高中數學示范教案新人教A版必修3

1、第 3 課時 指數與指數冪的運算 3 導入新課思路 1.同學們 , 既然我們把指數從正整數推廣到整數 , 又從整數推廣到正分數到負分數 , 這樣指數就推廣到有理數 , 那么它是否也和數的推廣一樣 , 究竟有沒有無理數指數冪呢 .回憶數的擴充過程, 自然數到整數 , 整數到分數 有理數 , 有理數到實數 . 并且知道 , 在有理數到實數的擴充過程中 , 增加的數是實數 . 對無理數指數冪 , 也是這樣擴充而來 . 既然如此 , 我們這節(jié)課的主要內容是 : 老師板書本堂課的課題 指數與指數冪的運算 3 之無理數指數冪 . 思路 2.同學們 , 在中學我們學習了函數的學問 , 對函數有了一個初步的明

2、白 , 到了高中 , 我們又對函數的概念進行了進一步的學習 , 有了更深的懂得 , 我們僅僅學了幾種簡潔的函數 , 如一次函數、二次函數、 正比例函數、反比例函數、三角函數等 , 這些遠遠不能滿意我們的需要 , 隨著科學的進展 , 社會的進步 , 我們仍要學習很多函數 , 其中就有指數函數 , 為了學習指數函數的學問 , 我們必需學習實數指數冪的運算性質, 為此 , 我們必需把指數冪從有理數指數冪擴充到實數指數冪 , 因此我們本節(jié)課學習: 指數與指數冪的運算3 之無理數指數冪, 老師板書本堂課的課題 . 推動新課新知探究提出問題我們知道 2 =1.414 213 56 , 那么 1.41,1.

3、414,1.414 2,1.414 21, , 是 2 的什么近似值？而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22, , 是 2 的什么近似值？多媒體顯示以下圖表 : 同學們從上面的兩個表中 , 能發(fā)覺什么樣的規(guī)律 . 2 的過剩近似值 5 5 2 的近似值1.5 11.18033989 1.42 9.82935328 1.415 9.750851808 1.4143 9.73987262 1.41422 9.738618643 1.414214 9.738524602 1.4142136 9.738518332 1.41421357 9.738517862 1.41421356

4、3 9.73817752 5 2 的近似值 2 的不足近似值9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 .如 51.414 , 能作出判9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 213 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 你能給上述思想起個名字嗎. 2 , 依據你學過的學問一個正數的無理數次冪究竟是一個什么性質的數呢斷并合理

5、地說明嗎. 借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎. 活動：老師引導 , 同學回憶 , 老師提問 , 同學回答 , 積極溝通 , 準時評判同學 , 同學有困惑時加以說明 , 可用多媒體顯示幫助內容 : 問題從近似值的分類來考慮 , 一方面從大于 2 的方向 , 另一方面從小于 2 的方向 . 問題對圖表的觀看一方面從上往下看 , 再一方面從左向右看 , 留意其關聯(lián) . 問題上述方法實際上是無限接近 , 最終是靠近 . 問題對問題賜予大膽推測 , 從數軸的觀點加以說明 . 問題在的基礎上 , 推廣到一般的情形 , 即由特殊到一般 . 爭論結果： 1.41,1.414,1.414 2,1.414 2

6、1, 這些數都小于 2 , 稱 2 的不足近似值 , 而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22, , 這些數都大于 2 , 稱 2 的過剩近似值 . 第一個表 : 從大于 2 的方向靠近 2 時,5 2 就從 5 1.5,5 1.42,5 1.415,5 1.4143 ,5 1.41422, , 即大于 5 2的方向靠近 5 2 . 其次個表 : 從小于 2 的方向靠近 2 時,5 2 就從 5 1.4 ,5 1.4 1,5 1.4 14,5 1.4 14 2,5 1.414 21, , 即小于 5 2 的方向靠近 5 2 . 從另一角度來看這個問題 , 在數軸上近似地表示這些

7、點 , 數軸上的數字說明一方面 5 2 從5 1.4 ,5 1.41,5 1.414,5 1.414 2,5 1.414 21, , 即小于 5 2 的方向接近 5 2 , 而另一方面 5 2 從5 1.5 ,5 1.42,5 1.415 ,5 1.4143 ,5 1.41422, , 即大于 5 2 的方向接近 5 2 , 可以說從兩個方向無限地接近5 2 , 即靠近 5 2 , 所以 5 2 是一串有理數指數冪 5 1.4 ,5 1.4 1,5 1.414,5 1.4 14 2,5 1.414 21, , 和另一串有理數指數冪 5 1.5,5 1.42,5 1.415 ,5 1.4143,

