高中數(shù)學(xué)必修5第一章解三角形教案學(xué)案正弦和余弦定理設(shè)計(jì)

1、第一章 解三角形本章概覽三維目標(biāo)1把握正、余弦定理,能初步利用這兩個(gè)定懂得斜三角形；能利用運(yùn)算器解決有關(guān)解斜三 角形的運(yùn)算問題, 能夠利用正、 余弦定理等學(xué)問、 方法解決一些與測(cè)量以及與幾何運(yùn)算的有關(guān)的實(shí)際問題；2通過對(duì)三角形的邊角關(guān)系的探究學(xué)習(xí),體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程,培育探究精神和創(chuàng)新 意識(shí)； 在運(yùn)用正、余弦定懂得決一些實(shí)際問題的過程中,逐步養(yǎng)成實(shí)事求是、扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題、熟悉世界；通過實(shí)習(xí)作業(yè),體會(huì)“ 解三角形在測(cè)量中的應(yīng)用” ,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問解決實(shí)際問題的才能和實(shí)際操作才能；通過學(xué)習(xí)和應(yīng)用,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值,進(jìn)而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的人文價(jià)值、美

2、學(xué)價(jià)值,不斷提高自身的文化素養(yǎng),并且由正、余弦定理的形式能感受到數(shù)學(xué)的美；3通過對(duì)正、余弦定理的學(xué)習(xí),要求對(duì)于三角形的的相關(guān)問題的解決能敏捷地依據(jù)詳細(xì)問 題去恰當(dāng)處理； 總之,有了正、 余弦定理之后, 又給解決三角形的問題供應(yīng)了一種新的思路,對(duì)于詳細(xì)問題的解決都要詳細(xì)分析,題；敏捷地運(yùn)用所學(xué)學(xué)問去應(yīng)對(duì)實(shí)際生活中的各種可能的問4本章中的有關(guān)三角形的一些實(shí)際問題,往往動(dòng)筆運(yùn)算比較復(fù)雜,象這樣的問題的運(yùn)算就要求大家能用運(yùn)算器或電腦來幫忙運(yùn)算,能依據(jù)精確度的需要保留相應(yīng)的位數(shù)；盡管科學(xué)技術(shù)進(jìn)展很快, 但必要的運(yùn)算才能對(duì)于一個(gè)現(xiàn)代人仍是有必要的,自己的運(yùn)算速度與精確性,時(shí)刻留意錘煉自己的意志力；所以平常

3、大家仍要留意訓(xùn)練5本章學(xué)習(xí)了正、余弦定理后,對(duì)于以后遇到相關(guān)三角形的問題時(shí),應(yīng)當(dāng)時(shí)時(shí)留意考慮運(yùn)用這兩個(gè)定理去解決相關(guān)問題,但與此同時(shí)也不能忽視其它方面的學(xué)問的應(yīng)用,否就可能問題不能順當(dāng)解決,時(shí)時(shí)留意前后學(xué)問的關(guān)聯(lián)；本章學(xué)問網(wǎng)絡(luò)正弦定理正弦定理的變形解應(yīng)用舉例形式三解三角形余弦定理余弦定理的變形角測(cè)量實(shí)習(xí)形形式1.1 正弦定理和余弦定理第一版塊三點(diǎn)剖析一、正弦定理及其證明正弦定理 在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即a b csin A sin B sin C正弦定理揭示的是一般三角形中的重要邊角關(guān)系,它們是解三角形的兩個(gè)重要定理之一；對(duì)于正弦定理, 課本第一引導(dǎo)同學(xué)回憶任意三角形中

