基本不等式完整版(非常全面)

1、基本不等式專題輔導(dǎo)之蔡仲巾千創(chuàng)作基本不等式專題輔導(dǎo)之蔡仲巾千創(chuàng)作一、知識點總結(jié)1、基本不等式原始形式題型一：利用基本不等式證明不等式(1)若a,bgR，則a2+b2lab（2）若a,bgR，則ab2paba2+b2+c2ab+bc+ca3、基本不等式的兩個重要變形（1）若a,bgR*，則、忑23、已知a+b+c=1,求證:4、已知a,b,cgR+,且求證:(2)若a,bgR*，則ab8abc總結(jié)：當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，它們的和有最小值當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、經(jīng)常使用結(jié)論（1）若x0，

2、則x+2x（2）若x0,則x+2ba（4）若a,bgR，則ab（凹）28c丿求證:（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”）（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取“=”）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）6、（2013年新課標(biāo)II卷數(shù)學(xué)（理）選修45：設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1,證明:(I)ab+bc+ca13bca不等式選iaia2+b2(5)若a,bgR*，則丄血(ac+bd)2若巴,行行仆冬b3GR，則有:(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)(ab+ab+ab)21231123112233(3)設(shè)a,a,a與b,b,b是兩組實數(shù)，則有12n12n(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)(ab+ab+-+ab

3、)212n12n1122nn二、題型分析7、（2013年江蘇卷（數(shù)學(xué)）選修4一5：不等式選講已矢口ab0,求證：2a3-b32ab2-a2b題型二：利用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域（1）y=3x2+（2）y=x（4一x）2x2（3）y=x+i（x0）（4）y=x+i（x0）xx題型三：利用不等式求最值（一）（湊項）1、已知x2，求函數(shù)y=2x一4+的最小值；2x-4變式1：已知x2，求函數(shù)y=2x+的最小值;2x-4變式2：已知x,求函數(shù)y=4x-2+-的最小值;4丿4x-52、已知x1）的值域;1、1、求xy的最小值；變式1：當(dāng)時，求y二4x（82x）的最大值；3變式2：設(shè)0 x,求

4、函數(shù)y二4x（32x）的最大值。2、若0 x2，求y=yx（63x）的最大值；變式：若0 x4，求y=、.：x（82x）的最大值;3、求函數(shù)y=v2x一1+*：5一2x(2x2)的最大值;提示：平方，利用基本不等式）變式：求函數(shù)y*4x3：114x（3x0,a+2b二1，求t=-+1的最小值;ab法一：法二：變式1:已知a,b0,a+2b2，求t=+的最小值;ab變式2：已知x,y0,2+-二1xy變式3：已知x,y0，且-+-=9，求x+y的最小值。x+2_.一2、求函數(shù)y=的最大值；（提示：換元法）2x+5變式：求函數(shù)y二：的最大值；4x+9題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用1、已知loga+l

5、ogb1，求3a+9b的最小值222、（2009天津）已知a，b0，求-+丄+2ab的最小值;ab變式1：（2010四川）如果ab0，求關(guān)于a,b的表達11式a2+的最小值；aba（ab）變式2：（2012湖北武漢診斷）已知，當(dāng)a0,a豐1時，函數(shù)y二log（x1）+1的圖像恒過定點A，若點A在直a線mxy+n二0上，求4m+2n的最小值；3、已知x,y0，x+2y+2xy=8，求x+2y最小值;變式1：已知a,b0，滿足ab二a+b+3，求ab范圍;:a=a+2a，若76514求一+的最小值;mn1mn19變式4：已知x,y0，且一+二4，求x+y的最小值;xy變式5：11（1）若x,y0且

6、2x+y二1，求一+的最小值；xy（2）若a,b,x,yR+且a+b=1，求x+y的最小值;xy變式6：已知正項等比數(shù)列力滿足：n存在兩項a,a，使得aa二4a，mnvm,變式2：（2010山東）已知x,y0，求xy最大值；（提示：通分或三角換元）變式3：（2011浙江）已知x,y0，x2+y2+xy二1，求xy最大值；4、（2013年山東（理）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x23xy+4y2z-0,則當(dāng)取得最大值z212時,一+-一的最大值為（）xyzA.Ob.1C.二D.34（提示：代入換元,利用基本不等式以及函數(shù)求最值）y2變式：設(shè)X,y,z是正數(shù)，滿足x-2y+3z二0，求二的xz最小值；題型

7、八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1a1、（2012沈陽檢測）已知x,y0,且（x+y）（+）9xy恒成立，求正實數(shù)a的最小值；11n2、已知xyz0且+恒成立，x-yy-zx-z如果neN+，求n的最大值；（參考：4）（提示：分離參數(shù)，換元法）14變式：已知a,b0滿則一+：=2，若a+bc恒成立，ab求c的取值范圍；題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式（a,b,c,deR,當(dāng)且僅當(dāng)=；即ad=bc時等號成立）cd若a,b,c,deR，則（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）22、二維形式的柯西不等式的變式（1）a2+b2-c2+d2|ac+bd|（a,b,c,deR,當(dāng)且僅當(dāng)a=；

8、即ad=bc時等號成立）cdII（2）、：a2+b2c|+|bd|（a,b,c,deR,當(dāng)且僅當(dāng)a=；即ad=bc時等號成立）cd（3）（a+b）（c+d）G-ac+吋bd）2（a,b,c,d0,當(dāng)且僅當(dāng)纟=-；即ad=bc時等號成立）cd3、二維形式的柯西不等式的向量形式(當(dāng)且僅當(dāng)卩=0,或存在實數(shù)k,使a=kP時,等號成立)4、三維柯西不等式若a,a,a,b,b,beR，則有：123123(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)(ab+ab+ab)21231123112233(a,beR,當(dāng)且僅當(dāng)作=a=Z時等號成立)iibbb1235、一般n維柯西不等式設(shè)a,a,a與b,b,b是兩組實數(shù)

9、，則有：TOC o 1-5 h z12n12n(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)(ab+ab+ab)212n12n1122nn(a,beR,當(dāng)且僅當(dāng)aa=a時等號成立)iibbb12n題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設(shè)x,y,zeR，若x2+y2+z2=4，則x一2y+2z的最小值為時，(x,y,z)=析：(x2y+2z)2(x2+y2+z2)12+(2)2+22=4x9=36.x2y+2z最小值為66此時1=-2212+(-2)2+262222z=2、設(shè)x,y,zeR，2x-y-2z=6，求x2+y2+z2的最小值m，并求此時x,y,z之值。Ans：42=4；(xy,z)=(3,-3,3、設(shè)x,y,zeR，2x3y+z=3，求x2+Ans：42=4；(xy,z)=(3,-3,(析：2x3y+z=3o2x3(y1)+z=0)4、（2013年湖南卷（理）已知a,b,ce,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值是（Ans:12