高考含絕對(duì)值不等式的解法

1、高考中常見的七種含有絕對(duì)值的不等式的解法類型一：形如f(x) a, f(x) a(a R) 型不等式解法 : 根據(jù) a的符號(hào)，準(zhǔn)確的去掉絕對(duì)值符號(hào)，再進(jìn)一步求解. 這也是其他類型的解題基礎(chǔ)1、當(dāng)a 0 時(shí)，f(x) a a f (x) af (x) a f (x) a 或 f (x) a TOC o 1-5 h z 2、當(dāng)a 0f (x) a ，無(wú)解f (x) a 使 f (x) 0 的解集當(dāng) a0時(shí)，f (x) a ，無(wú)解f(x) a 使 y f (x)成立的 x的解集 .例 1 ( 2008 年四川高考文科卷)不等式x2 x2的解集為()A. ( 1,2)B. ( 1,1)C.( 2,1)

2、D.( 2,2)解：所以2 x2 x 2 .即2x x202，x2 x 2 0解得：xR，1x2所以 x ( 1,2)，故選 A.類型二：形如a f (x) b(b a 0)型不等式解法：將原不等式轉(zhuǎn)化為以下不等式進(jìn)行求解：a f(x) b(b a 0) a f(x) b或 b f(x) a需要提醒一點(diǎn)的是，該類型的不等式容易錯(cuò)解為：a f(x) b(b a 0) a f(x) b例 2 ( 2004 年高考全國(guó)卷)不等式1 x 1 3的解集為()A (0,2)B.( 2,0) (2,4)C ( 4,0)D. ( 4, 2) (0,2)解：1 x 1 31 x 1 3 或 3, x 110 x

3、 2 或 4 x 2 ，故選 D類型三：形如f(x) g(x)， f(x) g(x)型不等式，這類不等式如果用分類討論的方法求解，顯得解法：把g(x) 看成一個(gè)大于零的常數(shù)a進(jìn)行求解，即：f(x) g(x) g(x) f(x) g(x) ，f (x) g(x) f(x) g(x) 或 f(x) g(x)例 3 ( 2007 年廣東高考卷)設(shè)函數(shù)f (x) 2x 1 x 3，若 f (x) 5，則 x的取值范圍是解：f (x) 5 2x 1 x 3 52x 1 x 2 x 2 2x 1 x 22x 1 x 22x 1 x 2x11 x 1 ，故填：1,1 .x1類型四：形如f (x) g(x)

4、型不等式解法：可以利用兩邊平方，通過移項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為： “兩式和”與“兩式差”的積的方法進(jìn)行，即：f(x) g(x) f(x)2g(x)2f(x)f(x)2 g(x)2 0f(x) g(x)f(x) g( x) 0例 4 ( 2009 年山東高考理科卷)不等式2x 1 x 2 0的解集為解：2x 1x 20 2x 1 x22x 1 2x 22(2x 1)2(x2)20(2x 1) (x 2)(2x 1) (x 2) 01x1所以原不等式的解集為x 1 x 1類型五：形如f (x) f (x), f (x) f ( x)型不等式解法：先利用絕對(duì)值的定義進(jìn)行判斷，再進(jìn)一步求解，即：f (x)f (

5、x) ，無(wú)解xx11af(x)f (x)f (x) xx11a例 5 ( 2004 年海南卷)解關(guān)于x的不等式x 1 ax1解：x x11a0 x x11a011a0ax1x11) 當(dāng) a 0 時(shí)，原不等式等價(jià)于：x1x1綜上所述a 0 時(shí)，原不等式等價(jià)于：11 x101 x1aaa x1x1綜上所述a 0 時(shí)，原不等式等價(jià)于：11 x101 x1aaa 0時(shí)，原不等式等價(jià)于：x 1 0或 x 1x 1或 xa0 時(shí)，原不等式的解集為：xx 1a 0 時(shí)，原不等式的解集為：a 0時(shí)，原不等式的解集為：xx 1或 x類型六：形如使x m x n c, x m類型六：形如使x m x n c, x

6、 mx n c 恒成立型不等式解法：利用和差關(guān)系式：x n n m；a b a b a b 解法：利用和差關(guān)系式：x n n m；c x m x n c x m x n max x mxmxnxnminxmxnn m；例 6 （ 2010 高考安徽卷）不等式x 3 x 1 a2 3a對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）AA, 14,B. , 25, TOC o 1-5 h z C. 1,2D. , 12,解：設(shè)函數(shù)f(x) x 3 x 1 x 3 x 14所以f (x) max 4x 1a23a 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立故 a2 3a 4 a1或 a 4，故選擇A類型七：形如f (x)g

