探索性數(shù)學(xué)教學(xué)實驗培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的研究與實踐

1、探索性數(shù)學(xué)教學(xué)實驗培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的研究與實踐摘要：為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)，采用科學(xué)的思維方 法，進(jìn)行大膽的設(shè)計,探索開放式數(shù)學(xué)教學(xué)實驗。本實驗是基于項目案例，如以成 渝地區(qū)旅游交通路線優(yōu)化問題為案例，指導(dǎo)學(xué)生查閱、整理資料，通過數(shù)學(xué)抽象將 問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)理論和經(jīng)典算法建立數(shù)學(xué)模型。探索性數(shù)學(xué)實驗 提高了學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新實踐能力 關(guān)鍵詞:探索性數(shù)學(xué)實驗；創(chuàng)新素養(yǎng)；數(shù)學(xué)模型Research and Practice on Cultivating Students)Innovative QualityThrough Exploratory Mathemat

2、ics Teaching ExperimentAbstract: In order to improve students) interest in learning mathematics and cultivate students) innovation quality, we adopt the scientific thinking method, carry on the bold design, and explore open mathematics teaching experiment. The experiment process basically are the sa

3、me with the scientific research process. The experiments are based on the project case, such as we take the Chengdu-Chongqing area tourism transportation route optimization problem to demand the students to consult，finishing materials. The problem through mathematical abstraction is transformed into

4、 the math problems，then mathematical theory and classical algorithm can be used to build mathematical model and the optimal path of teaching practice. The exploratory mathematical experiment improve students) innovative personality，innovative thinking and innovative practice.Key words： exploratory m

5、athematical experiments; innovation literacy; mathematical modelo引言“創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂，是一個國家興旺 發(fā)達(dá)的不竭動力，也是中華民族最深沉的民族稟賦?！?國家創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略綱要E指出，要讓創(chuàng)新成為 引領(lǐng)發(fā)展的第一動力，要推動教育創(chuàng)新,把科學(xué)精神、 創(chuàng)新思維、創(chuàng)造能力和社會責(zé)任感的培養(yǎng)貫穿教育全過程。數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代理性文化的核心,是科技創(chuàng)新必 不可少的一種資源，是一種普遍適用并賦予人以能力 的技術(shù)，高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)正在成為 共識。探索性實驗是指采用科學(xué)思維方法，進(jìn)行大膽設(shè) 計，探索研究的一種開放式教學(xué)實驗，實驗實

6、施的基本 程序與科研過程基本一致。探索性數(shù)學(xué)實驗不僅 要用到數(shù)學(xué)知識，還要用到非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識,按照分 析整理的數(shù)據(jù)與信息自行設(shè)定已知條件，將問題經(jīng)過 數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)經(jīng)典理論和算法 提出解決思路和解決方案。探索性數(shù)學(xué)實驗強調(diào)學(xué)生 的主體地位，訓(xùn)練學(xué)生快速獲取信息和資料、快速了解 和堂握新知識的能力、團隊合作意識和團隊合作精神、邏輯思維和開放性思考方式，是培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新素 養(yǎng)一即創(chuàng)新人格、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實踐的有效途徑1探索性數(shù)學(xué)實驗的構(gòu)建高校數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，不能停留在營造創(chuàng) 新的“氛圍”、開展創(chuàng)新“活動”，而應(yīng)設(shè)計有探索性的 數(shù)學(xué)實驗任務(wù)，鼓勵學(xué)生利用創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實踐完

7、成 任務(wù)并及時給予有效指導(dǎo)。探索性數(shù)學(xué)實驗與生產(chǎn)、 生活實際緊密結(jié)合，所解決的問題沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象 和數(shù)量轉(zhuǎn)化，量與量之間的關(guān)系不明確，需要學(xué)生自己 動手去采集、分析、整理數(shù)據(jù)和信息。在教學(xué)實踐中， 利用國家政策、社會熱點、生活實際需求構(gòu)建項目任 務(wù)，驅(qū)動學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，越來越受 到師生的歡迎與青睞。究其原因，在于探索性數(shù)學(xué)實 驗有一定的挑戰(zhàn)度，沒有創(chuàng)新就不能完成實驗任務(wù)，學(xué) 生通過實驗獲取了信息歸結(jié)、探求新知、思維創(chuàng)新，最 終解決問題所帶來的成就感、獲得感探索性數(shù)學(xué)實驗構(gòu)建原則上要學(xué)生參與,通過數(shù) 學(xué)協(xié)會在全校廣泛征集實際問題，由學(xué)生自行查閱資 料,擬定實驗方案，與指導(dǎo)教師