4、有大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系, 引導(dǎo)同學(xué)摸索是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系精確量化表示的問題；由于涉及邊角之間的數(shù)量關(guān)系,就比較自然地引導(dǎo)到三角函數(shù)；在直角三角形中,邊之間的比就是銳角的三角函數(shù)；爭論特別的直角三角形中的正弦,就很快證明白直角三角形中的正弦定理；分析直角三角形中的正弦定理,考察結(jié)論是否適用于銳角三角形,可以發(fā)覺 asinB 和 bsinA 實(shí)際上表示了銳角三角形邊 AB上的高；這樣,利用高的兩個(gè)不同表示,就簡潔證明銳角三角形中的正弦定理；鈍角三角形中定理的證明要應(yīng)用正弦函數(shù)的誘導(dǎo)鈍角三角形中定理的證明要應(yīng)用正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式, 教科書要求同學(xué)自己通過探究來加以證明；明；二、 余

5、弦定理及其證明可以考慮采納向量的學(xué)問來證余弦定理 在一個(gè)三角形中, 任一邊的平方都等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角的余弦的積的 2 倍,即2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2 bc cos A ；b a c 2 ac cos B ；c a b 2 ab cos C ；余弦定理同樣揭示的是一般三角形中的重要邊角關(guān)系,之一；它們是解三角形的兩個(gè)重要定理由直角三角形三邊間的關(guān)系,歸納猜想任意三角形的邊角間的關(guān)系；自己學(xué)會(huì)探究、 并試著去從理論上去解決；通過這個(gè)定理的探究并去從理論上證明,作為一個(gè)現(xiàn)代中同學(xué),要把握一些爭論事物的方法、要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),善于提出問題,并且試著去解決問題；同樣

6、這個(gè)定理的證明也是采納了向量的相關(guān)學(xué)問很簡潔得到解決,向量學(xué)問在數(shù)學(xué)上的一個(gè)詳細(xì)應(yīng)用,這也表達(dá)了數(shù)學(xué)科學(xué)的特點(diǎn)之一：前后學(xué)問間聯(lián)系緊密；這也要求大家能夠?qū)⑶昂髮W(xué)問聯(lián)系起來,而不應(yīng)當(dāng)是孤立地來學(xué)習(xí)某部分學(xué)問,而不善于將所學(xué)恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用,這也要求大家能夠活學(xué)活用；當(dāng)然這兩個(gè)定理的證明證明方法,自己仍可以考慮采納比如平面幾何學(xué)問等其它的方法,以錘煉自己的才能；三、正弦定理和余弦定理的應(yīng)用正弦定理的應(yīng)用：1用正弦定懂得三角形是正弦定理的一個(gè)直接應(yīng)用,正弦定理可以用于兩類解三角形 的問題：（）已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊,求其他兩邊和另一角；（）已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角,運(yùn)算另一邊的對(duì)角,進(jìn)而運(yùn)算

7、出其 他的邊和角 . 三角形解的個(gè)數(shù)一般地,已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形（已知a, b 和 A）,用正弦定理求B 時(shí)的各種情形：如 A 為銳角時(shí) : absinA無解,如下圖所示：ACaBabsinA一解 直角bsinAab二解 一銳,一鈍a3b一解 銳角C已知邊 a,b 和ACCbbAbaAbaAaaHBB1HB2Ha baCH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinAab僅有一個(gè)解無解僅有一個(gè)解有兩個(gè)解如 A 為直角或鈍角時(shí):ab無解ab 一解 銳角余弦定理的應(yīng)用：利用余弦定理可以解決兩類解斜三角形問題：（1）已知三邊,求各角；（2）已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其它兩個(gè)角；

8、問題與探究【問題 1】正、余弦定理都揭示的是同一個(gè)三角形的邊角間的關(guān)系,有了這兩個(gè)重要定理后,對(duì)于三角形的問題好像有了兩把“ 寶劍” ,那么這兩把“ 寶劍” 如何恰當(dāng)?shù)厥褂媚?？【探?】就這個(gè)問題,通常須詳細(xì)問題而定、視題中所給的條件而定；一般說來,正弦定理常宜解決以下問題： （1）已知兩角及一邊,求其它元素； （2）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角,求其它元素；而余弦定理常宜解決以下問題：（3）已知三邊,求各角；（4）已知兩邊及其夾角,求其它元素；由于三角形全等的判定定理有“ 角角邊” 、“ 角邊角” 、“ 邊邊邊” 、“ 邊角邊” ,所以以上的（ 1）、（ 3）、（ 4）情形都只有一解,而（2）這