8、5 1.41422, , 按上述變化規(guī)律變化的結果 , 事實上表示這些數的點從兩個方向向表示 5 2 的點靠近 , 但這個點肯定在數軸上 , 由此我們可得到的結論 是 5 2 一 定 是 一 個 實 數 , 即 5 1.45 1.415 1.4145 1.414 25 1.414 21 5 2 5 1.414225 1.4143 5 1.4155 1.42 0, 是無理數）是一個確定的實數 . 也就是說無理數可以作為指數 , 并且它的結果是一個實數 , 這樣指數概念又一次得到推廣 , 在數的擴充過程中 , 我們知道有理數和無理數統(tǒng)稱為實數 . 我們規(guī)定了無理數指數冪的意義 , 知道它是一個確定

9、的實數 , 結合前面的有理數指數冪 , 那么 , 指數冪就從有理數指數冪擴充到實數指數冪 . 提出問題（1）為什么在規(guī)定無理數指數冪的意義時 , 必需規(guī)定底數是正數 . （2）無理數指數冪的運算法就是怎樣的 .是否與有理數指數冪的運算法就相通呢 . （3）你能給出實數指數冪的運算法就嗎 . 活動： 老師組織同學互助合作 , 溝通探討 , 引導他們用反例說明問題 , 留意類比 , 歸納 . 對問題（ 1）回憶我們學習分數指數冪的意義時對底數的規(guī)定 , 舉例說明 . 對問題（ 2）結合有理數指數冪的運算法就 , 既然無理數指數冪 a （a0, 是無理數）是一個確定的實數 , 那么無理數指數冪的運算

10、法就應當與有理數指數冪的運算法就類似 , 并且相通. 對問題（ 3）有了有理數指數冪的運算法就和無理數指數冪的運算法就 , 實數的運算法就自然就得到了 . 爭論結果：（ 1）底數大于零的必要性 , 如 a=-1, 那么 a 是+1 仍是 -1 就無法確定了 , 這樣就造成紛亂 , 規(guī)定了底數是正數后 , 無理數指數冪 a 是一個確定的實數 , 就不會再造成紛亂 . （2）由于無理數指數冪是一個確定的實數 , 所以能進行指數的運算 , 也能進行冪的運算 , 有理數指數冪的運算性質 , 同樣也適用于無理數指數冪 . 類比有理數指數冪的運算性質可以得到無理數指數冪的運算法就 : a r a s=a

11、r+sa0,r,s 都是無理數 . a r s=a rsa0,r,s 都是無理數 . a b r=a r b r a0,b0,r 是無理數 . （3）指數冪擴充到實數后 , 指數冪的運算性質也就推廣到了實數指數冪 . 實數指數冪的運算性質 : 對任意的實數 r,s, 均有下面的運算性質 : a r a s=a r+sa0,r,s R. a r s=a rsa0,r,s R. a b r=a r b r a0,b0,r R. 應用示例思路 1 例 1 利用函數運算器運算 . （精確到 0.001 ）3（1）0.3 2.1 ; （ 2）3.14-3; （3）3.1 4 ; （4）3 3. 活動：

12、老師教會同學利用函數運算器運算 , 熟識運算器的各鍵的功能 , 正確輸入各類數 , 算出數值 , 對于（ 1）, 可先按底數 0.3, 再按 鍵, 再按冪指數 2.1, 最終按 , 即可求得它的值；對于（ 2）, 先按底數 3.14, 再按 鍵, 再按負號 鍵, 再按 3, 最終按 即可 ; 對于 3, 先按底數 3.1, 再按 鍵, 再按 3 4, 最終按 即可 ; 對于（ 4）, 這種無理指數冪 , 可先按底數 3, 其次按 鍵, 再按 鍵, 再按 3, 最終按 鍵. 有時也可按 或 鍵 , 使用鍵上面的功能去運算 . 同學可以相互溝通 , 挖掘運算器的用途 . 答案：（1）0.3 2.1