8、一起敲定實驗方案，發(fā) 布并實施，學(xué)生自行組隊開展實驗，實驗以課題的形式 加以推進(jìn)。根據(jù)實驗方案進(jìn)行反復(fù)實驗、討論，提出解 決方案，對比分析實驗結(jié)果，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 度、挑戰(zhàn)度和獲得感;要求學(xué)生撰寫實驗報告,格式應(yīng) 工整，圖文并茂，程序規(guī)范;實驗完成后要總結(jié)匯報，組 織數(shù)模協(xié)會學(xué)生對實驗進(jìn)行總結(jié)，相互交流，取長 補短。2探索性數(shù)學(xué)實驗的案例結(jié)合成渝地區(qū)雙城經(jīng)濟圈這一國家級的發(fā)展戰(zhàn) 略,形成了優(yōu)化成渝地區(qū)城市群旅游交通路線為任務(wù) 的實驗題目2019年新型城鎮(zhèn)化建設(shè)重點任務(wù)明確 將成渝城市群與京津冀城市群、長三角城市群和粵港 澳城市群并列成渝城市群旅游資源非常豐富，連 接旅游城市的高速公路網(wǎng)

9、絡(luò)較為完善,2019年川渝高交通流量等相差不大的情況下,最優(yōu)化路線實際上就 是遍歷所有旅游城市的最短交通路線。尋求最短路線 是節(jié)約旅游成本、時間的最好途徑，也是規(guī)劃旅游線路 的首要考慮。于是,問題就轉(zhuǎn)化為求遍歷（個川渝旅 游城市最短的高速公路旅行路線,其中這（個城市學(xué) 生可以自行選擇。問題經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象和轉(zhuǎn)化后，學(xué)生 開展實驗的方向明確了，接下來就是合理假設(shè)和尋求 問題的解決方案。2. 2解決問題的基礎(chǔ)知識圖是由表示頂點的集合和表示頂點之間關(guān)系 的集合8組成的，通常表示為$ = （ V,E）,其中，$表 示一個圖，是圖$中頂點的有窮非空集合,E是圖$ 中邊的有限集合。設(shè)$為圖，圖的頂點集為V =

10、 （,）,邊集為 E = （,=,（），對圖的每一條邊=（V，V）來說，都對應(yīng)于一個實數(shù)_（可以理解為 邊的“長度#）,把_稱為的“權(quán)”，這樣的圖$稱為 “加權(quán)圖”，其加權(quán)鄰接矩陣L = （Z,）（h（可以定義為3一嚴(yán)J,（ V-，V）! E且 _ 為權(quán)8,（ V-,q）8 E初,圖的用途是將圖中的點和映射關(guān)系反映到現(xiàn)實生 活，例如“頂點”可以對應(yīng)為旅游交通節(jié)點城市;邊對 應(yīng)節(jié)點城市公路的長度,如此便構(gòu)成了一張區(qū)域交通 圖。旅游交通路線是指連接旅游城市的高速公路網(wǎng) 絡(luò),如果只考慮旅游城市與高速公路構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)的拓 撲關(guān)系，可將旅游交通路線抽象成一個圖（Graph）,其 中旅游城市是圖的頂點；連接

11、旅游城市的高速公路是 圖的邊。在圖論中，最短路問題通常指求加權(quán)圖中兩 個指定點（一般為不相鄰的點）之間的最短路徑。許 多學(xué)者開展了最短路問題和最短路徑優(yōu)化問題的研 究,如文獻(xiàn)申2。初,0-1規(guī)劃是決策變量僅取值0或1的規(guī)劃模型。 0-1變量可以數(shù)量化地描述諸如開與關(guān)、取與棄、有與 無等現(xiàn)象所反映的離散變量間的邏輯關(guān)系、順序關(guān)系, 以及互斥的約束條件，因此0-1規(guī)劃模型非常適合描速總里程超10 000 km,預(yù)計到2022年將達(dá)到12 000述和解決如線路設(shè)計、工廠選址、生產(chǎn)計劃安排、人員km,高速公路在促進(jìn)交通運輸與旅游融合發(fā)展發(fā)揮了安排、代碼選取、可靠性等人們所關(guān)心的多種問題，是重要作用。旅

