拋物線以及其標(biāo)準(zhǔn)方程(4)講稿

1、關(guān)于拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 (4)第一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月拱橋第二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和一條定直線l 的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡（直線 l 不經(jīng)過點(diǎn)F）,當(dāng)0e1時(shí)，點(diǎn)的軌跡是 ；當(dāng)e1時(shí)，點(diǎn)的軌跡是 ；我們把這個(gè)定義叫做橢圓和雙曲線的第二定義。那么當(dāng)e=1時(shí)，點(diǎn)的軌跡又是什么呢？ 橢圓雙曲線復(fù)習(xí)提問： 第三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 lF拋物線拋物線的焦點(diǎn)拋物線的準(zhǔn)線一、拋物線定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡 叫做拋物線（不經(jīng)過點(diǎn)F）M第四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1.建:

2、建立直角坐標(biāo)系.3.列:根據(jù)條件列出等式;4.代:代入坐標(biāo)與數(shù)據(jù);5.化:化簡方程.2.設(shè):設(shè)點(diǎn)(x,y);回顧求曲線方程一般步驟：6.（證）:檢驗(yàn)第五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。 （定點(diǎn)F不在定直線l 上） 點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l 叫做拋物線的準(zhǔn)線。（一）拋物線的定義lFKMN想一想：定義中當(dāng)直線l 經(jīng)過定點(diǎn)F，則點(diǎn)M的軌跡是什么?lF一條經(jīng)過點(diǎn)F且垂直于l 的直線第六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月FMlN想一想：求拋物線方程時(shí)該如何建立直角坐標(biāo)系？（二）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程第七張，PPT共二十八

3、頁，創(chuàng)作于2022年6月yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2思考： 拋物線是一個(gè)怎樣的對稱圖形？第八張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月如圖所示，以經(jīng)過點(diǎn)F且垂直于l 的直線為x軸, x軸與直線l 交于點(diǎn)K，與拋物線交于點(diǎn)O，則O是線段KF的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系。 設(shè)|KF|=p (p0),那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為( ,0),準(zhǔn) 線 l 的方程為x= 。p2p2xyOFMlNK設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d=|MN|想一想：p的幾何意義？求拋物線的方程為什么？第九張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月xyOFMlNK由拋物線的定義，化簡后得

4、 :拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為它表示的拋物線焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,坐標(biāo)是 ，準(zhǔn)線方程是注意：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程表示的是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線。第十張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它形式。想一想：怎樣推導(dǎo)出其它幾種形式的方程？yox第十一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月y2=-2px(p0)x2=2py(p0)準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程圖 形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p0)x2=-2py(p0)P的意義:拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離方程的特點(diǎn):(1)左邊是二次式,(2)右邊

5、是一次式;決定了焦點(diǎn)的位置.四四種拋物線的對比第十二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月想一想： 如何判斷上表中拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程與圖象的對應(yīng)關(guān)系？第一：一次項(xiàng)變量決定對稱軸。第二：一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定了開口方向。說明：當(dāng)對稱軸和開口方向確定好之后，拋物線圖象就隨之確定，根據(jù)圖象可以很容易判斷焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。整個(gè)判斷過程體現(xiàn)出從數(shù)到形，再由形到數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想。第十三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2 = 6x， 求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）已知拋物線的方程是y = 6x2， 求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（3）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0

6、，-2）， 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)?，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（,）準(zhǔn)線方程為x=- .3232 1 12解:方程可化為:x =- y,故p=,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, -),準(zhǔn)線方程為y= .16 1 24 1 242解:因焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,且p/2=2,p=4,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為:x = - 8y2第十四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1：根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)是F（3，0）（2）準(zhǔn)線方程 是x = （3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2解：y2 =12x解：y2 =x小結(jié)第十五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月強(qiáng)化提高根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2

7、；關(guān)鍵：理解p的幾何意義，熟記標(biāo)準(zhǔn)方程四種形式解：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2 p=2 又焦點(diǎn)的位置不確定 該拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式 y2=2px ， x2=2py 此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情況： y2=4x ， x2=4y 題后反思：用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)先確定拋物線的形式，再求p值。無法確定焦點(diǎn)位置，注意分類討論第十六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2、求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）x2 +8y =0焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程（1）（2）（3）（5，0）x= -5（0，）18y= - 18y=2(0 , -2)感悟 ：求拋物線的焦點(diǎn)

8、坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程要先化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。第十七張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖（1）所示。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處。已知接受天線的口徑（直徑）為4.8m,深度為0.5m。試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)。0.5m4.8m第十八張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解：如上圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合。 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ，由已知條件可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ，代入方程，得即所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ，焦點(diǎn)的坐標(biāo)是4.8m

9、0.5m第十九張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（四）課堂小結(jié)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和一條定直線l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。一個(gè)定義：兩類問題：三項(xiàng)注意：四種形式：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；已知方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。定義的前提條件：直線l 不經(jīng)過點(diǎn)F; p的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；標(biāo)準(zhǔn)方程表示的是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種： y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0)第二十張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月課外拓展： 1、為什么說二次函數(shù)y=ax2（a0)的圖像是拋物線？你能指出它的焦

10、點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？小結(jié)第二十一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解：二次函數(shù)可化為：x2= y1a即2p=1 a4a1焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0, ），準(zhǔn)線方程是：y =4a1當(dāng)a0時(shí), ,拋物線的開口向上p2=14a所以不論a0,還是a0，都有焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ 0， ），準(zhǔn)線方程是：y =4a114a小結(jié)第二十二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例3.求過點(diǎn)A（-3，2）的拋物線的 標(biāo)準(zhǔn)方程。AOyx解：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)，把A（-3，2）代入x2 =2py，得p= 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，把A（-3，2）代入y2 = -2px，得p= 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 = y或y2

11、= x 。第二十三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例4、M是拋物線y2 = 2px（P0）上一點(diǎn)，若點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為X0，則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是 X0 + 2pOyxFM第二十四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 例4.點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1,求點(diǎn)M的軌跡方程.例題講解xyoF(4,0)Mx+5=0 解:由已知條件可知,點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x+4=0的距離,根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F(4,0)為焦點(diǎn)的拋物線. p/2=4, p=8. 又因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸的正半軸,所以點(diǎn)M的軌跡方程為 y2=16x.小結(jié)第二十五張，PPT共二十

12、八頁，創(chuàng)作于2022年6月變式訓(xùn)練1.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)是（0，-3） ；(2)準(zhǔn)線是 ；2.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.(1)y=8x2 ；(2)x2+8y=0；x2= -12yy2=2x焦點(diǎn) ，準(zhǔn)線焦點(diǎn) ，準(zhǔn)線感悟 ：求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程要先化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。感悟：用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)先確定拋物線的形式，再求p值。第二十六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月強(qiáng)化提高根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2；(2)焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上。關(guān)鍵：理解p的幾何意義，熟記標(biāo)準(zhǔn)方程四種形式關(guān)鍵：標(biāo)準(zhǔn)方程表示的是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線解：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2 p=2 又焦點(diǎn)的位置不確定 該拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式 y2=2px ， x2=2py 此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情況： y2=4x ， x2=4y 解：標(biāo)準(zhǔn)方程表示的拋物線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； 又拋物線的焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上， 焦點(diǎn)就是直線與