線性代數(shù)歷年考研試題之計算題與證明題

1、(b,三、計算題與證明題,)問,b,.【考點】非齊次線性方程組解的理論的應(yīng)用.bbrb.,;,brb.b,;b,r,;b,.:,;b,;b,.:.,;.【注意】.,;,:;.,.;,;,.,【考點】特征值的定義,.,()(),()().,.,求矩陣,求矩陣,其中【考點】解矩陣方程.(E).4.(1987,)解線性方程組【考點】求解非齊次線性方程組.brr.,.,的實特征值及對應(yīng)的特征向量.(1987,)求矩陣,.【考點】求矩陣的特征值及特征向量.E,.E,.,.【考點】解矩陣方程及求矩陣的冪.P.【注意】若,P;,()mLm,()mLEP()P.m:;P.【考點】相似矩陣的性質(zhì)及一般矩陣的對角

2、化方法.:,EE,)()(),.:,.,.;,.,:,.p,p,p.ppp,P.*,)*.【考點】矩陣運算的性質(zhì).,)*().*)*,*.【注意】求解此類問題,.:*,;*;*.,(,.,【考點】向量組的線性相關(guān)性的判別方法.:L,()()L().,L,L,LLLL,LLLMMML(.MM,;,:,.(,L,)(,L,)MLLLMML(,L,)KMM,L,(,L,)(,L,),(K)(K)KK,;KK,(,L,),.【注意】,m,m,m,.,.),),.,.【考點】含參數(shù)的線性方程組解的討論.,MMMrMrMMMMM.()(),;M,MrMM,;,rr,.*:,;,;,*.,;.E.,.【考點

3、】抽象矩陣是求逆.EEE,.【考點】含參數(shù)的非齊次線性方程組解的討論及非齊次線性方程組的求解.b.r,.,:;*.,.*,【考點】解矩陣方程.E.)設(shè)).,.【考點】含參數(shù)的向量組線性相關(guān)性的討論及求向量由向量組線性表示的具體表示式.:,.,(,)(,),;,(,)(,),;,r.:,;,;.【注意】方法二只有在向量組所含向量的個數(shù)等于向量的維數(shù)時才適用.;,E,E.【考點】特征值的計算及特征值的性質(zhì).E,.,(E),E.E.)討論向量組)的線性相關(guān)性.【考點】含參數(shù)的向量組線性相關(guān)性的討論.,;.,(EC)CE,E,C,C,.【考點】解矩陣方程及矩陣的運算.(EC)CEC(C)CE(C)(C

4、)CE(C)(CC)E(C)E.【注意】在解矩陣方程時,*,E*E*.,.【考點】利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法.:E.的兩兩正交且單位化的特征向量:對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,p,p.,p.pp,p,p,.:.【注意】利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟:;b;.、b,;,.【考點】含參數(shù)的線性方程組解的討論.),).brrbb.b()()b;,bb,r.,.,.,.,.E,E).【考點】抽象矩陣求逆.EEE(E)(EL),E,(E)EL.MMMLLLLMME,E,.【考點】行列式的計算.按第一列展開)設(shè)方陣E,其中的轉(zhuǎn)置矩陣,E為單位陣.試證明【考點】特征值與特征向量的概念.,.

5、【注】注意本題的,:.,b.,b,b,.【考點】含有參數(shù)的向量可由向量組線性表示的討論.,.,b.bb,;,.,MMbbMrMMb,bbb,bbb.,E,E【考點】正定矩陣的性質(zhì),.:,L,.EnL,E.n:,(,L,),.nn,L,.,L,n,E.:,;,;,.【考點】含參數(shù)的向量可由向量組線性表示的討論,.:(,r.),(,)(,)可由,;,(,)(,),;,(,)(,),.:,.,(,),;,r(,)(,)(,),;,(,)(,),.【注意】,mLmm(,L,)m(,L,)m(,L,)(,L,M).mm,.,【考點】判別二次型正定的霍爾維茨定理.,n,iii,.【考點】線性無關(guān)的判別定理

