福州第三中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題

2、卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知，則（ ）ABCD2命題，則（ ）A是真命題，B是假命題，C是真命題，D是假命題，3設(shè)，若，則的最小值為AB8C9D104已知 x1+i=1-yi，其中 x,y 是實數(shù)，i 是虛數(shù)單位，則 x+yiA1+2i B1-2i C2+i D2-i56本相同的數(shù)學(xué)書和3本相同的語文書分給9個人，每人1本，共有不同分法（）ABCD6如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有（ ）A72種B48種C24種D12種7若滿足，則的最大值為(

3、)A8B7C2D18雙曲線經(jīng)過點，且離心率為3，則它的虛軸長是（）ABC2D49下列隨機(jī)試驗的結(jié)果，不能用離散型隨機(jī)變量表示的是()A將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點數(shù)之和B某籃球運(yùn)動員6次罰球中投進(jìn)的球數(shù)C電視機(jī)的使用壽命D從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)10甲、乙、丙，丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績。老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀，兩位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則（ ）A乙、丁可以知道自己的成績B乙可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績D丁可以知道四人的成績11

4、已知隨機(jī)變量的取值為，若，則（ ）ABCD12某公共汽車上有5名乘客，沿途有4個車站，乘客下車的可能方式（ ）A種B種C種D種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 “直線與雙曲線有且只有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的_條件14正四面體的所有棱長都為2，則它的體積為_15函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_16已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）袋中裝有10個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是.（1）求白球的個數(shù)；（2）從袋中任意摸出3個球

5、，記得到白球的個數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.18（12分）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，上頂點為，（為坐標(biāo)原點）.（1）求橢圓的方程；（2）定義：曲線在點處的切線方程為.若拋物線上存在點（不與原點重合）處的切線交橢圓于、兩點，線段的中點為.直線與過點且平行于軸的直線的交點為，證明：點必在定直線上.19（12分）已知函數(shù).（）求函數(shù)yf（x）圖象的對稱軸和對稱中心；（）若函數(shù)，的零點為x1，x2，求cos（x1x2）的值20（12分）互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費(fèi)中手機(jī)支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式. 某學(xué)生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進(jìn)行了調(diào)查研究. 采

6、用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機(jī)支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人. （1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機(jī)支付，做出以下促銷活動：凡是用手機(jī)支付的消費(fèi)者，商品一律打八折. 已知某商品原價50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費(fèi)者購買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費(fèi)者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學(xué)期望.21（12分）設(shè)函數(shù)，（為常數(shù)），曲線

7、在點處的切線與軸平行（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（3）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍22（10分）已知數(shù)列滿足，設(shè)，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將a，b，c分別與1和0比較，得到結(jié)論.【詳解】因為所以故選：C【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】分析：根據(jù)命題真假的判斷和含有量詞的命題的否定，即可得到結(jié)論.詳解：

8、，恒成立 是真命題， ，故選C.點睛：本題考查命題真假的判斷，含有量詞的命題的否定關(guān)系的應(yīng)用.3、C【解析】根據(jù)題意可知，利用“1”的代換，將化為，展開再利用基本不等式，即可求解出答案?！驹斀狻坑深}意知，且，則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，的最小值為9，故答案選C?！军c睛】本題主要考查了利用基本不等式的性質(zhì)求最值的問題，若不滿足基本不等式條件，則需要創(chuàng)造條件對式子進(jìn)行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等。4、D【解析】x1+i=x(1-i)5、A【解析】先分語文書有 種，再分?jǐn)?shù)學(xué)書有，故共有=，故選A.6、A【解析】試題分析：先涂A的話，有4種選擇，若選擇了一種，則B有3種，而為了讓C與AB都不一樣，則C有

9、2種，再涂D的話，只要與C涂不一樣的就可以，也就是D有3種，所以一共有4x3x2x3=72種，故選A考點：本題主要考查分步計數(shù)原理的應(yīng)用點評：從某一區(qū)域涂起，按要求“要求相鄰的矩形涂色不同”，分步完成7、B【解析】試題分析：作出題設(shè)約束條件可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，把直線向上平移，增加，當(dāng)過點時，為最大值故選B考點：簡單的線性規(guī)劃問題8、A【解析】根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點和離心率，結(jié)合列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得虛軸長.【詳解】將點代入雙曲線方程及離心率為得，解得，故虛軸長，故本小題選A.【點睛】本小題主要考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.解題過

10、程中要注意：虛軸長是而不是.9、C【解析】分析： 直接利用離散型隨機(jī)變量的定義逐一判斷即可.詳解：隨機(jī)取值的變量就是隨機(jī)變量，隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量兩種，隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量，有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機(jī)變量稱為“離散型隨機(jī)變量”，題目中都屬于離散型隨機(jī)變量，而電視機(jī)的使用壽命屬于連續(xù)型隨機(jī)變量，故選C.點睛：隨機(jī)取值的變量就是隨機(jī)變量，隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量兩種（變量分為定性和定量兩類，其中定性變量又分為分類變量和有序變量；定量變量分為離散型和連續(xù)型），隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量，本題考的離散型隨機(jī)變量

11、.10、A【解析】根據(jù)甲的所說的話，可知乙、丙的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，再結(jié)合簡單的合情推理逐一分析可得出結(jié)果.【詳解】因為甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，又甲看了乙、丙的成績且還不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，又乙看了丙的成績，則乙由丙的成績可以推出自己的成績，又甲、丁的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，則丁由甲的成績可以推出自己的成績.因此，乙、丁知道自己的成績，故選：A.【點睛】本題考查簡單的合情推理，解題時要根據(jù)已知的情況逐一分析，必要時可采用分類討論的思想進(jìn)行推理，考查邏輯推理能力，屬于中等題.11、C【解析】設(shè)，則由，列出方程組，求出，即可求得【