13、 0.080; （ 2）3.14-30.032;3（3）3.1 42.336; （ 4）3 3 6.705.點評：嫻熟把握用運算器運算冪的值的方法與步驟 , 感受現代技術的威力 , 逐步把自己融入現代信息社會；用四舍五入法求近似值 , 如保留小數點后 n 位 , 只需看第（ n+1）位能否進位即可. 例 2 求值或化簡 . 1a4b23ab2a0,b0; a0,b0; . 21 414ab12.0 112a3b323526743642活動：同學觀看 , 摸索 , 所謂化簡 , 即如能化為常數就化為常數, 如不能化為常數就應使所化式子達到最簡 , 對既有分數指數冪又有根式的式子 , 應當把根式統(tǒng)

14、一化為分數指數冪的形式 , 便于運算 , 老師有針對性地提示引導 , 對1 由里向外把根式化成分數指數冪 , 要緊扣分數指數冪的意義和運算性質 , 對2 既有分數指數冪又有根式 , 應當統(tǒng)一起來 , 化為分數指數冪 , 對 3有多重根號的式子 , 應先去根號 , 這里是二次根式 , 被開方數應湊完全平方 , 這樣 , 把 5,7,6 拆成 3 2+ 2 2,2 2+ 3 2,2 2+ 2 2, 并對同學作準時的評判 , 留意總結解題的方法和規(guī)律. 4212111=a114=3b4. 解： 1a4b23ab2=a2b2a3b32=a-2ba 6b36b36a11點評： 根式的運算經?；蓛绲倪\算

15、進行, 運算結果如沒有特殊要求, 就用根式的形式來表示. 21 414 ab131=1433a3b33=4 a 0b250=4 . 25, 另一4 .223a222b21022a3b.0 12點評：化簡這類式子一般有兩種方法, 一是第一用負指數冪的定義把負指數化成正指數個方法是采納分式的基本性質把負指數化成正指數. 3 526743642=32223222 2=3 -2 +2-3 -2+2=0. 點評： 考慮根號里面的數是一個完全平方數1, 千萬留意方根的性質的運用. 例 3 已知 x=1 1 5 n2-51,n N *, 求x+x2n的值 . n1活動： 同學摸索 , 觀看題目的特點, 從整

16、體上看, 應先化簡 , 然后再求值 , 要有預見性 ,5n與15n具有對稱性 , 它們的積是常數1, 為我們解題供應了思路, 老師引導同學考慮問題的思路,必要時賜予提示. x2=1 1 5 n4-512=1 5 n 4- 2 50+52 nn=1 5 42+2+52-4 nn=1 5 41+512-1. nn這時應看到1+x2=1+1 1 n4-512=1 5 41+512, 1511-512=151+51n, nnn這樣先算出1+x2, 再算出1x2, 帶入即可 . 解： 將 x=151-51 代入 1+x2,得 1+x2=1+nnnnnn244所以 x+1x2n=1 1 5 n2-51+1

17、 51nn5n2n4=1 5 21-51+1 5 21+51 1n=5. , 要深刻懂得這種做法. nnnnn=5 n點評： 運用整體思想和完全平方公式是解決此題的關鍵思路 2 例 1 運算 :16133340. 06255021; , 另外要留意整體的意識,4821252+1 21-1 271; 3-2+343 3311123-2x4y33x2y3 ；11114x2-y2 x4-y4. 活動：同學觀看、 摸索 , 根式化成分數指數, 利用冪的運算性質解題老師有針對性的提示引導, 對1 根式的運算經常化成冪的運算進行, 對2 充分利用指數冪的運算法就來進行, 對3 就要依據單項式乘法和冪的運算

18、法就進行, 對4 要利用平方差公式先因式分解 , 并對同學作準時的評判. 解： 16133340.0625502148=25 41+27 81+0.062 51+1-12342=5 221 + 23 231+0.541+1342=5 + 23 +0.5+ 212=5; 21252+1 21-1 2713-2+343 33211=533+2-1-2+73 3-3-33=532+2-2 -1 +731-331333=25+4+7-3=33; 3-2x113x12=- 2 3x11 y12 4y32y34x23y3=6x11. y12=-6x3142334y3=643 x3y; 1 1 1 1 1

