三重積分的變量代換課件_第1頁(yè)
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1、三重積分的變量代換 柱面坐標(biāo)代換 球面坐標(biāo)代換三重積分的對(duì)稱性 一、三重積分的換元法例1. 求由下面方程表示的曲面所圍立體的體積:其中解: 令則1. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面因此適用范圍:1) 積分域是圓柱或它在某坐標(biāo)面上的投影為圓(或一部分) ;2) 被積函數(shù)中含有x2+y2(相應(yīng)地, y2+z2, x2+z2)形式.例3. 計(jì)算三重積分解: 在柱面坐標(biāo)系下所圍成 .與平面其中由拋物面原式 =2. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面例4. 計(jì)算三重積分解:

2、 在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中 與球面3. 廣義球坐標(biāo)變換 直角坐標(biāo)與廣義球坐標(biāo)的關(guān)系例5. 橢球 的體積 內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面圍成; 被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或變量可分離.坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對(duì)應(yīng)雅可比行列式為解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是 的奇函數(shù),解例8. 計(jì)算其中解:利用對(duì)稱性例9.求曲面所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,利用對(duì)稱性, 所求立體體積為yoz面對(duì)稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz 輪換對(duì)稱性：若積分區(qū)域的表達(dá)式中將 x, y, z 依次輪換,表達(dá)式不變,則稱關(guān)于 x, y, z 輪換對(duì)稱. 此時(shí)有例10. 設(shè)是由平面 x+y+z=1和三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的 區(qū)域, 求解: 由輪換對(duì)稱性,例11. 求，其中由球面所圍成. 解: 則 .由對(duì)稱性有: .被積函數(shù)變?yōu)? 例11.

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