7、(x)a,f (x)g(x)a a為常數(shù)f(x)g(x)h(x)，f(x)g(x)h(x)f (x)g(x)a,f (x)g(x)a a為常數(shù)f (x)g(x)h(x)，f(x)g(x)h(x)1、解法：對(duì)于解含有多個(gè)絕對(duì)值項(xiàng)的不等式，常采用零點(diǎn)分段法，根據(jù)絕對(duì)值的定義分段去掉絕對(duì)值號(hào)，最后把各種情況綜合得出答案，其步驟是：找出零點(diǎn)，確定分段區(qū)間；分段求解，確定各段解集；綜合取并，去掉所求解集，亦可集合圖像進(jìn)行求解.2x 1 2x 1 x 1 ，解得：例 7 （ 2009 年高考福建理科卷）解不等式2x 1 x 1分析：找出零點(diǎn)：x 0,x 12確定分段區(qū)間：11x 0,0 x ,x22解：

8、（ 1）當(dāng) x 0時(shí)，原不等式可化為：2x 1 x 1解得：x0因?yàn)?x 0，所以x不存在1（ 2）當(dāng)0 x 1 時(shí)，原不等式可化為：22x 1 x 1解得：x0又因?yàn)?xx ，2所以1 xx23）當(dāng)x 1 時(shí)，原不等式可化為：211) 當(dāng) a1時(shí)，x2所以x2綜上所述，原不等式的解集為：x0 x 2 2、特別地，對(duì)于形如f (x) g(x) a, f (x) g(x) a a為常數(shù) f (x) g(x) h(x)， f(x) g(x) h(x)f(x) g(x) h(x)f (x) g(x) h(x)例 8 ( 2009 年遼寧高考理科卷)設(shè)函數(shù)( 1)若 a 1 ，解不等式f (x) 3(

9、 2)如果x R, f (x) 2,求 a的范圍解：f (x) g(x) h(x)f (x) g(x) h(x)f(x) g(x) h(x)或 f (x) g(x) h(x)f(x) x 1 x af ( x)x 1 x 1f (x) 3 得：f (x) x 1 x 1 3即：x1 x1 3或 x1 x1 3解得：2x 3，即： x 或 x 22故不等式f (x) 3的解集為：xx32xx322)由f (x) 2得：x1 xa 2x1 xa 2或 x1 xa 22x a 12 或 a 1 2x R, f ( x) 2 恒成立，所以a 1 2 成立，解得：1或 a 3故 a 的取值范圍為：13,

10、絕對(duì)值不等式一直是高中教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，我們通過化歸思想將其進(jìn)行等價(jià)變換，從而避免了繁瑣的討論，減小了運(yùn)算量，以上所介紹的七種類型的含有絕對(duì)值的不等式總體上囊括了近幾年高考中有關(guān)的題目，當(dāng)然方法可能并不為一，在解決此類問題的時(shí)候很多人也比較喜歡使用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)處理，這其實(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形式多樣化的統(tǒng)一美.方法是多種多樣的，只是無(wú)論多么優(yōu)秀的方法最終也是用來(lái)解題的工具，如果我們僅僅是停留在最求方法的多樣化而忽略了數(shù)學(xué)的本質(zhì)思想，那么就有點(diǎn)得不償失了 .古今中外有學(xué)問的人，有成就的人，總是十分注意積累的。知識(shí)就是機(jī)積累起來(lái)的，經(jīng)驗(yàn)也是積累起來(lái)的。我們對(duì)什么事情都不應(yīng)該像“過眼云煙”。學(xué)習(xí)知識(shí)要善于思考，思考，再思考。愛因斯坦鏡破不改光，蘭死不改香。孟郊生活的全部意義在于無(wú)窮地探索尚未知道的東西，在于不斷地增加更多的知識(shí)。做學(xué)問的功夫，是細(xì)嚼慢咽的功夫。好比吃飯一樣，要嚼得爛，方好消化，才會(huì)對(duì)人體有益。陶鑄研卷知古今；藏書教子孫。對(duì)聯(lián)集錦凡事豫（預(yù)）則立，不