9、樣的情形可能有一解、兩解或無解；當(dāng)然這也不是肯定的,有關(guān)解三角形的問題,在詳細(xì)的問題中如何恰當(dāng)?shù)厥褂眠@兩個(gè)定理,這的確必需視詳細(xì)問題而定,有時(shí)在同一個(gè)問題中可能這兩個(gè)定理要同時(shí)使用才能達(dá)到目的或者使用其中的任何一個(gè)定理都可以達(dá)到目的；另外仍應(yīng)當(dāng)留意使用方式,是利用定理的原始形式仍是使用相應(yīng)的某種變形形式,這都是要在詳細(xì)問題中去詳細(xì)地分析才行；【問題 2】除了正、余弦定理所給出的同一個(gè)三角形的邊角間的關(guān)系外,是否仍有其它的一些邊角關(guān)系呢？通過進(jìn)一步地摸索,由這兩個(gè)定理仍可以得到在三角形中的怎樣一些結(jié)論？【探究 】其實(shí)這兩個(gè)定理本身僅揭示的是同一個(gè)三角形的基本的邊角關(guān)系,仍有許多其它的邊 角 關(guān)

10、系 ； 比 如 , 由 正 弦 定 理 及 其 它 相 關(guān) 知 識(shí) 仍 可 以 有 這 樣 的 一 些 邊 角 關(guān) 系 ：a b csinA:sinB:sinC ,aAbBcsinAabBcsinC2R,sinsinsinCsinsinAsinBsinC 等；同樣由余弦定理也可得到另外一些邊角關(guān)系,以及把正、余弦定理結(jié)合在一起仍可以得到一些新的結(jié)論,如：sin2Asin2Bsin2C2sinAsinBcosC ,a2b2c2C是銳角 等；（注：留意這些結(jié)論在解決相關(guān)問題時(shí)可以考慮恰當(dāng)?shù)剡x用；）精題精講【例 1】 在ABC中,如B30,AB2 3,AC2,求ABC的周長；思路解析： 此題是是已知

11、兩邊及其一邊所對(duì)的角,要求其周長,自然要考慮去尋求第三邊BC ,簡潔想到由正弦定理去考慮,先找出其中某個(gè)內(nèi)角的大小或其正弦的大小,通過分析發(fā)覺可以先將角 C 給找出,進(jìn)而把問題解決；解：由正弦定理得 sin C AB sin B 3；AC 2AB AC , C B ,C 60 或120 ；（1）當(dāng) C 60 時(shí),A 90,BC 4,ABC的周長為 6 2 3 ；（2）當(dāng) C 120 時(shí),A 30,A B BC AC 2,ABC 的周長為 4 2 3 ；綜上,ABC 的周長是 6 2 3 或 4 2 3 ；黑色陷阱：此類問題簡潔漏解；在以上的解題目過程中,由 sin C 3簡潔簡潔地得到2C 6

12、0,從而造成問題解答不全面,產(chǎn)生這樣的錯(cuò)誤的緣由是對(duì)于相關(guān)三角函數(shù)的學(xué)問模糊；【例 2】在ABC中,a b c 分別是A ,B,C 的對(duì)邊長 , 且cos Ccos B3 ac；b（1）求 sin B ；（2）如b42,且 ac ,求ABC的面積；思路解析： 此題所給已知條件中,即有邊又有角, 第一個(gè)問題是求其中一內(nèi)角的正弦,由此簡潔想到把已知條件中的邊轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的角,的邊角之間的關(guān)系全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系,利用正弦定理、 余弦定理可知, 把已知條件中 從而將問題解決； 其次個(gè)問題簡潔想到利用三角形相應(yīng)的面積公式,從而環(huán)圍著公式去考慮需要些什么條件,打算去查找相應(yīng)的條件,把問題解決；解 ： （