6、,.,n,.,L,M,.LLLLL,.E;【考點】證明抽象矩陣可逆及解矩陣方程.EEEEEE,E.,(E)E.,.【考點】特征值與特征向量的概念.,【注意】.,;,.,:,.,.【考點】向量組線性相關(guān)的性質(zhì).,.,.,.:(,)(,)(,)(,).:,.,.,.,;n).【考點】向量的線性表示,.,.nnnnnnnnnnn.nn,I,I,.相似,其中,.;,P.【考點】已知矩陣的特征值求矩陣含參數(shù);.:相似,則EE,)()(),.:;.相似,則,故.P(p,p,p),P.【注意】p,p,p,.,:;.【考點】線性方程組解的理論的應(yīng)用.,.,.,.;,.【注意】mn,:.,m.,.,m,n,C.

7、【考點】正定矩陣的判別定理.,C.:.CEEEEE,C,.,C,C.【注意】討論抽象矩陣的正定性,.【考點】解矩陣方程.,I,I.I(I)(I)(I).I,II.【注意(I)(I),.,.iji,j),ijijijij.【考點】伴隨矩陣及其性質(zhì);.ij*E.ij.,.【考點】二次型理論;.,.E.,p;,p;,p.pp,p,p.,.m,m,m,I.【考點】抽象向量組線性相關(guān)性的判別.:.mnn(),.:.I,.,.【考點】過渡矩陣的概念;.,.【注意】由基,L,L,(,L,)(,L,)P,L,L,.(Mb)MMM)M(,.【考點】含參數(shù)的線性方程組解的討論.:(MMr.,r,.,.,r:(.,

8、b,b,.r,.rr,.,(,L,)(,L,),.,.【考點】二次型理論.,E.,).【考點】矩陣運算.,*.*.m,m,Em),E.,(;,.,.【考點】齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系;.,.,.,(.【注意】求兩個線性方程組.bb,b,;bbbbb),bb:b,b,b;b),:),:bb,b,b.b,.,.(.,.ll,(.ll,.,(.,.,)設(shè),*,.*,.【考點】矩陣的乘法;.*E.,b,bLL,iijiiiiii,i,.I.,I.【考點】特征值的性質(zhì)或矩陣的對角化.:,:,II,I.:,PL,)PP.IPPIP(I)PI.:,;,(,.【考點】非齊次線性方程組有解的判別定理;.,ij,.

9、,(,.【注意】,.,;.).,.【考點】特征值與特征向量.E.,E.【注意】:,r,rEr.,.:,.,.,.,.,K【考點】基礎(chǔ)解系的概念.顯然.,(K).(,)(,),【注意】要證明,L,:,L,;r;,L,.,),),.,【考點】實對稱矩陣對角化理論.,.,.,P(,),.:,.,.,P;(,.),:P.(,.(,.,階矩陣,滿足II階單位矩陣,的轉(zhuǎn)置矩)II.,I.【考點】矩陣的運算性質(zhì).I(I)()I,;(),;(),.:,【考點】向量組線性相關(guān)的性質(zhì);.:,.,.(),()()().,方法二:,線性無關(guān),線性相關(guān),可由,.,jjj,)(,).(,).;,.【考點】二次型的矩陣;.

10、,.E,.;p,p;.p,p,p,p,.,.,.【考點】含參數(shù)的線性方程組解的討論.):bb,;r,.):.,;,r,;,.iiii,(.【考點】已知矩陣,.ii,(i.,i,.,(,).,.【考點】矩陣的秩;.E,.,.;,.【考點】求解齊次線性方程組.rr,(,(.,;,()().【考點】分塊對角矩陣的性質(zhì);.E.,()()PP,.,.p,p,p;p,.,p,p,p,p.,.:,.,L.:()L(),(L)L,L,.,:,jj,(,L,)(,L,),L,.,L,(,L,),(,L,),.p,;,.【考點】含參數(shù)的非齊次線性方程組解的討論.rrbp,;,;p,rr,;p,rr,.【注意】此題