12、詳解】設(shè)，又由得，故選：C.【點睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題12、D【解析】5名乘客選4個車站，每個乘客都有4種選法【詳解】每個乘客都有4種選法，共有種，選D【點睛】每個乘客獨立，且每個乘客都有4種選法二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、必要非充分【解析】結(jié)合直線和雙曲線的位置關(guān)系，先判斷充分條件，再判斷必要條件得解.【詳解】當(dāng)直線與雙曲線有且只有一個公共點時，直線有可能與雙曲線相切，也有可能相交（直線與雙曲線的漸近線平行），所以“直線與雙曲線有且只有

13、一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的非充分條件；直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線有且只有一個公共點，所以“直線與雙曲線有且只有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要條件.所以“直線與雙曲線有且只有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件故答案為：必要非充分【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14、.【解析】試題分析:過作，則是的中心，連接,則,在中，,所以.考點：多面體的體積.15、1.【解析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與

14、直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率 本題正確結(jié)果：【點睛】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵16、【解析】分析：當(dāng)時，求得；當(dāng)時，類比寫出，兩式相減整理得，從而確定數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項公式.詳解：當(dāng)時，得 當(dāng)時，由，得， 兩式相減，得數(shù)列是以1為首項為公比的等比數(shù)列通項公式故答案為.點睛：本題主要考查已知數(shù)列的前項和與關(guān)系，求數(shù)列的通項公式的方法.其求解過程分為三步：（1）當(dāng)時， 求出；（2）當(dāng)時，用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用 便可求出當(dāng)時的表達(dá)式；（3）對時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合時的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如

15、果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）5個；（2）見解析.【解析】（1）設(shè)白球的個數(shù)為x，則黑球的個數(shù)為10 x，記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，則兩個都是黑球與事件A為對立事件，由此能求出白球的個數(shù)；（2）隨機(jī)變量X的取值可能為：0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列【詳解】（1）設(shè)白球的個數(shù)為x，則黑球的個數(shù)為10 x，記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，則,解得.故白球有5個.（2）X服從以10，5，3為參數(shù)的超幾何分布，.于是可得其分布列為:【點睛】本題主要考查離散

16、型隨機(jī)變量的分布列,超幾何分布，求出離散型隨機(jī)變量取每個值的概率，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題18、（1）；（2）見解析.【解析】（1）由得出，再由得出，求出、的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)中定義得出直線的方程，并設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用中點坐標(biāo)公式求出點的坐標(biāo)，得出直線的方程與的方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，可得出點所在的定直線的方程.【詳解】（1）由，可知，即.，可得，聯(lián)立.得，則，所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)點，則由定義可知，過拋物線上任一點處的切線方程為，所以.設(shè)、，.聯(lián)立方程組，消去，得.由，得，解得.因為，所以，從而，所以，所以直線

17、的方程為.而過點且平行于軸的直線方程為，聯(lián)立方程，解得，所以點在定直線上.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，以及直線與拋物線、直線與橢圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵在于利用題中的定義寫出切線方程，并將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法進(jìn)行求解，考查方程思想的應(yīng)用，屬于難題.19、（）對稱軸方程為x，kZ，對稱中心為（，0），kZ；（）【解析】（）先利用三角恒等變換化簡目標(biāo)函數(shù)，然后求解對稱軸和對稱中心；（）先求出的零點，然后求解cos（x1x2）的值【詳解】函數(shù)sin4xcos4xsin（4x），（）由4x，kZ，可得f（x）的對稱軸方程為x，kZ，令4xk，kZ，則x，kZ，f（x）的對

18、稱中心為（，0），kZ；（）根據(jù)函數(shù)，可得g（x）sin（4x），的零點為x1，x2，sin（4x1）0，即sin（4x1），2sin（2x1）cos（2x1），由（）知，f（x）在內(nèi)的對稱軸為x，則x1+x2，x2x1，cos（x1x2）cos（x1（x1）cos（2x1）sin（2x1）sin（2x1）sin（2x1） 【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及恒等變換，把目標(biāo)函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)型函數(shù)是求解的關(guān)鍵，零點的轉(zhuǎn)化有一定的技巧，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20、（1）；（2）440【解析】（1）先計算出選取的人中，全都是高于歲的概率，然后用減去這個概率，求得至少有人的年齡低于歲的概

19、率.（2）首先確定“銷售的10件商品中以手機(jī)支付為首選支付的商品件數(shù)”滿足二項分布，求得銷售額的表達(dá)式，然后利用期望計算公式，計算出銷售額的期望.【詳解】（1）設(shè)事件表示至少有1人的年齡低于45歲， 則. （2）由題意知，以手機(jī)支付作為首選支付方式的概率為. 設(shè)表示銷售的10件商品中以手機(jī)支付為首選支付的商品件數(shù)，則，設(shè)表示銷售額，則， 所以銷售額的數(shù)學(xué)期望（元）.【點睛】本小題主要考查利用對立事件來計算古典概型概率問題，考查二項分布的識別和期望的計算，考查隨機(jī)變量線性運(yùn)算后的數(shù)學(xué)期望的計算.21、 (1)k=1;(2)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為;(3) .【解析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)切線的性質(zhì)得到關(guān)于k的方程，解方程即可求得k的值；（2）首先確定函數(shù)的定義域，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值即可；（3）用問題等價于，據(jù)此求解實數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】（1），因為曲線在點處的切線與軸平行，所以，所以.（2），定義域為，令，得，當(dāng)變化時，和的變化如下表：由上表可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為.（3）若對任意成立，則，即，解