12、游交通特別是高速公路交通的便利程運籌學(xué)的重要分支品。度，是區(qū)域旅游業(yè)是否發(fā)達(dá)的重要因素。試從旅游一2- 3兩點之間最短路問題一般模型體化發(fā)展、旅行成本最小化的角度，優(yōu)化成渝城市群旅 游交通路線。2.1問題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化針對該問題，學(xué)生查閱、整理和分析相關(guān)資料，得 到如下結(jié)論:旅游交通路線的選擇是旅行組織最優(yōu)先 考慮首要成本要素，尋求最短的交通路線是游客追求 時間最少獲得更多的旅游體驗、旅行社追求最小的成 本獲得最大的收益的前提。在旅游交通線路線路況、已知無向加權(quán)圖有n個頂點，設(shè)為V1 ,V2，v（，見 圖1。假設(shè)圖$的加權(quán)鄰接矩陣為Z11Z12Z1nrZ21Z22Z2nL0 =-Zn1Zn2Znn

13、 -圖1有(個頂點的加權(quán)圖其中:1-=0若V巧.之間沒有邊，不直接連通，則lLJ = 8 ；若 V 之間有邊，則 l-j = _-j,i,j = 1,2,(。圖 1 是無向圖,Co是對稱矩陣,I- = lj-。利用Floyd算法計算各頂點之間的最短通路值, 其基本思路是:遞推產(chǎn)生一個矩陣序列1,11,1=, 1，L( , Lk ( - ,j)表示從頂點V-到頂點%的路徑上所 經(jīng)過的頂點序號不大于k的最短路徑長度。建立迭代 模型如下：1k ( - J) D min( Lk_i( i,j) ,1k-i( -,k) + 1k-i( k J)($) 其中:k是迭代次數(shù)，-,j,k = 1,2 ,(。當(dāng)

14、k 時,L( 即是各頂點之間的最短路徑m2。2. 4遍歷所有頂點的最短路徑一般模型假設(shè)(個頂點每2個頂點以最短的距離互相連 通表示V-到的最短距離。設(shè)0-1矩陣0,若不經(jīng)過V-到V這條線 1 ,若經(jīng)過V-到V這條線X- = ( -7)nxn，且 X = 于是，X- = ( -7)nxn，且 X = J=1,9-=1,2,(;若每個點之前只有一個點，則$=-=1 ,-9j1 , = 1,2 同時，為避免在一次遍歷(個點的計 算過程中產(chǎn)生多于一個互不相連的回路，加入約束條 件,引入額外變量0-( - = 1,2,(),使得:u- - 0 +(-j-1,1 - =1,則 u- u & 1 且 u u

15、- & 1,于是 0 & 2,矛 盾。另一方面,V-、V和Vk不可能構(gòu)成回路。若構(gòu)成回 路,則 -j = 1、jk = 1 且 k- = 1，于是 0- U & - 1、uj uk & 1且uk u- & 1,三式子相加可得0& 3，矛盾。于是可以建立最短路徑的一般模型如下：min b = $ )砂可(2)-,=1ns.t. $ x-j = 1 -=1,9-n$ x- = 14 A TkK 字 ic .k- - kj + xu & n - 1 , 1 =1 l ( n-2) * x( k,1)；endmodel:sets:xjd/1. . 9/: u;link( xjd ,xjd):dist,

16、x；endsetsdata:dist =084 121 167 99 126 192 218 24584 0 76 198 124 198 230 290 329121 76 0 274 134 208 178 300 366167 198 274 0 266 293 359 310 3263探索性數(shù)學(xué)實驗的效果本探索性實驗解決問題采用的算法和軟件較多, 大致可以歸納為以下幾個算法和軟件（見表3 ） !兩點之間最遍歷所有頂點的可利用短路徑求法最優(yōu)化路徑求法的程序1.0-L線性規(guī)劃模型1. Dijkstra 算法2.圖的賦權(quán)路徑矩陣算法或 2. Floyd算法C+、Java、3 蟻群算法（改進(jìn)蟻

