近似的方法求解。二、微擾論的基本方程 設 的本征值和本征函數(shù)已經(jīng)全部求出： 的本征方程（1）式變?yōu)椋涸O某一個能級 是非簡并的，只有一個 與它對應，加上“微擾 ”后， 將待求的 寫成 的線性迭加： 將（5）式代入（4）式，得到 由于 ， 的主要成分顯然就是 ，因此（5）式中 。這個判斷是使用逐步近似法的基礎。用某一個 左乘（6）式

2、并積分得到 用 左乘（6）式并積分就得到(8)和(9)式是嚴格的，它們和（6）式等價。(8)、(9)式中 是“ 表象”中 的矩陣元在(8)、(9)式中略去所有與 有關的項，就得到零級近似：(8)式中略去最小的第三項即 項,即得 的一級近似(9)式中略去最小的項，即 項，并在右端用 作為 的近似，就得到 的一級近似將(12)式 ，并代 入(8)式，即得 的二級近似將(12)式 ，并代入(5)式，即得 的一級近似（13)、(14)式就是非簡并態(tài)微擾論的主要結(jié)果。(13)式右端各項通常稱為 的零級近似，一級修正和二級修正:(14)式中 項稱為 的一級修正(13)、(14)式成立的條件（逐步近似法適用

3、的條件）為如果緊靠著 存在別的 ，即使 ，微擾論也不適用。試用微擾論求能級的變化，并與精確解比較。例 帶電量為e的一維諧振子，受到恒定弱電場 的微擾作用解1的本征值和本征函數(shù)是能級的一級修正 就是在 中 的平均值為求能級的二級修正和波函數(shù)的一級修正，需要計算可利用（一）簡并微擾理論 （二）討論5.2 簡并微擾理論假設En(0)是簡并的，那末屬于 H(0)的本征值 En(0) 有 k 個歸一化本征函數(shù)：| n1 , | n 2 , ., | n k =滿足本征方程：于是我們就不知道在k個本征函數(shù)中究竟應取哪一個作為微擾波函數(shù)的 0 級近似。所以在簡并情況下，首先要解決的問題是如何選取 0 級近似

4、波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級修正。0 級近似波函數(shù)肯定應從這k個| n 中挑選，而它應滿足上節(jié)按冪次分類得到的方程：共軛方程（一）簡并微擾理論根據(jù)這個條件，我們選取 0 級近似波函數(shù)|n(0)的最好方法是將其表示成 k 個| n 的線性組合，因為反正 0 級近似波函數(shù)要在| n ( =1, 2, ., k )中挑選。|n(0) 已是正交歸一化系數(shù) c 由 一 次冪方 程定出左乘 為基矢的 k 維子空間中，H從而 H的矩陣形式是對角化的。證：上式最后一步利用了Eq.(5)關系式。所以 H在新0級近似波函數(shù)為基矢的表象中是對角化的。 證畢因為 H0在自身表象中是對角化的，所以在新0級

5、近似波函數(shù)為基矢的表象中也是對角化的。 當 = 時，上式給出如下關系式：也就是說，能量一級修正是 H在新 0 級波函數(shù)中的平均值。這一結(jié)論也是預料之中的事。求解簡并微擾問題，從本質(zhì)上講就是尋找一么正變換矩陣 S，使 H從而 H 對角化。求解久期方程和線性方程組就是尋找這一么正變換矩陣的方法。5.3 氫原子一級 Stark 效應（1）Stark 效應氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為 Stark 效應。我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，造成第n 個能級有 n2 度簡并。但是當加入外電場后，由于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark 效應可以用簡并情況下的微擾

6、理論予以解釋。（2）外電場下氫原子 Hamilton 量取外電場沿 z 正向。通常外電場強度比原子內(nèi)部電場強度小得多，例如, 強電場 107 伏/米， 而原子內(nèi)部電場 1011 伏/米，二者相差 4個量級。所以我們可以把外電場的影響作為微擾處理。（3） H0 的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論 n = 2 的情況，這時簡并度 n2 = 4。屬于該能級的4個簡并態(tài)是：（4）求 H 在各態(tài)中的矩陣元由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計算出微擾Hamilton 量 H 在以上各態(tài)的矩陣元。我們碰到角積分 需要利用如下公式：于是:由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計算出微擾Hamilton 量 H

7、在以上各態(tài)的矩陣元。我們碰到角積分 需要利用如下公式：欲使上式不為 0，由球諧函數(shù)正交歸一性 要求量子數(shù)必須滿足如下條件：僅當 = 1, m = 0 時， H 的矩陣元才 不為 0。因此 矩陣元中只有 H12, H21 不等于0。因為所以欲使上式不為 0，由球諧函數(shù)正交歸一性 要求量子數(shù)必須滿足如下條件：（5）能量一級修正將 H 的矩陣元代入久期方程：解得 4 個根：由此可見，在外場作用下，原來 4 度簡并的能級 E2(0)在一級修正下，被分裂成 3 條能級，簡并部分消除。當躍遷發(fā)生時，原來的一條譜線就變成了 3 條譜線。其頻率一條與原來相同，另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來頻率。（6）求