13、 1 ） 由 正 弦 定 理 得asinA,csinC, 又c o s c o sa 3c,CBibsinBbsinBbcos C3sinAsinC,即sBinCcoAsB3,cosBsinBsinBC3sinAcosB；又sBnCsAin,AssinA3sinAcosB ,cosB1；又 0B,sinB12 cosB2 2；33（2）在ABC 中,由余弦定理得a2c22ac32,又ac ,42 a32,a224,33SABC1b a2b28 2；22綠色通道： 對(duì)于此類三角形中的問題解決,通常已知條件中既涉及到邊又涉及到角,通常考慮問題有兩個(gè)方向：一是將全部的邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系；

14、二是將全部的角之間的轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系從而將問題解決；當(dāng)然這樣的問題到底是將邊全部轉(zhuǎn)化為角好仍是將角全部轉(zhuǎn)化為邊好,這要視詳細(xì)問題而定,只有對(duì)于此類問題作了肯定的練習(xí)之后,逐步就會(huì)對(duì)于此類問題有所方法；【例 3】在 ABC 中,a b c 分別是 A , B , C 的對(duì)邊長,如 b a cos C c a sin B ,試判定 ABC 的外形；思路解析：此題是依據(jù)已知條件判定三角形的外形問題,而已知條件中既涉及到邊又涉及角,所以簡潔想到借助于正、余弦定理將邊、角互化,從而將問題解決；解 ： 由ba c o s C得 ,baa2b2c2a2b2 c22b2a2b22 c, 即2 ab2bb2c

15、22 a ,A90,casinBabb,故ABC 為等腰直角三角形；a綠色通道： 類似此題這樣的的問題,判定三角形的外形,經(jīng)常有兩種方式去考慮,一是從邊的角度去加以判定,從而可以考慮將已知條件轉(zhuǎn)化為邊間的關(guān)系；二是從角的角度去判定,從而可以考慮將已知條件轉(zhuǎn)化為角間的關(guān)系；【例 4】已知有 A B 兩個(gè)小島相距 21 海里, B 島在 A 島的正南方；現(xiàn)在甲船從 A 島動(dòng)身,以 9 海里 / 時(shí)的速度向 B 島行駛,而乙船同時(shí)以 6 海里 / 時(shí)的速度離開 B 島向南偏東 60 方向行駛；問行駛多少時(shí)間后,兩船相距最近？并求出兩船的距離；思路解析： 此題是實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題,如何恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用所學(xué)

16、數(shù)學(xué)學(xué)問去解決相關(guān)的實(shí)際問題, 這也是學(xué)數(shù)學(xué)的真正目的；對(duì)于絕大多數(shù)同學(xué)來說,往往不能很好地去解決這樣的實(shí)際問題, 這就說明同學(xué)的應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng),只會(huì)學(xué)那些抽象的學(xué)問,并不能真正將其應(yīng)用到生活中去解決問題, 這樣的問題同學(xué)經(jīng)常覺得難,這易入手； 另外, 這個(gè)問題中涉及到方位角,對(duì)于方位角的含義要求同學(xué)真正清晰,否就也簡潔出錯(cuò)； 此題在解決時(shí)同學(xué)自己應(yīng)當(dāng)能依據(jù)題意所述, 畫出相應(yīng)的示意圖來,從而幫忙恰當(dāng)?shù)亟鉀Q問題；明顯隨著時(shí)間的推移,兩船之間的距離要隨之而變化,故可以試著去建立以時(shí)間為變量的函數(shù)關(guān)系,從而把問題解決；解 ： 設(shè) 行 駛 x 小 時(shí) 后, 甲 船 到 達(dá) C 處 , 乙 船 到 達(dá)

