寵物銷售問題

1、寵物銷售問題摘要本文從寵物店賣小狗的實(shí)際問題出發(fā)，提出兩種預(yù)定小狗的策略A和B。對于問題一，將策略A和B從已知條件抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后跟據(jù)這些式子用Matlab編程來模擬這兩種策略并比較了二者的優(yōu)缺點(diǎn)。對于問題二，綜合問題一中策略A和B的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了較為折中的策略C，在追求利潤的同時(shí)考慮到成本。并通過Matlab編程實(shí)現(xiàn)了模型的驗(yàn)證。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)表達(dá)式 抽象 模擬 Matlab一 問題描述：一家寵物店賣小狗。這家店每天需要在每只小狗身上花費(fèi)10元錢，因此寵物店不想在店里存儲太多的小狗。通過調(diào)查研究，在給定的天數(shù)x內(nèi)，所賣出的小狗的數(shù)量服從泊松分布(=0.1)。寵物店每十天平均能賣出一只小狗

2、，而每賣出一只小狗的利潤是20元。當(dāng)一個(gè)顧客來到寵物店里時(shí)，如果店里沒有寵物賣，那么該顧客就會到別的寵物店去。如果寵物店預(yù)定小狗的話,則所預(yù)定的小狗需要到6天后才能到店里?，F(xiàn)在該寵物店正在考慮一種預(yù)定小狗的最好策略。策略A：每賣出一只小狗，寵物店就新預(yù)定一只。這個(gè)策略意味著每次店里只有一個(gè)小狗，因此寵物店就不會花費(fèi)太多在小狗身上。策略B：寵物店每隔10天就預(yù)定一只新的小狗，該狗6天后到。使用這個(gè)策略后,如果顧客連續(xù)幾個(gè)星期沒有光顧寵物店，則寵物店必須花大量的錢在小狗上。問題：1、編寫程序,來模擬這兩種策略，并比較哪一種策略好。2、請?zhí)岢龅谌N更好的策略，寫出數(shù)學(xué)證明,并用軟件模擬。二 模型的假

3、設(shè)和說明：假設(shè)一：顧客源是無窮的；假設(shè)二：寵物價(jià)格再高，也有顧客買下；假設(shè)三：模型以1天為單位時(shí)間，且模擬1000天內(nèi)的情況；假設(shè)四：時(shí)間原點(diǎn)，寵物店有寵物。設(shè): 第i個(gè)小狗到店時(shí)刻(為時(shí)間原點(diǎn))； 第i個(gè)小狗賣出時(shí)刻； 第k個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻（為時(shí)間原點(diǎn)）； 第k-1個(gè)與第k個(gè)顧客到達(dá)的間隔時(shí)間（為時(shí)間原點(diǎn)到第1個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻的時(shí)間間隔）。三 數(shù)學(xué)模型：問題一：編寫程序,來模擬這兩種策略，并比較哪一種策略好。策略A模型由于每賣出一只寵物，寵物店就新預(yù)定一只，而預(yù)定的寵物需要到6天后才能到店里，可得（1.1.1）式 （1.1.1）由題意可知，當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)刻該寵物店有寵物即能賣出，而若無寵物則未賣出

4、，由此可得（1.1.2）式（1.1.2）因?yàn)?，是第k個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻（為時(shí)間原點(diǎn)），是第k-1個(gè)與第k個(gè)顧客到達(dá)的間隔時(shí)間，故又得（1.1.3）式 （1.1.3）如示意圖圖1圖1每天所賣出的寵物的數(shù)量服從Poisson分布(=0.1)，即賣出兩只寵物的間隔時(shí)間服從指數(shù)分布（=0.1），即，即服從指數(shù)分布（=0.1）寵物店1000天內(nèi)養(yǎng)寵物的花費(fèi)M為 （1.1.4）寵物店1000天后的凈利潤（除去養(yǎng)寵物的花費(fèi)）S為 (1.1.5)生成服從Poisson分布的隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行模擬1000內(nèi)的情況。策略B模型由于寵物店每隔10天就預(yù)定一只新的寵物，該寵物6天后到，可得（1.2.1）式 （1.2.1）參考策