8、0 級近似波函數(shù)分別將 E2(1) 的 4 個值代入方程組：得 四 元一次線性方程組E2(1) = E21 (1) = 3ea0 代入上面方程，得：所以相應于能級 E2(0) + 3ea0 的 0 級近似波函數(shù)是： E2(1) = E22(1) = - 3ea0 代入上面方程，得：所以相應于能級 E(0)2 - 3ea0 的 0 級近似波函數(shù)是：E2(1) = E23(1) = E24(1) = 0 ，代入上面方程，得：因此相應與 E2(0) 的 0 級近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：我們不妨仍取原來的0級波函數(shù)，即令：上述結(jié)果表明，若氫原子處于 0 級近似態(tài) 1(0), 2(0), 3(0),

9、 4(0), 那末，氫原子就好象具有了大小為 3ea0 的永久電偶極矩一般。對于處在1(0), 2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向平行和反平行；而對于處在3(0), 4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向垂直。我們不妨仍取原來的0級波函數(shù)，即令：（7）討論上述結(jié)果表明，若氫原子處于 0 級近似態(tài) 1(0), 2(0), 3(0), 4(0), 那末，氫原子就好象具有了大小為 3ea0 的永久電偶極矩一般。對于處在1(0), 2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向平行和反平行；而對于處在3(0), 4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向垂直。（一）能量的平均值 （二）

10、與 E0 的偏差和試探波函數(shù)的關系（三）如何選取試探波函數(shù) （四）變分方法（五）實例微擾法求解問題的條件是體系的 Hamilton 量 H可分為兩部分其中 H0 的本征值本征函數(shù)已知有精確解析解，而 H很小。如果上面條件不滿足，微擾法就不適用。這時我們可以采用另一種近似方法變分法。5.4 變分法微擾法求解問題的條件是體系的 Hamilton 量 H可分為兩部分設體系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大順序排列為：E0 E1 E2 . En |1 |2 .| n .上式第二行是與本征值相應的本征函數(shù)，其中 E0 、 |0 分別為基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。（一）能量的平均值為簡單計，假定H本

11、征值是分立的，本征函數(shù)組成正交歸一完備系，即設|是任一歸一化的波函數(shù)，在此態(tài)中體系能量平均值：證：則這個不等式表明，用任意波函數(shù)|計算出的平均值 總是大于（或等于）體系基態(tài)的能量，而僅當該波函數(shù)等于體系基態(tài)波函數(shù)時，平均值 才等于基態(tài)能量。若|未歸一化，則插入單位算符由上面分析可以看出，試探波函數(shù)越接近基態(tài)本征函數(shù)， 就越接近基態(tài)能量 E0 .那末，由于試探波函數(shù)選取上的偏差 | - |0 會引起 - E0 的多大偏差呢？ 為了討論這個問題，我們假定已歸一化的試探波函數(shù)為：顯然|有各種各樣的選取方式，通過引入| 就可構(gòu)造出在|0附近的有任意變化的試探波函數(shù)。能量偏差：（二）與 E0 的偏差 和

12、試探波函數(shù)的關系其中是一常數(shù)，|是任一波函數(shù)，滿足 |0所滿足的同樣的邊界條件。結(jié)論 上述討論表明，對本征函數(shù)附近的一個任意小的變化，本征能量是穩(wěn)定的。因此，我們選取試探波函數(shù)的誤差不會使能量近似值有更大的誤差。這也就是說， 是小量，| 與|0 很接近，則與 E0更接近。當且僅當|=|0 時，才有 = E0可見，若 是一小量，即波函數(shù)偏差| - |0 = | 是一階小量，那末是二階小量。試探波函數(shù)的好壞直接關系到計算結(jié)果，但是如何選取試探波函數(shù)卻沒有一個固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的知覺去猜測。（1）根據(jù)體系 Hamilton 量的形式和對稱性推測 合理的試探波函數(shù)；（2）試探波函數(shù)要滿足

13、問題的邊界條件；（3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應包含一個或多個待調(diào)整的參數(shù)，這些參數(shù)稱為變分參數(shù)；（4）若體系 Hamilton 量可以分成兩部分 H = H0 + H1，而 H0 的本征函數(shù)已知有解析解，則該解析解可作為體系的試探波函數(shù)。（三）如何選取試探波函數(shù)例：一維簡諧振子試探波函數(shù)一維簡諧振子Hamilton 量：其本征函數(shù)是：下面我們根據(jù)上面所述原則構(gòu)造試探波函數(shù)?？蛇x取如下試探波函數(shù)：A 歸一化常數(shù)， 是變分參量。選取這樣的試探波函數(shù)是因為1.(x)是光滑連續(xù)的函數(shù)；2.關于 x = 0 點對稱，滿足邊界條件即當 |x| 時， 0；3. (x)是高斯函數(shù)，高斯函數(shù)有很好的性質(zhì)，可作解析積分，且有積分表可查。有了試探波函數(shù)后，我們就可以計算能量平均值是變分參數(shù)的函數(shù)，欲使取最小值，則要求：上式就可定出試探波函數(shù)中的變分參量取何值時 有最小值。（四）變分方法對一維簡諧振子試探波函數(shù)，前面已經(jīng)給出了可能的形式。下面我們就使用這種試探波函數(shù)，應用變分法求解諧振子的基