17、D 處 ； 就C B 2 1 9 x , B D 6 x , C B D 9 0 3 0,由余弦定理得：CD 2 CB 2 BD 2 2 CB BD cos120 CB BD 2CB BD2 2 221 3 x 6 x 21 9 x 9 7 x 2 x 7 3 x 63 x 2 3當(dāng) x 2 時(shí), CD 有最小值,最小值為 63 3 3 21 海里；綠色通道： 此題主要是要能夠依據(jù)題意所述,正確地畫出示意圖,并能依據(jù)題意所述正確列出函數(shù)關(guān)系式,從而把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題；其次版塊基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 在ABC 中,已知A150 ,a3,就其外接圓的半徑R（3）B 3,應(yīng)選 A；A 32 , R

18、R 2D. 不確定ABC中,有aA361思路解析： 由于在sinsin150答案：選 A；2在ABC 中, sinAsinB 是 AB 的（）A充分不必要條件必要不充分條件充要條件 D既不充分也不必要條件2思路解析：由ABabA2RsinA2 sinBsinAsinB （其中 2R 是ABC 的外接圓半徑）得知, sinsinB 是 AB 的充要條件,從而得到正確答案；答案：選； （注：此題的結(jié)論最好記住,這對(duì)于求解三角形中的有關(guān)三角函數(shù)值的運(yùn)算很有幫忙；）3在ABC 中,a b c 分別是A ,B,C 的對(duì)邊長,以下等式恒成立的是（）；B bsinCcsinAA acos CccosAC a

19、bsinCbcsinBD asinCcsinAaAc,asinCcsinA ；3思路解析： 依據(jù)正弦定理可知有：sinsinC答案：選D ；4 在ABC 中 ,a b c 分 別 是A ,B,C 的 對(duì) 邊 長 , 且a b c1:3: 2, 就Ca b csi n A: si n: si n（）；A3 : 2:1B 2:3 :1C 1: 2 :3D 1:3: 24思路解析： 依據(jù)正弦定理有：aAbBc, sinA:sinB:sinsinsinsinC答案：選 D ；5在ABC 中,已知三邊a6,b7,c8,試判定ABC 的外形；5思路解析： 此題主要涉及到三角形的外形問題,在此可以借助于余弦

20、定理判定好象每個(gè)內(nèi)角是銳角、 鈍角仍是直角, 事實(shí)上在此只要判定其中的最大內(nèi)角是怎樣的角就可以了（因?yàn)檫@個(gè)三角形明顯不是等腰三角形）,而要判定它是怎樣的角,只要判定其符號(hào)如何,即判2 2 2斷 a b 與 c 的大小即可；2 2 2解：由題意知 c b a,所以 C 最大, 而 a b 36 49 85 c 64,故內(nèi)角 C 是銳角,故 ABC為銳角三角形；6在 ABC 中,a b c 分別是 A , B , C 的對(duì)邊長；已知 a b c 成等比數(shù)列,且a 2c 2ac bc ,求 A的大小及 b sin B 的值；c6思路解析： 此題已知條件中所顯現(xiàn)的邊之間的關(guān)系及其形式,簡潔聯(lián)想到余弦定

21、理,從而借助于余弦定理把相應(yīng)角給找出,進(jìn)而看后者,然而結(jié)合已知條件,看似b,sinB c 不行求,但認(rèn)真結(jié)合正弦定理分析,從整體來看簡潔發(fā)覺問題能夠解決；解：a b c 成等比數(shù)列,b2ac ；又a2c2acbc ,b2c2a2bc ；在ABC 中,由余弦定理得cosAb22 ca2bc1,A60；2bc2 bc2在ABC 中 , 由 正 弦 定 理 得sinBbsinA, 又2 ba cA 6 0,absinBb2sin 60sin 603；cca2C 的對(duì)邊長；求證：a2cb2sinACB；7 在ABC中,a b c 分別是A,B ,2sin7 思路解析： 此題要證的等式中既有邊又有角,化