11、為什么不用特殊情形下的方法二呢.II,I.*.【考點】特征值的計算及性質(zhì).I.I,*.【注意】E,(,.【考點】齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系;.().,.,e,:e,eb,b;.【考點】特征值與特征向量的概念;.b.E,E,.,ij.;.【考點】初等矩陣及其性質(zhì).Ei,j.Ei,j.(E(i,j)()E(i,j)E(i,j).,I,I,.II.,.【考點】含參數(shù)的非齊次線性方程組解的討論.):.br,;,r,;,.):.,;,;,.【注意】為了計算簡便,.,b.PP,b*,I;.:b.【考點】分塊矩陣的運算;.(b).PP(b)b.;(,.;.【考點】已知,.,.,.,.,b;,P.【考點】相似矩

12、陣的性質(zhì);.b.b.bb.pp,p;p.P(p,p,p),P.,b.【考點】特征值的性質(zhì);.bb,.bbb.;p,;p,.P(p,p,p).,.:,L,.【考點】抽象向量組線性相關(guān)性的判別.L,(L),.L.nnnnnnnb,b,b,b,b,b,(b,b,b.bbbnbbbnnnnbbbbb,.【考點】齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).n記方程組（）為nnn,;記方程組（）為nnn,.,L,L,.,MMMEC)C,E,【考點】矩陣的運算;.E.,),b,b,b,.【考點】含參數(shù)的向量可由向量組線性表示的討論.b,rrbb,(,)(,),;,rrb,(,)(,),;,(,;,.【注意】,mLmm.L.mm

13、,(,),(b,b,b),nn.:;【考點】矩陣的運算;.,.,.b,brrbbLLbMMMMLbbbb:L,L,.,(),E.,.【考點】特征值的計算及性質(zhì);.,.,P,(,(.),(mx),.m,.【考點】非齊次線性方程組解的理論.br.),m.bbr.),m,.bb,*,(,b,.【考點】伴隨矩陣的性質(zhì);.*EE*,(*).(*),E,b.m階實對稱矩陣且正定,m,的轉(zhuǎn)置矩陣,.:.【考點】正定矩陣的定義;.()()()【注意】正定矩陣的定義也是證明對稱矩陣為正定矩陣的常用方法.)【考點】解矩陣方程.*,其中*,得E.,(,p,(p),p,;p,.【考點】向量組線性相關(guān)性的判別;.rrp

14、p,(,)pp,M,)rpMMpppMpppp.rr線性相關(guān),(,),.)b)b,.*,、b、.)設(shè)m,E.E,:,.【考點】正定矩陣的判斷.()().)設(shè)矩陣)設(shè)矩陣.問當(dāng)為何值時,存在可逆矩陣,使得P角矩陣?并求出和相應(yīng)的對角矩陣.【考點】矩陣對角化的條件;.E,.E,pp,p;pp.P(p,p,p),P(.b【注意】rr.,b,b,.【考點】齊次線性方程組解的理論及求解.bb.,b,.,b,.b,(,;b,;b,(,;b,(,.*【考點】解矩陣方程.,E,EE(E)E.*,*EEE*)某試驗性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計,.;:,;,.,.nn【考點】線性變換的矩陣表達(dá)

15、式;.nnnnnnnnnn,nnnnnnnn.,;,;,.,.,.,nnnnnnnnn.nn,.【考點】矩陣的運算;.,;.,E.因為MME,ErM,M.【注意】對矩陣方程,;,.b)已知)已知,b.【考點】向量可由向量組線性表示的判別定理;.bb.b(,)(,),.br,r,bb.r【注意】向量,m(,(,(,b,(,(,(,b,).mm:、b、,.【考點】含參數(shù)的向量可由向量組線性表示的討論.br,r,b,bb,rbb,(,)(,)b;,(,)(,)MMb,Mb.Mrb,b,bb,.:.,.,;,b.rbbb【注意】含參數(shù)的向量可由向量組線性表示的討論等價于含參數(shù)的線性方程組解的討論.(,