17、群3, ,3馭群算法（改進(jìn)馭群模型3.04線性規(guī)劃Matlabmodel:sets:xjd/1. . 9/: u;link( xjd ,xjd):dist,x；endsetsdata:dist =084 121 167 99 126 192 218 24584 0 76 198 124 198 230 290 329121 76 0 274 134 208 178 300 366167 198 274 0 266 293 359 310 3263探索性數(shù)學(xué)實驗的效果本探索性實驗解決問題采用的算法和軟件較多, 大致可以歸納為以下幾個算法和軟件（見表3 ） !兩點之間最遍歷所有頂點的可利用短路徑求

18、法最優(yōu)化路徑求法的程序1.0-L線性規(guī)劃模型1. Dijkstra 算法2.圖的賦權(quán)路徑矩陣算法或 2. Floyd算法C+、Java、3 蟻群算法（改進(jìn)蟻群3, ,3馭群算法（改進(jìn)馭群模型3.04線性規(guī)劃Matlab#Lingo算法）模型4.改進(jìn)A*算法表3學(xué)生采用的算法和軟件99 124 134 266 0 74 106 166 246 _圖3 9個城市高速最短路徑學(xué)生基于圖論知識，積極學(xué)習(xí)、掌握以上算法的基 本思路，融匯貫通，創(chuàng)建了切實可行的模型，比較圓滿 地解決了問題。對于參與本實驗的12個小組使用的 算法情況統(tǒng)計如表4。表4 12個小組使用的算法、程序統(tǒng)計算法或程序組數(shù)兩點之間最Di

19、jkstra 算法4短路徑求法Floyd算法60-1線性規(guī)劃模型2遍歷所有頂點的O-1線性規(guī)劃模型M最優(yōu)化路徑求法圖的賦權(quán)路徑矩陣1蟻群算法（改進(jìn)蟻群算法）2改進(jìn)/算法1程序)+2Java1Matlab5Lingo4通過實施探索性數(shù)學(xué)實驗，對學(xué)生創(chuàng)新人格、創(chuàng)新 思維、創(chuàng)新實踐有積極影響，有效培養(yǎng)了大學(xué)生的創(chuàng)新 素養(yǎng)。具體表現(xiàn)在以下3個方面:激發(fā)了學(xué)生好奇 心,培養(yǎng)勇于挑戰(zhàn)、獨立自信的良好特質(zhì),解決了 “想 不想”的問題。探索性實驗來源于生產(chǎn)生活，沒有經(jīng) 過數(shù)學(xué)抽象和數(shù)量轉(zhuǎn)化，沒有解決的范式和套路，具有 一定的難度和挑戰(zhàn)性，能有效激發(fā)學(xué)生的好奇心、樹立 學(xué)生自信心，引導(dǎo)學(xué)生不畏困難、勇于挑戰(zhàn)。訓(xùn)

20、練學(xué) 生進(jìn)行信息梳理聚焦，多角度尋找解決問題的方法，鍛 煉了學(xué)生思維能力，解決“能不能”的問題。實驗以項 目的方式展開，鼓勵學(xué)生積極探索，運用新知識、新技 術(shù)、新方法開展實驗研究。統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生在實驗 中創(chuàng)新運用了各種新知識、新理論和新軟件，進(jìn)一步鍛 煉了學(xué)生邏輯思維和開放性思考方式,拓展了學(xué)生理 論知識的應(yīng)用實踐,有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。有 效驅(qū)動學(xué)生全身心投入創(chuàng)新實踐，解決學(xué)生“做不做” 的問題。探索性數(shù)學(xué)實驗鍛煉了學(xué)生快速獲取信息和 資料的能力,學(xué)生必須快速查閱大量信息和資料，才能 對問題有全面、深入地了解，問題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化才準(zhǔn)確、 具體;實驗中每個人分工明確，同時又相互協(xié)作，一起 討論實驗方案，充分討論數(shù)學(xué)模型和求解方案,在個性 得到充分彰顯的同時，更注重團隊協(xié)作。表5所示清晰地列出了探索性數(shù)學(xué)實驗對學(xué)生創(chuàng) 新素養(yǎng)的培養(yǎng)效果。近年來，學(xué)生在全國大學(xué)生建模大賽