22、為邊,從而借助于正、余弦定理把問題解決；同樣簡潔考慮到要么將邊化為角要么將角證明：依據(jù)正弦定理知,要證明的等式等價(jià)于 sin 2A2 sin 2B sin A B,又留意sin C sin C到 sin C sin A B ,即要證：sin 2 A sin 2 B sin A B sin A B,即證：2 2 2 2 2 2sin A sin B sin A cos B cos A sin B ,即證：2 2 2 2 2 2 2 2sin A 1 cos B sin B 1 cos A ,亦即證：sin A sin B sin B sin A ,而上式明顯成立,故 a 22 b 2 sin A

23、 B成立；c sin C8 某觀測(cè)站 C 在目標(biāo) A 的南偏西 25 方向, 從 A動(dòng)身有一條南偏東 35 走向的大路, 在 C處測(cè)得大路上與 C相距 31 千米的B處有一人正沿此大路向 A走去,走 20 千米后到達(dá)D處,此時(shí)測(cè)得 C 、 D 間的距離為 21 千米,求此人所在 D 處距 A 仍有多少千米？8 思路解析： 此題是與實(shí)際生活有關(guān)的問題,對(duì)于這樣的問題也是學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的一個(gè)方面的表達(dá),數(shù)學(xué)從實(shí)際生活中來,又反過來為實(shí)際生活服務(wù)；此題主要涉及到方位角,對(duì)于方位角不要要分清東南西北四個(gè)基本方向,然后對(duì)于一些方位術(shù)語要有清晰的熟悉才行,否就就簡潔出錯(cuò)；解 ： 由 題 意 知 ,CAD6

24、0,cosBBD2BC2CD222 3120221223,2BD BC2 312031sinB123；在ABC中,ACBC s i n 24sin A；由余弦定理得31BC2AC2AB22AC ABcosA即312AB2242AB24 cos60,AB224AB3850,AB35或11（舍）；故ADABBD15（千米）,此人所在 D 處距 A 仍有 15 千米；9. 在ABC 中 ,a b c 分 別 是A,B,C 的 對(duì) 邊 長 , 已 知a22 cb2bc , 且a c31 : 2,求內(nèi)角 C 的大小；B 求出 , 再由其次個(gè)9.思路解析： 此題由第一個(gè)條件簡潔想到應(yīng)用余弦定理從而可以將角

25、條件簡潔想到從正弦定理動(dòng)身,利用相關(guān)的邊角關(guān)系將問題解決；解：由a2c2b22accosBac 得cosB1,B60；31,C2由a c31 : 2得sinA: sinC31 : 2sinACsinsin 18060Csin 120sin120 cosCcos120 sinC2即3cosC3sinC0,sinCcosC , tanC1,C45；22綜合進(jìn)展10我緝私巡邏艇在一小島南50 西,距小島12 海里的 B 處,發(fā)覺隱匿在小島邊上的一走私船正向島北 10 西方向行駛,測(cè)得其速度為10 海里 / 時(shí),試問我巡邏艇必需用多大的速度朝什么方向航行才能恰好在兩小時(shí)后截獲走私船？（參考數(shù)據(jù)：sin

26、 380.62 ）10思路解析： 此題來源于實(shí)際生活,涉及到方位角, 所以象這樣的題目最好先依據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖, 以幫忙問題正確解決；對(duì)于題中所涉及的方位角,這就要求同學(xué)對(duì)于基本的方位肯定要清晰,否就就會(huì)在解決問題的過程中顯現(xiàn)問題,從而導(dǎo)致出錯(cuò)；解 ； 設(shè) 我 巡 邏 艇 恰 在 C 處 截 獲 走 私 船 , 我 巡 邏 艇 的 航 行 速 度 為 v 海 里 / 時(shí) , 就BC2 , v AC20； 依 題 意 ,BAC1805010120, 由 余 弦 定 理 得BC2AB2AC22AB ACcos120,BC2784,BC282 v ,v14；又由正弦定理得sinABCACsin