5、略A的（1.1.2）式、（1.1.3）式、（1.1.4）式和（1.1.5）式原理，可列出（1.2.2）式、（1.2.3）式、（1.2.4）式和（1.2.5）式（1.2.2） （1.2.3） （1.2.4） (1.2.5)如示意圖圖2圖2生成服從Poisson分布的隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行模擬1000內(nèi)的情況。問題二：提出第三種更好的策略，并加以驗(yàn)證。策略C：寵物店每隔6天就預(yù)定一只新的寵物，但最多只存放（養(yǎng)）2只寵物，若已經(jīng)有2只，則不再預(yù)定新寵物，等到賣出一只寵物的那天再預(yù)定一只。策略C模型根據(jù)策略C可得（1.3.1）式（1.3.1）參考策略A的（1.1.2）式、（1.1.3）式、（1.1.4）式和（1

6、.1.5）式原理，可列出（1.3.2）式、（1.3.3）式、（1.3.4）式和（1.3.5）式（1.3.2） （1.3.3） （1.2.4） (1.2.5)如示意圖圖3圖3生成服從Poisson分布的隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行模擬1000內(nèi)的情況。四 模型求解： 經(jīng)過思考，我選用matlab軟件，因?yàn)閙atlab軟件具有較大的實(shí)用性，且方便操作。Matlab模擬程序原理如下策略A的優(yōu)點(diǎn)為：喂養(yǎng)寵物的成本花費(fèi)較少； 缺點(diǎn)為：賣出的寵物較少，盈利也隨之減少。策略B的優(yōu)點(diǎn)為：錯過的顧客較少，寵物店存貨豐富； 缺點(diǎn)為：喂養(yǎng)寵物的成本花費(fèi)很大。 綜合以上優(yōu)缺點(diǎn)，參考上述兩個(gè)營銷思維，我們想出了較為折中的策略C，在追求

7、利潤的同時(shí)考慮到成本。五 結(jié)果分析與總結(jié)：問題一結(jié)果分析：模擬結(jié)果如下表利潤S（元）策略A2220策略B2820表1單從利潤分析，策略B利潤較大。問題二結(jié)果分析模擬結(jié)果如下表養(yǎng)寵物花費(fèi)M（元）1000天時(shí)剩余寵物數(shù)（只）利潤S（元）平均每賣1只寵物的花費(fèi)（元）策略A759602220102.65策略B4430462820471.32策略C1650012940168.37表2 很明顯，策略C在利潤上最大，且喂養(yǎng)寵物的成本較為合理，綜合都方面因素，策略C較好。六 參考文獻(xiàn)：【1】堵秀鳳. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 科學(xué)出版社， 2009【2】李大潛. 中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽. 高等教育出版社，2008七 附錄：

8、模擬指數(shù)分布程序 i=1;k=1; d=exprnd(10,1,120); d=round(d); c(k)=d(k); for k=2:120c(k)=c(k-1)+d(k) ;end圖4 指數(shù)分布生成圖策略A的模擬程序： a(i)=0;b(i)=d(1); k=1;i=i+1; for k=1:120a(i)=b(i-1)+6;while a(i)c(k)k=k+1;endb(i)=c(k);i=i+1;end i=1; M(i)=12*(b(i)-a(i); i=i+1; while (a(i)1000 & b(i) a(i-1)ans = 995 b(i-1)ans = 998 a(i

9、)ans = 1003 M(numel(M)ans = 7596 S1=30*(i-1)S1 = 2220策略B的模擬程序： a(i)=0;b(i)=d(1); k=1;i=i+1; a(i)=15; while i=120while c(k) i=1; N(i)=12*(b(i)-a(i); i=i+1; while (a(i)1000 & b(i) a(i-1)ans = 935 b(i-1)ans = 998 a(i)ans = 945 b(i)ans = 1001 N(i-1)ans = 44304 S2=30*(i-1)S2 = 2820策略C的模擬程序： a(1)=0;a(2)=10; b(1)=d(1); i=2;k=2; while k=120if a(i)=b(i-1)a(i+1)=b(i-1)+5;elsea(i+1)=a(i)+5;endwhile c(k) i=1; O(i