19、1 1 14x 2-y 2 x 4-y 4 =x 4 2-y 4 2 x 4-y 4 1 1 1 1 1 1=x4 +y4 x 4-y 4 x 4-y 4 1 1=x4 +y4 . 點評： 在指數運算中 , 肯定要留意運算次序和敏捷運用乘法公式 . 例 2 化簡以下各式 : 1x2y2x2y2-1 . 222; 2x3y3x3y32a3+a-3a3-a-3 a4+a-4+1a-a活動： 同學觀看式子的特點 , 特殊是指數的特點意分解因式 , 特殊是立方和和立方差公式的應用2 2, 老師引導同學考慮題目的思路 , 這兩題要注, 對有困難的同學準時提示 : 對1 考查 x 2 與x3 的關系可知

20、x 2=x 3 3, 立方關系就出來了 , 公式便可運用 , 對2 先利用平方差 , 再利用冪的乘方轉化為立方差 , 再分解因式 , 組織同學爭論溝通 . 2 2 2 2解： 1 原式 = x2 y2 x2 y2x 3 y 3 x 3 y 32 2 2 2 2 2 2 2= x 3 2x 3 y 3 y 3 2 x 3 2 x 3 y 3 y 3 2 = x 43 xy 23 y 43 x 43 xy 23 y 43= 2 xy 23 2 3 xy; xy2 原式 =a 3 2-a-3 2 a 4+a-4+1a-a-1 2 2 2 2 2 2 4 4 2 1 2= 4 a 4 a 1 = a4

21、 a4 a a1 1 = a a1 =a+a-1 . a a 1 a a a a 1 a a a a點評：留意立方和立方差公式在分數指數冪當中的應用, 由于二項和、 差公式 , 平方差公式一3 1般在使用中一目了然 , 而對立方和立方差公式卻一般不易觀看到 ,a 2 =a2 3 仍簡潔看出 , 對1 1其中夾雜的數字 m可以化為 m a2 a 2 =m,需仔細對待 , 要在做題中不斷地提高敏捷運用這些公式的才能 . 知能訓練課本 P59習題 2.1A 組 3. 利用投影儀投射以下補充練習: 11. 1111. 化簡 :1+2321+2161+281+241+22 的結果是 A.1 1-2 21

22、-1B.1-21-1C.1-21 D.1 1-2 21 32323232分析 : 依據此題的特點, 留意到它的整體性, 特殊是指數的規(guī)律性, 我們可以進行適當的變形11=1-21, 所以原式的分子分母同乘以-1. 1-21, 由于 1+2321-2321632依次類推 , 所以12121=121=1 1-2 212 12321112123232答案： A 2. 運算 27 90.5 +0.1-2 +210 272- 30+9-0.5 +490.5 2-4. 1 + 37 =100. 163解： 原式 =25 91+100+27 642-3+4911 = 163 +100+ 59 -3+ 162

23、323. 運算a2a1a2a1a 1.11|a 1.解： 原式 =a112a11 2a11|a此題可以連續(xù)向下做, 去掉肯定值 , 作為摸索留作課下練習. 4. 設 a0,x=1 1 a n2-a1, 就 x+1x2n 的值為 _. n分析 : 從整體上看 , 應先化簡 , 然后再求值 , 這時應看到解： 1+x2=1+1 1 a n4-a12=1 1 a n4+a12. -a11 1 a n4+a12. nn這樣先算出1+x2, 再算出1x2, 將 x=1 1 a n2-a1 代入 1+x2, 得 1+x2=1+1 a 41nnn2=n1所以 x+1x2n=1 a 21-a1+1 a 41+

24、annnn2n=1 a 21-a1+1 a 21+a1 n=a. nnnn答案： a 拓展提升3參照我們說明無理數指數冪的意義的過程 , 請你說明無理數指數冪 2 的意義 . 活動： 老師引導同學回憶無理數指數冪 5 2 的意義的過程 , 利用運算器運算出 3 的近似值 ,取它的過剩近似值和不足近似值 , 依據這些近似值運算 2 3的過剩近似值和不足近似值 , 利3用靠近思想 , “ 逼出”2 的意義 , 同學合作溝通 , 在投影儀上展現自己的探究結果 . 解： 3=1.73205080 , 取它的過剩近似值和不足近似值如下表 . 3 的過剩近似值 2 3的過剩近似值 3 的不足近似值 2 3的不足近似值1.8 3.482202253 1.7 3.249009585 1.74 3.340351678 1.73 3.317278183 1.733 3.324183446 1.731 3.319578342 1.7321 3.32211036 1.7319 3.321649849 1.73206 3.3220