27、BAC202830.62,ABC38,從而易知,我2BC巡邏艇必需用14 海里 / 時(shí)的速度向北 12 東的方向航行；11在一很大的湖岸邊（可視湖岸為始終線）停放著一只小船,由于纜繩突然斷開,小船被風(fēng)刮起跑,其方向與湖岸成 15 ,速度為 2.5 千米 / 時(shí),同時(shí)岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開頭追趕小船,已知他在岸上跑的速度為4 千米 / 時(shí)；試問此人能否追上小船？如小船速度轉(zhuǎn)變,就小船能被人追上的最大速度是多少？11思路解析： 此題是從實(shí)際生活中抽象出來的數(shù)學(xué)問題,要求同學(xué)依據(jù)已知條件畫出其示意圖來,以幫忙摸索、解決問題；另外仍要求同學(xué)能將生活語言恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,要求人能追上小船這樣的生活

28、語言,這樣的要求反映在數(shù)學(xué)上又是什么意思,這些都要求同學(xué)能正確地轉(zhuǎn)化；解：設(shè)小船的速度為 v 千米 / 時(shí),明顯當(dāng) v 4 時(shí),人不行能追上小船；當(dāng) 0 v 2 時(shí),人不必在岸上跑, 而只要立刻從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船,因此只要考慮 2 v 4 的情形, 由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段后再游水追逐,當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí),人才能追上小船；設(shè)人追上小船所用時(shí)間為 t 小時(shí),其中人在岸上跑的時(shí)間為 kt 0 k 1,就人在水中游的時(shí)間為 1 k t 小時(shí),人要追上小船,就人船的運(yùn)動(dòng)路線必構(gòu)成一個(gè)三角形；OA 4 ,

29、 kt AB 2 1 k t OB vt ,由余弦定理得2 2 2AB OA OB 2 OA OB cos15,即 4 1 k 2t 24 kt 2vt 22 4 kt vt 6 2,整理得42 212 k 2 6 2 v 8 k v 4 0,要使這個(gè)關(guān)于 k的一元二次方程在 0,1內(nèi)有實(shí)數(shù)解,就必需有：0 v 241 且 2 6 2 v 8 24 12 v 2 4 0,由12此解得 2 v 2 2,即 v max 2 2；故當(dāng)船速在 2,2 2 時(shí),人船運(yùn)動(dòng)路線可構(gòu)成三角形,即人能追上小船,船能使人追上的最大速度為 2 2 千米 / 時(shí),由此可見當(dāng)船速為探究創(chuàng)新2.5 千米 / 時(shí)時(shí),人能追

30、上小船；12已知有兩座城市A B ,依據(jù)你所學(xué)過的學(xué)問,試給出城市 C ,使三點(diǎn)A B C 恰好構(gòu)成以 AB 為斜邊的直角三角形的多種條件；12思路解析： 這個(gè)問題是從實(shí)際生活中所抽象出來的,只要能恰當(dāng)?shù)貙⑵鋽?shù)學(xué)化,充分地利用所學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問,不難發(fā)覺要給出訪ABC為以AB為斜邊的直角三角形的條件許多；可以從以前所學(xué)的勾股定理的逆定理來考慮,也可以從這里學(xué)過的正、余弦定理來考慮,使得它為以 AB 為斜邊的直角三角形的條件是多種多樣的；解：下面僅列出一部分可以使ABC 為以 AB 為斜邊的直角三角形的條件：（注：記a b c分別是A ,B,C 的對(duì)邊長）（1）AB2；（2）a2b22 c ；（3） cosAb或 cos Ba；（4） sinAa或 sinBb；cccc（5） tanAa或 tanBb；（6）sin2Asin2Bsin2