高中數(shù)學(xué)考前歸納總結(jié)數(shù)列求和的常用方法

1、數(shù)列求和的常用方法一公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式,特殊聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式,務(wù)必檢查其公比與 1 的關(guān)系,必要時(shí)需分類爭(zhēng)論；常用公式：1 2 3 n 12 n n 1,1 22 2n 2 16 n n 12 n 1,1 3 2 3 3 3 n 3 n n 1 22例 1、已知 a n 是首項(xiàng)為 1的等比數(shù)列,如 S 是 a n 的前 n 項(xiàng)和,且 9S 3 S ,求數(shù)列 1 的前 n 項(xiàng)和 S ；na n解析：如 q 1,就由 9S 3 S ,得 9 3a16a1,就 a10,不滿意題意,故 q 1 由 9S 3 S ,得 9 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . ,解得 q2 6故 a n

2、 a q n 1 2 n 1,就 1 1 n 1a n 2于是數(shù)列 1 是以 1 為首項(xiàng), 錯(cuò)誤 . 為公比的等比數(shù)列,a n其前 5 項(xiàng)和為 S n 1 11 1 12 n2 2 12 n 2 2 1 n；2練習(xí)：（1）等比數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和 S n 2 n1,就 a 1 2a 2 2a 3 2a n 2_ n（答：4 1）；3（2）運(yùn)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的；二進(jìn)制即“ 逢 2 進(jìn) 1” ,如 1101 2 表示二進(jìn)制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是 1 2 3 1 2 2 0 2 1 1 2 0 13,那么將二 111 11 2進(jìn)制 2022 個(gè) 1 轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是 _

3、（答：2 20221 ）二、分組求和法： 在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“ 和式” 中“ 同類項(xiàng)” 先合并在 一起,再運(yùn)用公式法求和例 2、數(shù)列 1 n n 的前 2 010 項(xiàng)的和 S 2022 為 A 2 010 B 1 005 C2 010 D1 005 解、法一： S 2 010 123 4 2 007 2 008 2 009 2 010 135 2 009 246 2 010 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 1 005 法二： S2 010 12 3456 2 009 2 010 12 34 56 2 009 2 010 1 1 1 1 1 10051005 個(gè)練習(xí)：求：S n 1 3 5

4、7 1 2 nn 1（答： 1 n n ）三、倒序相加法：如和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián),就常可考慮選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前 n 和公式的推導(dǎo)方法） ,如例 3、已知F x f x11是 R上的奇函數(shù),a nf0f1f22nnfnn1f1 nN*,就數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為ann2ann Cann1 D Aann 1 B解析：F x f x11是奇函數(shù),FxF x 2即f1x1f1x 1,f1xf1x22222即只需 mn1,就 fmfn 2,而ananf01f1 nnf2 nffnn1f1ffn1 1f0n,得2a nf0f1f

5、1fnn1 f1f02n1n ann1 練習(xí)：求證：0 C n221 3 C n2 5 C nf2nn 1 C n n1 2n；f1 3f1_ 已知f x x,就f12f3f4f11x24（答：7 2）四、錯(cuò)位相減法：假如數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前 n 和公式的推導(dǎo)方法）如例 4、設(shè) an 是等差數(shù)列, bn 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且 a1b11,a3b519,a5b39,求數(shù)列 anbn 的前 n 項(xiàng)和 Sn；解：由條件易求出a nn b nn 21nN*,Sn1 12 213 2 2 n 2 n1, 2Sn1 2

6、2 22 n1 2n 1n 2 n,由,得 : Sn12 122 2 n1n 2 n,4,那Sn2n1n1 練習(xí)：設(shè) a n為等比數(shù)列,Tnna 1n1 a22an1a ,已知T 11,T 2 求數(shù)列 a n的首項(xiàng)和公比；求數(shù)列T n的通項(xiàng)公式（答：a 11,q2；T nn 21n2）；五、裂項(xiàng)相消法： 假如數(shù)列的通項(xiàng)可 “ 分裂成兩項(xiàng)差”的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),么常選用裂項(xiàng)相消法求和常用裂項(xiàng)形式有：n n 11 1n n 11；n n 1k 1 1k n n 1k ； 12 2 1 1 1 1,1 1 1 12 1 1 1；k k 1 2 k 1 k 1 k k 1 k 1 k k k

7、 1 k k 1 k 1 1 1 1；n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 2 n 1 1； n 1. n . n 1. 2 n 1 n 2 1 2 2 n n 1n n 1 n n n 1例 5、已知數(shù)列 an ：錯(cuò)誤 . ,錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . ,錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . , , 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 .錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . , ,求數(shù)列 bn 錯(cuò)誤 . 的前 n 項(xiàng)和 Sn；解、由已知條件,可得數(shù)列1a n的通項(xiàng)公式為an11231nnn2b n14141n 1,a a n nn nnS n41111141n1 1223n41n1nn1例 6、數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 錯(cuò)誤 . nN *,如前 n 項(xiàng)和為 Sn,就 Sn 為1 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 1 錯(cuò)誤 . 1 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 1 解： an錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . ,Sn錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 1錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 .錯(cuò)誤 . 錯(cuò)誤 .