16、)()()(nn)()nnnni(i,).:,n,(,n).【考點】正定二次型的判別.nMM,:LLLLLLLMMnnnnnnnnnMMLLLLMnnLMMnL.MnMMLLLLMnn:.LLLLLL,nnnnnMnMMLLMMnL.nLnL,已知有三個線性無關(guān)的特征向量,已知有三個線性無關(guān)的特征向量,)設(shè)矩陣Er特征值.試求可逆矩陣,使得P【考點】矩陣對角化的條件;.,則能對角化.又,則屬于兩個線性無關(guān)的特征向量,故E.p(,p;p.P(p,p,p)P.,L,L,.,L,.【考點】基礎(chǔ)解系的概念;.,L,.(,(,L,)(,L,)MLLMM,L,(,L,MMM,L,.,L,L,L,.,;E.

17、【考點】分塊矩陣的運算;.,.EP(E)PE.PBPPBP(,)(,),且矩陣,.E,E,.【考點】解矩陣方程.E.,的一個基礎(chǔ)解系,若,.,)設(shè)矩陣,)設(shè)矩陣,.,:;,.【考點】線性方程組解的理論;.:r.E,.p,;p,;p.ijijij(),(p,p,p).【注意】對,.j,ij(,(,L,)ijijij(,L,),(,L,),n;g.【考點】二次型的矩陣表達(dá)式;.,nnijij,ijMMLLLM,(,L,)g,.nn【注意】二次型,.i(,L,)(iL,r;r)ii,L,線性無關(guān).已知(b,b,L,b)LLLLLLLLLLLLLrrL(*).,L,.【考點】抽象向量組線性相關(guān)性的判別

18、.L.(*),iL,r).irrL,L,線性無關(guān),得L.,L,.(,),.,.【考點】線性方程組通解的結(jié)構(gòu).:,;,.(;.,.:,.,()(.,.【注意】,.)設(shè),.,.【考點】矩陣相似的概念;.,P,EPEP(E)PEE,E,EE),.,PPEPE,.,.:E;,.:E;EE.LLLLLLLLLLLLP(,L,)(,L,).P()(),.【注意】與單位矩陣相似的矩陣只能是單位矩陣.)已知,E,其中E.【考點】抽象矩陣可逆的判別;.EEEEE,EE)設(shè)齊次線性方程組LLb.,b,.【考點】含參數(shù)的齊次線性方程組解的討論;.bb.bb;bb,MMMML,L,;rb,rL,.,LLMLLMM,【

19、注意】此題為什么不采用一般情形下的方法一,.)設(shè),r.;,E.【考點】實對稱矩陣特征值的性質(zhì);.,.,.,.)設(shè)四元齊次線性方程組()為)設(shè)四元齊次線性方程組()為程組()的一個基礎(chǔ)解系為,(.求方程組()的一個基礎(chǔ)解系;,方程組()與()有非零公共解?在有非零公共解時,求出全部非零公共解.【考點】齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法;兩個線性方程組公共解的討論.,則方程組()的一個基礎(chǔ)解系,(),.將(),.(程組()與()有非零公共解充分必要條件是關(guān)于(,.,.故方程組()與()(,.,求可逆矩陣,使P,并計算E【考點】矩陣的對角化過程.E,.p,p;p(.P(p,p,p),P(.E(,(,E.,

20、*,E,*,E.【考點】特征值與特征向量的計算;.*,EEE,.,E,的屬于特征值;,E的屬于特征值,.【注意】本題也可以先求*E,E.l:l:l:bb.【考點】線性方程組解的理論.,bzbbbbbbbl,l,l,b,).【注意】也可根據(jù)三條直線交于一點【注意】也可根據(jù)三條直線交于一點.b,;,P.【考點】矩陣的對角化理論及過程.E,.,bLLE.p,p;p.P(p,p,p),P(.bLnnnnbLnnLLLLLLLLLLLLLLLbnn.,L,inb,i;.,.【考點】含參數(shù)的齊次線性方程組解的討論;.bbnbnii,bb,;niirrb,.n.,n;nbb,b,Mnrii.【注意】此題也可用一般情形的方法一求解.LLMMLLM,(,)b,.,b;,.【考點】二次型的矩陣